Experimentalphysik III (Atomphysik)

9.2. Das Helium–Atom; Pauli–Prinzip 183
Konfiguration: (1s) 1
� �� �
↑
Konfiguration: (1s) 1
� �� �
↑
(2s) 1 S=0
� �� �
↓
(2s) 1 S=1
� �� �
↑
←→ Term 2 1 S 0
←→ Term 2 3 S 1
Die Beobachtung, daß es beim He–Atom nur den Zustand 1 1S0 , nicht aber den Zustand 1 3S1 gibt, war für W. Pauli (1925) der Ausgangspunkt für die Formulierung des Pauli–Prinzips:
Die Elektronen eines Atoms müssen sich in mindestens einer Quantenzahl unterscheiden.
Grundzustand : Konfiguration (1s) 1
� �� �
↑
Pauliverbotener Zustand : Konfiguration (1s) 1
� �� �
↑
(1s) 1 S=0
� �� �
↓
(1s) 1 S=1
� �� �
↑
←→ Term 1 1 S 0
←→ Term 1 3 S 1
Wie wir also gesehen haben, erhalten wir für das Helium–Atom zwei Termsysteme. Wie wir
im Kapitel 9.1erörtert haben, können wir sowohl eine symmetrische als auch eine antisymmetrische
Ortswellenfunktion bilden. Dementsprechend gibt es auch beide Möglichkeiten für die
Spinfunktion, d.h. der Spin der Teilchen kann jetzt parallel oder antiparallel stehen. Wenn die
Elektronenspins parallel stehen (S=1) ist also die Ortswellenfunktion antisymmetrisch, und wenn
sie antiparallel stehen (S=0), ist sie symmetrisch.
⎧
⎪⎨
ψA (1, 2) =
⎪⎩
1
√ 2 [ψ 1 (�r 1 ) · ψ 2 (�r 2 )+ψ 1 (�r 2 ) · ψ 2 (�r 1 )] χ A
1
√ 2 [ψ 1 (�r 1 ) · ψ 2 (�r 2 ) − ψ 1 (�r 2 ) · ψ 2 (�r 1 )] χ S
Ort Spin Term
S ↔ A 2 1 S 0
A ↔ S 2 3 S 1
Vom Symmetriecharakter der Ortswellenfunktion hängt aber die wechselseitige Coulombenergie
∆E der beiden Elektronen ab. Im symmetrischen Zustand ist der mittlere Abstand r1,2 der
Elektronen viel kleiner als im antisymmetrischen, wo gleiche Ortskoordinaten zum Verschwinden
der Wellenfunktion führt. Die Folge ist, daß es für die gleiche Konfiguration (1s) 1 (2s) 1 zwei
Zustände unterschiedlicher Energie gibt, wovon der mit S = 0 energetisch höher liegt. Deshalb
liegen also alle Orthohelium–Terme tiefer.
Im Modell unabhängiger Teilchen sind die ψ1 , ψ2 die ungestörten Wasserstoff–Atomwellenfunktionen.
Der Erwartungswert der Energie für die ee–Wechselwirkung ergibt sich in der Quan-
tenmechanik zu
∆E = 〈Eee 〉 = 1
�
2
1
�
2
ψ ∗ A
(1, 2)
e 2
4πε 0 r 12
· ψ A (1, 2)dτ 1 dτ 2 .
e Der Operator“
” 2
wirkt nicht auf den Spin. Wegen der Normierung fallen die Spinfunktio-
4πε0r12
nen heraus, also bleiben die Ortsfunktionen (reell !), damit:
〈Eee 〉 = 1
�
2
1
�
2
e2 [ψ
4πε0r12 2 1 (�r 1 ) · ψ2 2 (�r 2 )+ψ2 1 (�r 2 ) · ψ2 2 (�r 1 )]
± 1
�
2
�
e2 [ψ1 (�r 1 ) · ψ2 (�r 2 ) · ψ1 (�r 2 ) · ψ2 (�r 1 )
1
2
4πε 0 r 12
+ψ 1 (�r 2 ) · ψ 2 (�r 1 ) · ψ 1 (�r 1 ) · ψ 2 (�r 2 )] dτ 1 dτ 2 .