Experimentalphysik III (Atomphysik)

7.5. Beispiele 147
Wegen der Randbedingung ψ(x) → 0für x → +∞ (Teilchen, die sich im Unendlichen aufhalten
können nicht untersucht werden) bleiben nur diskrete Lösungen übrig, die dazuhin symmetrisch
zu x = 0, d.h. physikalisch sinnvoll sein müssen. Symmetrisch heißt, es kann entweder
ψ(−x) =ψ(x) oderψ(−x) =−ψ(x) sein. Je nach Vorzeichen sagt man, daß die Wellenfunktionen
positive oder negative Parität haben. Für die Wahrscheinlichkeitsdeutung (|ψ(x)| 2 )spielt
dieses Vorzeichen keine Rolle, es definiert aber den Symmetriecharakter der Wellenfunktion bei
Raumspiegelungen und hat deshalb große Bedeutung in der Quantenmechanik. Formal können
wir dies durch Anwendung eines linearen Operators P beschreiben:
ψ(−x) =Pψ(x) .
Nochmalige Anwendung, d.h. zweimalige Spiegelung muß den ursprünglichen Zustand ergeben,
also
Pψ(−x) =P 2 ψ(x) =1ψ(x) ,
somit also P 2 =1,� P = ±1.
Analog ergibt sich die dreidimensionale Schrödingergleichung zu
mit ∆ψ := ∂2 ψ
∂x 2 + ∂2 ψ
∂y 2 + ∂2 ψ
∂z 2 .
7.5 Beispiele
∆ψ(�r)+ 2m
(E − V (�r)) ψ(�r) =0
�2 7.5.1 Masse m im Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden
Abb. 7.11: Rechteckpotential.
V (x) =∞ für x ≤ −a a
; x ≥
2 2
V (x) =0 für −a a
≤ x ≤
2 2
⎧
E kin = m
2 v2 = E; p = √ 2mE
⎪⎨
Klassisch:
⎪⎩
jedes E erlaubt.
�F
−dV (x)
= ��r →∞
dx
bei x = ± a
2
⎧
⎨ d
Quantenmechanisch:
⎩
2ψ(x) dx2 2m
1 √
+ E · ψ =0; k = 2mE
�2 �
Randbedingung: ψ � ± a
�
2 =0
Die Schrödingergleichung ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung, damit ist der Lösungsraum
zweidimensional und die allgemeine Lösung ist gegeben durch die Linearkombination zweier linear
unabhängiger Lösungen:
ψ(x) = Ae ikx + Be −ikx
ψ(x) = A (cos (kx)+i sin (kx)) + B (cos (kx) − i sin (kx)) .