Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

6. Normalreihen
Definition 6.1 (Subnormalreihe, Länge, Faktor, Normalreihe)
Eine endliche Folge von Untergruppen
(6.1)
G = G0 � G1 � . . . � Gl = 1
einer Gruppe G heißt Subnormalreihe von G der Länge l mit Faktoren G0/G1 bis
Gl−1/Gl. Ist Gi � G für alle i, dann heißt Gleichung 6.1 Normalreihe. Ist Gi−1 �= Gi
für alle i, dann heißt Gleichung 6.1 eine (Sub)normalreihe ohne Wiederholung. Eine
Verfeinerung von Gleichung 6.1 ist eine (Sub)Normalreihe
(6.2)
G = H0 � H1 � . . . � Hm = 1
derart, dass eine Injektion f: {1, . . . , l} → {1, . . . , m} mit Gi = H f(i) für alle i existiert. Im
Fall m > l heißt die Verfeinerung echt.
Beispiel 6.1�
� � �
i 0 0 1
Seien a := , b := ∈ GL(2, C) und G := 〈a, b〉. Dann ist |G| = 8 und
0 −i 1 0
G � 〈a2 , b〉 � 〈b〉 � 1 ist eine Subnormalreihe, aber 〈b〉 � G keine Normalreihe.
Dagegen ist G � 〈a2 , b〉 � 〈a2 〉 � 1 eine Normalreihe.
Definition 6.2
Subnormalreihen
(6.3)
und
(6.4)
G = G0 � G1 � . . . � Gl = 1
G = H0 � H1 � . . . � Hm = 1
einer Gruppe G heißen isomorph, wenn l = m ist und ein f ∈ Sym(l) mit Gi−1/Gi ∼ =
H f(i)−1/H f(i) für alle i existieren. Dies bedeutet, Gleichung 6.3 und Gleichung 6.4 haben
die gleiche Länge und ihre Faktoren sind bis auf die Reihenfolge isomorph.
Beispiel 6.2
Z/6Z hat isomorphe Normalreihen Z/6Z � 2Z/6Z � 6Z/6Z oder Z/6Z � 3Z/6Z �
6Z/6Z.
Satz 6.1 (Verfeinerungssatz von SCHREIER)
Je zwei Subnormalreihen einer Gruppe G haben isomorphe Verfeinerungen.
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