antriebstechnik 12/2016

triebsrad ebenfalls um ψ = 360° rotiert. Die Strategie für das Bewegungsdesign
wird in Bild 05 dargestellt. Die Wälzkurve des Antriebsrades
wird dazu in fünf Bereiche unterteilt. Der erste Bereich
umfasst den abzubildenden Übersetzungsverlauf, der beispielsweise
aus dem Schlupfverlauf im Zahnflankenkontakt entlang der Eingriffsstrecke
resultieren kann. Zur Realisierung eines knickfreien
Übersetzungsverlaufs wird dieser Bereich zunächst an beiden Seiten
auf ein Maximum bzw. Minimum mit der Steigung Null geführt
(Bereiche 2 und 5). Der Übergang zwischen den jeweiligen Bereichen
wird durch die gleiche Übersetzung und die gleiche Steigung
definiert. Dieser Schritt ist notwendig, um die Umkehrung des
Übersetzungsverlaufs in einem definierten Bereich zu kontrollieren
und lokal überhöhte Steigungen zu verhindern. Anschließend wird
der dritte Bereich durch ein Polynom dritten Grades und der vierte
Bereich als konstanter Wert definiert. Die Bereiche zwei bis fünf
verbinden folglich die Enden des abzubildenden Bereichs und
schließen damit den Übersetzungsverlauf. Die Bewertung der
Knickfreiheit geschieht anhand der Übertragungsfunktion 0. bis
2. Ordnung, die allesamt einen stetigen Verlauf aufweisen sollten.
Die Übertragungsfunktion 1. Ordnung ist wie folgt definiert
= 1
(
i (ϕ) - Übersetzungsverlauf
der Stirnradstufe
ϕ(t) ° Antriebswinkel
ψ'(ϕ) - Übertragungsfunktion
erster Ordnung
ψ(ϕ) ° Übertragungsfunktion
nullter Ordnung
Die Bedingung der mittleren Übersetzung von eins wird iterativ
durch die Verschiebung der Bereichsgrenze zwischen dem dritten
und vierten Bereich erfüllt. Ist für eine anfängliche Konfiguration
des Übersetzungsverlaufs der berechnete Abtriebswinkel größer als
ψ > 360°, wird der vierte Bereich und damit der Abschnitt mit einer
Übersetzung kleiner als i < 1 reduziert, da an dieser Stelle das Abtriebsrad
einen größeren Drehwinkel als das Antriebsrad zurücklegt.
Gemäß dem Fall, dass der berechnete Abtriebswinkel nach der
Berechnung kleiner als ψ < 360° ist, wird der vierte Bereich entsprechend
vergrößert, bis die Bedingung ψ(φ = 360°) = 360° erfüllt ist.
Nach der Definition der allgemeinen Wälzkurven werden die
Grenzzähnezahl nach WYRWA und der Modul in Abhängigkeit der
Länge der Wälzkurve bestimmt [WYRW01]. Da der Achsabstand der
Stirnradstufe konstruktiv durch das bestehende Konzept des Zwei-
Scheiben-Prüfstands vorgegeben wird, ergibt sich in der Regel ein
nicht nach DIN 780 [DIN77] genormter Modul, was bei der Wahl
des Fertigungsverfahrens zu berücksichtigen ist. Der Normaleingriffswinkel
und die Breite der Verzahnung können im Rahmen der
konstruktiven Randbedingungen beliebig gewählt werden. Insbesondere
der Normaleingriffswinkel wird für die vorgesehene Anwendung
möglichst groß gewählt (α n
= 25°), um insbesondere die
Zahnfußtragfähigkeit zu steigern. Die damit einhergehende höhere
Schwingungsanregung ist für das Prüfkonzept aufgrund der Trennung
von Übertragungsgetriebe- und Prüfgehäuse von untergeordneter
Bedeutung.
