Experimentalphysik III (Atomphysik)

4.3. Quantisierung des Strahlungsfeldes, Unschärferelation, Einstein–Koeffizienten 77
Daraus folgt dann:
B12u(ν, T )
A21 + B21u(ν, T ) = N2 .
N1 Da thermisches Gleichgewicht herrscht, kann das Verhältnis der Besetzungszahlen gemäß Kapitel
4.2 geschrieben werden als
N2 =
N1 e− E2
kT hν
= e
− kT .
E1
e
− kT
A21 Somit ist u(ν, T )=
B12e hν .
kT − B21 Zur Bestimmung von A und B benützt man die Grenzbedingung, daß für T →∞auch u(ν, T ) →
∞ gehen muß, also
B12 = B21 = B ,
d.h.: Die Wahrscheinlichkeiten für induzierte Emission und Absorption sind gleich.
Damit ergibt sich:
u(ν, T )= A 1
. (4.3.2)
B
e hν
kT − 1
Außerdem muß für hν ≪ kT (d.h. für kleine Frequenzen) das experimentell bestätigte
+ ... folgt
Rayleigh–Jeanssche Gesetz gelten. Mit der Reihenentwicklung e hν
kT =1+ hν
kT
8πν2 A kT
kT =
c3 B hν .
A = 8πhν3
c 3 B ; für gegebenes B: A ∼ ν 3 . (4.3.3)
Das entspricht dem Kirchhoffschen Gesetz E ∼ A , wonach die Wahrscheinlichkeiten für spontane
Emission und Absorption einander proportional sind. Außerdem gilt: Die induzierte
Übergangswahrscheinlichkeit nimmt bei festem B mit ν3 zu!
Setzt man (4.3.3) in (4.3.2) ein, so folgt die Plancksche Strahlungsformel
u(ν, T )= 8πν2
c 3
hν
e hν
kT − 1
Man sieht also, daß die Quantisierung des linearen harmonischen Oszillators in Verbindung mit
der Quantisierung des Strahlungsfeldes zur richtigen Strahlungsformel führt.
Welche Eigenschaften besitzen die so eingeführten Photonen (Lichtquanten)?
Durch Vergleich mit den Formeln der klassischen Elektrodynamik folgt sofort der Impuls und
Drehimpuls (Spin) der Photonen.
Es gilt gemäß Kapitel 3.1:
c�p V = 1
c � S
mit der Impulsstromdichte �p V und der Energiestromdichte � S.
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