und Wohnungszählung (GWZ) - Publikationsservice von IT.NRW
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Abb. 2<br />
Kreise \ Wirtschaftsgruppen<br />
Kreis 1<br />
Kreis 2<br />
Reg.-Bez. reduziert<br />
Abb. 3<br />
Kreise\Wirtschaftsgruppen B D Σ reduz<br />
Kreis 1<br />
X1<br />
200,0 - X1<br />
200,0<br />
Kreis 2<br />
150,1 - X1 50,2 - (150,1 - X1) 50,2<br />
Reg.-Bez. reduziert 150,1 100,1 250,2<br />
Wenn dem externen Tabellennutzer<br />
keine weiteren Informationen über<br />
die Tabellenwerte zugänglich sind,<br />
muss er sich mit obiger Tabelle<br />
(Abb. 3) zufrieden geben, die geheimen<br />
Werte sind dann hinreichend<br />
gesichert: Die Lösung des Gleichungssystems<br />
zur Bestimmung der unbekannten<br />
Werte des Karrees X1, X2, X3,<br />
X4 enthält einen frei wählbaren Parameter<br />
– bei dieser „Auflösung“ den<br />
Parameter X1.<br />
Verfügt der Tabellennutzer aber beispielsweise<br />
über das Vorwissen, dass<br />
es sich bei dieser Tabelle um eine so<br />
genannte positive Tabelle handelt,<br />
dass also keine negativen Tabellenwerte<br />
zu erwarten sind, so kann er<br />
mit diesem Wissen den freien Parameter<br />
X1 weiter eingrenzen:<br />
1. Zeile (Kreis 1):<br />
0 ≤ X1 ≤ 200 ^ 0 ≤ 200 – X1 ≤ 200<br />
d. h. 0 ≤ X1 ≤ 200<br />
2. Zeile (Kreis 2):<br />
0 ≤ 150,1 – X1 ≤ 50,2 ^<br />
0 ≤ 50,2 – (150,1 – X1) ≤ 50,2<br />
d. h. 99,9 ≤ X1 ≤ 150,1<br />
Die Eingrenzungen sind die Folge der<br />
Positivität der Tabelle, wonach keiner<br />
der Tabellenwerte die jeweilige<br />
Randsumme übersteigt <strong>und</strong> außerdem<br />
jeder Wert größer oder höchstens<br />
gleich Null sein muss.<br />
Die Spaltengleichungen liefern keine<br />
weitere Eingrenzung <strong>von</strong> X1. Wenn<br />
dem Tabellennutzer keine weiteren<br />
Informationen über die Tabellenwerte<br />
vorliegen, ist der Parameter X1 der<br />
Lösung des o. g. Gleichungssystems<br />
zur Berechnung der Unbekannten X1,<br />
X2, X3, X4 mit dem Schutzintervall<br />
99,9 ≤ X1 ≤ 150,1<br />
B D<br />
X1<br />
X2<br />
X3<br />
X4<br />
150,1 100,1<br />
Σ reduz<br />
200,0<br />
50,2<br />
250,2<br />
„hinreichend ungenau“ festgelegt,<br />
die geheimen Tabellenwerte sind<br />
hinreichend gesichert.<br />
Um sich da<strong>von</strong> zu überzeugen, trägt<br />
man die Schutzintervallgrenzen des<br />
Lösungsparameters in Abbildung 3<br />
ein <strong>und</strong> erhält:<br />
Eine Folge der Einparametrigkeit der<br />
Lösungen für die Karree-Unbekannten<br />
ist, dass die Spannweite der<br />
Wertebereiche für alle vier Unbekannten<br />
die gleiche ist. Die Spannweite<br />
der Schutzintervalle in einem<br />
Karree ist somit eine Karree-Eigenschaft.<br />
Man kann daher die Spannweite,<br />
die ein zu schützender geheimer<br />
Wert überstreichen soll, als Kriterium<br />
für die Auswahl geeigneter Karrees<br />
mit bereits gesperrten <strong>und</strong>/oder<br />
noch zu sperrenden Werten zum Schutze<br />
des geheimen Wertes benutzen.<br />
Dabei zeigt sich, dass nicht nur Karrees<br />