Anhand der Verzahnungskenngrößen wird die Zahnform der
Zähne für das Unrundrad berechnet. Die Verzahnungsgeometrie
hat dabei dem Verzahnungsgesetz zu folgen, d. h. die Zahnflankennormalen
in jedem Berührpunkt müssen die Verbindungsgerade
durch die Drehpunkte der Zahnräder im Wälzpunkt C schneiden
[ROTH89]. Der Wälzpunkt hat anders als bei runden Stirnrädern
keine feste Lage, sondern verschiebt sich je nach Drehwinkel der
Unrundräder und Form der Wälzkurven. Prinzipiell ist jede Zahnform
bzw. Verzahnungsart für Unrundräder denkbar, die dem Verzahnungsgesetz
entspricht. Als praxisrelevante und abweichungsrobuste
Verzahnung wird die Evolventenverzahnung genutzt
[HIND98]. Das evolventische Profil der Zahnflanke wird auf Basis
der sogenannten Grundkurven berechnet [HIND98]. Die Grundkurven
sind die Einhüllenden von allen Geraden, die die Wälzkurve
unter dem Eingriffswinkel α n
schneiden. Die Grundkurven werden
auch Evolutoiden genannt. In Analogie zum Grundkreis bei der
theoretischen Erzeugung der Evolventen bei runden Zahnrädern
wird die Evolvente bei Unrundrädern ebenfalls durch das Abwickeln
der Evolutoiden erzeugt. Zur vollständigen Berechnung der
Verzahnungsgeometrie, inkl. der Zahnfußkontur, des Zahnzwischenraums
oder der Übergangsradien, wird das Vorgehen nach
Hindersmann auf Basis des Verfahrens nach Camus verwendet
[HIND98]. Die Zahngeometrie ergibt sich dann aus den unterschiedlichen
Kurvenabschnitten, die durch die Berechnung ihrer
Schnittpunkte begrenzt werden. Zu den Kurvenabschnitten zählen
die Evolventenbahnen, die Kopf- und Fußkurven (Äquidistante zur
Wälzkurve), sowie die Eckpunktbahnen, definiert durch die Eckenradien
des Erzeugerprofils [HIND98].
Für den abschließenden Festigkeitsnachweis können Unrund-
Zahnräder in einer beliebigen Wälzstellung als runde Stirnradverzahnungen
betrachtet werden. Dabei werden für jede Wälzstellung
die sogenannten momentanen Ersatzgetriebe gebildet. Momentane
Ersatzgetriebe geben eine gute Näherung der Krümmungs-, Eingriffs-
und Überdeckungsverhältnisse am realen Unrundrad wider.
In Abhängigkeit der Krümmungen entlang der unrunden Wälzkurven
ergibt sich entweder eine Stirnrad-Stirnrad-Paarung bei zwei
konvex gekrümmten Abschnitten oder eine Hohlrad-Stirnrad-Paarung
bei konvex konkav gekrümmten Wälzkurven, die für genormte
Festigkeitsberechnungen für runde Stirnräder oder für Betrachtungen
zu Eingriffsstörungen genutzt werden können [WYRW01].
Anwendung auf ein Verzahnungsbeispiel
Die Vorgehensweise zur Definition der unrunden Verzahnungsgeometrie
aus dem vorherigen Kapitel wird im Folgenden beispielhaft
auf die standardisierte Prüfverzahnung nach Typ A angewendet
[ISO10]. Die Berechnung des Schlupfs entlang der Eingriffsstrecke
bzw. für die Wälzlänge des Ritzels wird in Bild 06 dargestellt. Die
Wälzlänge ist in diesem Fall definiert als die Länge der aktiven
Zahnflanke in Profilrichtung am Ritzel (l ges
= 10,5 mm). Aufgrund
der Profilverschiebung der Prüfverzahnung nach Typ A wird der
Wälzpunkt bereits nach l = 1,2 mm erreicht. Aufbauend auf dem
Zahnflankenschlupfverlauf wird der notwendige Übersetzungsverlauf
des Übertragungsgetriebes im Zwei-Scheiben-Prüfstand berechnet.
Für die Prüfscheiben wird ein gleicher Durchmesser vorausgesetzt.
Um den Schlupfverlauf exakt nachbilden zu können,
müssen Übersetzungen zwischen 0,66 < i < 6,96 mit dem Übertragungsgetriebe
erreicht werden. Aufgrund der konstruktiven Randbedingungen
des Prüfstands (Achsabstand a = 42 mm, Wellendurchmesser
Lagersitz d = 12 mm) ist ein minimaler Wälzkreisdurchmesser
d w,min
= 13 mm möglich, woraus sich der Überset-
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