Experimentalphysik III (Atomphysik)

152 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Die Nullpunktsenergie ist eine Folge der Unschärferelation. Sie wird (ohne sonstige quantenmechanische
Rechnung) davon erzwungen. Die Gesamtenergie sieht klassisch betrachtet wie
folgt aus:
E = p2 1
+
2m 2 mω2x 2 .
�
Wenn sowohl x als auch p gegen Null gehen, wird sie zu einem Minimum. Da nach ∆x·∆p = 2 der
exakte Ort x einen unendlich hohen Impuls zur Folge haben müßte, lassen wir eine Ortsunschärfe
�
∆x = x (Schwingungsamplitude) zu und haben damit eine Impulsunschärfe ∆p = p = 2x
verknüpft. Die Energie E soll jetzt durch geeignete Wahl von x0 zu einem Minimum werden.
Abb. 7.17: Gesamtenergie E als Summe von Epot und
Ekin.
7.5.3 Das Wasserstoff–Atom
� 2
E =
1
+
8mx2 2 mω2x 2 → Min
�
dE �
dx x=x0
= − 1 �
4
2
mx3 + mω
0
2 x
x0 =0
2 0 =
1 �
2 mω
Emin =
�2 � 8m 2mω
+ 1 �
mω2
4 mω
also ergibt sich
E min = �ω
4
+ �ω
4
1
= �ω .
2
Im Bohrschen Bild des kreisenden Elektrons folgt die Bohrsche Quantisierungsbedingung sofort
aus der Vorstellung einer stehenden Welle, deren Wellenlänge man mit der De–Broglie–Beziehung
ausrechnet. Die Bahn ist demzufolge nur dann stabil, wenn sich stehende Wellen darauf ausbilden
können,
2πr = n · λ � r = n · ¯λ = n �
p ,
woraus die Bohrsche Forderung nach einem gequantelten Drehimpuls wiederum folgt:
p · r = L = n · � .
Als nächstes soll das Verfahren, das zur Berechnung der Nullpunktsenergie des harmonischen Oszillators
geführt hat, auf das H–Atom angewendet werden. Lassen wir also eine Impulsunschärfe
∆p = p = �
r zu,ergibtsich