Experimentalphysik III (Atomphysik)

7.2. Wellenpakete, Dispersion, Unschärferelation 141
Abb. 7.6: Der Realteil von ψ(x, t)als Funktion des
Ortes x. Die rasche Oszillation wird bei festem t
durch cos(k0x − ω0t)beschrieben, die Einhüllende durch
sin ∆kx
2
∆kx .
2
Wir haben nun eine räumlich lokalisierte
Wellenfunktion erhalten, die alle Wellenzahlen
im Bereich k ± ∆k
2 enthält. Wenn
wir diese Welle auf ein Gitter fallen lassen,
sehen wir eine Beugungserscheinung. In
höheren Ordnungen gibt es spektrale Zerlegungen.
Das Wellenpaket bedeutet
” weißes Licht“. Das Wellenpaket hat sein
sin x
Zentrum bei x = 0 (wegen lim
x→0 x =1).
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beträgt
dort |ψ(0, 0)| 2 =4A2∆k2 .
Als Ausdehnung eines Wellenpakets können wir in guter Näherung den Abstand zwischen
den Nullstellen links und rechts des Maximums ansehen. Der Nulldurchgang liegt bei
x ∆k
2π
2 = ±π. So können wir sagen, das Wellenpaket ist im Bereich x = ± ∆k lokalisiert.
Damit beträgt die Ortsunschärfe
∆x = 4π
∆px =
∆k
�∆k
⎫
⎪⎬
⎪⎭ � ∆x · ∆px = � 4π =2h . Heisenbergsche Unschärferelation(1927)
Man sieht also deutlich: ∆x wird kleiner, wenn ∆k größer wird.
Aus (7.2.2) folgt noch eine weitere Konsequenz: Die Dispersion bewirkt, daß die einzelnen
Anteile in der Wellengruppe unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten haben,
d.h. das Wellenpaket zerfließt als Funktion von t. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des
Zentrums (i.a. eines Ortes gleicher Phase, z.B. der Phase � x − dω
dk t� ∆k
x dω
2 =0)ergibtt = dk
dω
dk ≡ v dE
Gr =
dp
= d p2
2m
dp
= p
m = v Teilchen
also: Gruppengeschwindigkeit = Teilchengeschwindigkeit .
, (7.2.3)
3. Als nächstes betrachten wir einen endlichen Wellenzug als Wellengruppe. Dann ist die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit in a konstant. Die Wellenfunktion ψ k0 (x) =Ce ik0x sei auf
a normiert:
− a
2
a
Re ψ(x)
Abb. 7.7: Endlicher Wellenzug als Wellengruppe.
a
2
Somit ist
�
+ a
2
− a
2
|Ce ik0x | 2 dx =1� C = 1
√ a .
ψ k0 (x) = 1
√ a e ik0x
eine auf a normierte Wellenfunktion.