Experimentalphysik III (Atomphysik)

162 Kapitel 8. Quantenmechanische Operatoren
Wenn wir in diesem System die Gesamtenergie messen, finden wir immer den gleichen Wert
E 0 . Schreiben wir dies auch als Operator– oder Eigenwertgleichung, so müssen wir den ” Operator
für die Gesamtenergie“ betrachten, also wegen E kin + V (x) =H (Hamiltonfunktion), den
Hamiltonoperator � H = �p2
2m + � V (x). Ausgeschrieben erhalten wir
�H = 1
2m
�
−i� ∂
∂x
��
−i� ∂
∂x
Die Operator– oder Eigenwertgleichung lautet dann
�
− �2
2m
∂ 2 ψ n (x)
∂x 2
�
+ � V (x) =− �2
�Hψ n (x) =E n · ψ n (x)
∂2 ∂x2 + � �
V (x)
ψ n (x) =E n ψ n (x)
2m
+
�2 �
En − � �
V (x) ψn (x) =0 .
∂
2m
2
∂x2 + � V (x) . (8.1.1)
Wenn wir � V (x) =V (x) setzen, erhalten wir die Schrödingergleichung.
Die Lösungsfunktionen der Schrödingergleichung sind also die Eigenfunktionen zum
Hamiltonoperator, die Eigenwerte En sind die Meßwerte bei der Energiemessung.
Operatoren spielen in der Quantenmechanik eine zentrale Rolle. Ein Operator erzeugt, auf eine
Wellenfunktion angewendet, eine neue Wellenfunktion. Er kann die Form eines Differentialoperators
haben, aber auch eine reelle Zahl oder die Zahl Eins kann als Operator aufgefaßt werden,
wenn ψ damit multipliziert wird.
Die quantenmechanischen Operatoren sind entweder Differential– (�p x , � H) oder Multiplikationsoperatoren
( � V (x) =V (x)). In der Ortsdarstellung, also bei ψ = ψ(x), werden allen reinen
Ortsfunktionen f(x) Multiplikationsoperatoren � f(x) zugeordnet.
Wie lassen sich nun diese Ergebnisse physikalisch, d.h. quantenmechanisch interpretieren?
Es liegt ein quantenmechanisches System (paralleler Teilchenstrahl, H–Atom)in
einem bestimmten Zustand vor, der durch eine Wellenfunktion, die ” Zustandsfunktion“,
charakterisiert wird.
Wir machen eine Messung
� des Impulses
der Energie
↘
Der Messwert ist scharf.
⎫
⎪⎬ ⎪⎨
←→
⎪⎭
⎧
⎪⎩
Beide sind gleich
Wir wenden auf ψ(x)
�
einen Operator an
�px
�H
↙
Wir erhalten den Eigenwert.
Die Zustandsfunktion ist nach der Messung �p x ψ(x) bzw. � Hψ(x).
Damit allgemein: