Experimentalphysik III (Atomphysik)

3.1. Maxwell–Gleichungen und elektromagnetische Wellen 33
und den Differentialoperatoren:
div � A = � ∇· � A
rot � A = � ∇× � A
grad φ = � ∇φ
und ∇ � =
∂
∂x � �x + ∂
∂y � �y + ∂
∂z � �z.
Weitab von Ladungen ϱ und Strömen �j lauten die Maxwell–Gleichungen in Komponenten:
∂Ez ∂y − ∂Ey ∂z = −∂B x
∂t
∂Ex ∂z − ∂Ez ∂x = −∂B y
∂t
∂Ey ∂x − ∂Ex ∂y = −∂B z
∂t
∂Bz ∂y − ∂By ∂z = ε0 µ ∂Ex 0
∂t
∂Bx ∂z − ∂Bz ∂x = ε0 µ ∂Ey 0
∂t
∂By ∂x − ∂Bx ∂y = ε0 µ ∂Ez 0
∂t
Die Fortschrittsrichtung sei z. Wir suchen ebene Wellen, also ist die xy–Ebene eine Ebene
gleicher Phase, d.h. in dieser Ebene hat jeder Punkt den gleichen Wert, es findet also keine
= 0). Damit verbleibt:
räumliche Änderung statt ( ∂
∂x
− ∂Ey ∂z = −∂B x
∂t
∂Ex ∂z = −∂B y
∂t
= ∂
∂y
0 = − ∂Bz ∂t ⇒ Bz = const.
− ∂B y
∂z = ε0 µ 0
∂Bx ∂z = ε0 µ 0
0 = ε 0 µ 0
∂Ex ∂t
∂Ey ∂t
∂Ez ∂t ⇒ Ez = const.
Wir wollen statische Felder nicht zulassen, deshalb muß B z = E z =0sein: � E und � B haben keine
Komponenten in z–Richtung, somit bilden � E und � B ein Transversalfeld. Wir wählen die x–y
Koordinaten so, daß der � E–Vektor in der E x –Richtung schwingt. Dann ist E y = 0 und damit
Bx = const. Diese Konstante ist Null, da sonst statische Komponenten vorliegen. Der � B–Vektor
schwingt in der y–Ebene, � B und � E stehen also senkrecht aufeinander.
Da die meisten Komponenten wegfallen, lassen sich die obigen Gleichungen umformen in
− ∂B
∂z = ε 0 µ 0
∂E
∂z
= −∂B
∂t
∂E
∂t
− ∂2B ∂z∂t = ε0 µ ∂
0
2E ∂t2 ∂2E ∂z2 = − ∂2B ∂t∂z
|· ∂
∂t
|· ∂
⎫
∂z
⎪⎬
⎪⎭
∂2E ∂z2 = ε0 µ ∂
0
2E .
∂t2 Dies ist die Eulersche Wellengleichung. Daraus folgt für das Vakuum
ε 0 µ 0 = 1
c 2