mit Werten <strong>von</strong> der gleichen<br />
Größenordnung wie der zu schützende<br />
geheime Wert als Sicherungskarrees<br />
in Betracht kommen, sondern<br />
auch solche mit sehr viel kleineren<br />
Werten. Ja, sogar Nullen können als<br />
Sicherungswerte dienen, wenn die<br />
Karree-Spannweite nicht zu klein<br />
ausfällt.<br />
Ein anderes sehr wichtiges Merkmal,<br />
das das Karree in zweidimensionalen<br />
Tabellen als Gesamtheit <strong>von</strong> Tabellenfeldern<br />
für die Sicherung geheimer<br />
Werte so attraktiv macht, ist seine<br />
– ebenfalls mit der Einparametrigkeit<br />
der Karree-Lösungen zusammen-<br />
hängende – Minimaleigenschaft: Das<br />
Karree als Gesamtheit aller Tabellenwerte<br />
in den vier Ecken eines geometrischen<br />
Karrees ist die kleinste<br />
Gesamtheit <strong>von</strong> Werten, die als geheime<br />
Werte zum Schutze eines zu sichernden<br />
Wertes ausreicht.<br />
Diese Minimaleigenschaft lässt sich<br />
wie folgt begründen: Als offensichtlichste<br />
Schutzmaßnahme muss der<br />
Tabellenersteller in der Zeile des zu<br />
sichernden Wertes (Pivots) <strong>und</strong> auch<br />
in der Pivot-Spalte einen zusätzlichen<br />
geheimen oder noch zu sperrenden<br />
Tabellenwert auswählen <strong>und</strong> ggf.<br />
sperren, damit der zu schützende<br />
Wert nicht einfach durch Differenzbildung<br />
aus der betreffenden Zeilenbzw.<br />
Spaltensumme <strong>und</strong> den ande-<br />
Abb. 4<br />
Kreise \ Wirtschaftsgruppen B D Σ reduz<br />
Kreis 1<br />
[99,9; 150,1] [49,9; 100,1] 200,0<br />
Kreis 2<br />
[0,0; 50,2] [0,0; 50,2]<br />
50,2<br />
Reg.-Bez. reduziert 150,1 100,1 250,2<br />
ren nicht geheimen Tabellenwerten<br />
in dieser Zeile bzw. Spalte berechnet<br />
werden kann. Damit ist für den Pivot-<br />
Wert aber noch kein hinreichender<br />
Schutz garantiert, weil u. U. die beiden<br />
ausgewählten „Sicherungswerte“<br />
selbst mit Hilfe noch offener Werte<br />
<strong>und</strong> den entsprechenden Summen,<br />
zu denen sie beitragen, berechnet<br />
werden können. Beide Sicherungswerte<br />
lassen sich aber gemeinsam<br />
durch Hinzunahme nur eines geheimen<br />
oder noch zu sperrenden Wertes<br />
hinreichend schützen (wenn sich die<br />
Karree-Spannweite als groß genug<br />
erweist), das ist die kleinste Anzahl<br />
zusätzlicher Sicherungswerte; das<br />
Sperrmuster bildet ein Karree.<br />
Als Beispiel betrachte man den primär<br />
geheimen Wert 100,0 des Tabellenfeldes<br />
(Kreis 1; B) in der Abbildung<br />
1 als Pivot-Element, das durch<br />
die Werte 100,0 <strong>und</strong> 50,1 gegen<br />
Rückrechnung mit Hilfe der Zeilen–<br />
bzw. Spaltensumme 230,0 bzw. 151,0<br />
<strong>und</strong> den noch offenen Werten in dieser<br />
Zeile bzw. Spalte geschützt wird.<br />
Diese beiden „Zusatzsperrungen“<br />
werden durch nur einen, hier bereits<br />
gesperrten Wert 0,1 hinreichend gesichert<br />
(wenn die Spannweite des Karrees<br />
groß genug ist).<br />
Statistische Analysen <strong>und</strong> Studien <strong>NRW</strong> 1/2002 27