Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

2. Halbgruppen
Definition 2.1 (Monade, Magma)
Sei M eine Menge. Darauf legen wir eine Verknüpfung M × M → M mit (a, b) ↦→ a × b
fest. 1 Dann bezeichnet man (M, ×) als Monade oder Magma.
Beispiel 2.1
(i) Die Addition, Subtraktion und Multiplikation auf den natürlichen, reellen und
komplexen Zahlen.
(ii) Der Durchschnitt oder die Vereinigung auf der Potenzmenge P(X).
(iii) Der größte gemeinsame Teiler oder das kleinste gemeinsame Vielfache auf N.
(iv) Die Verknüpfung von Abbildungen ◦ auf der Menge aller Abbildungen Abb(X) =
{ f: X → X | f Abbildung }
Bemerkung 2.1
Wenn M klein ist, kann man eine Verknüpfungstafel aufstellen. Ein Beispiel sind die
Wahrheitswerte.
∧ w f
w w f
f f f
Tabelle 2.1.: Wahrheitswerte für die UND-Verknüpfung
Definition 2.2 (rechts-, linksneutral, neutral)
Sei M eine Monade und e ∈ M. Das Element e ist genau dann rechtsneutral (oder
linksneutral), wenn für alle a ∈ M gilt: ae = a (oder ea = a). Man nennt e genau dann
neutral, wenn es rechts- und linksneutral ist.
Bemerkung 2.2
Sei e ∈ M linksneutral und f ∈ M rechtsneutral. Dann folgt, e = ef = f. Insbesondere
existiert in M höchstens ein neutrales Element.
Beispiel 2.2
Die 0 ist neutral in (Z, +) und die 1 ist neutral in (Z, ·).
1 alternativ auch a + b, a · b oder ab
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