Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

3. Gruppen
Definition 3.1 (Gruppe)
Eine Gruppe ist eine Halbgruppe G mit einem linksneutralen Element e, in der zu jedem
Element g ∈ G ein weiteres h ∈ G mit hg = e existiert.
Satz 3.1
Eine Gruppe ist ein Monoid, in dem jedes Element invertierbar ist.
BEWEIS:
Seien G, e, g, h wie oben. Zu dem Element h existiert ein k ∈ G mit kh = e. Dann
ist ke = khg = eg = g und weiter ge = kee = ke = g. Folglich ist e neutral. Für
den Nachweis der Rechtsinvertierbarkeit sei g = ke = k, d. h. gh = e. Somit ist g
invertierbar. �
Beispiel 3.1
(i) (Z, +), (Q, +), (R, +) sind abelsch. Dagegen ist (N, +) keine Gruppe.
(ii) (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·), (C \ {0}, ·). Aber (Z \ {0}, ·) ist keine Gruppe.
(iii) Sei M ein Monoid und U(M) := { a ∈ M | a invertierbar }. Dann heißt U(M) Einheitengruppe
von M.
(iv) Sei X eine Menge und die Einheiten aller Abbildungen von X in sich: U(Abb(X)) =
{ f: X → X | f bijektiv }. Dies wird als symmetrische Gruppe Sym(X) auf X bezeichnet.
Die Elemente der Gruppe heißen Permutationen auf X. Für X = {1, . . . , n}
schreibt man Sym(n) := Sym(X). Die Elemente heißen dann Permutationen des
Grades n. Schreibweise:
Dann ist
f =
f =
�
1 2 . . . n
�
f(1) f(2) . . . f(n)
�
f(1) f(2) . . .
�
f(n)
1 2 . . . n
(v) Sei K ein Körper und n ∈ N. Dann ergibt sich die Einheitengruppe von (K n×n , ·)
durch U(K n×n , ·) = � A ∈ K n×n � � det A �= 0 � =: GL(n, K).
(vi) Für jede nichtleere Familie (Gi)i∈I von Gruppen Gi. Dann ist auch das direkte Produkt
�
i∈I Gi = × Gi = { (gi)i∈I | gi ∈ Gi∀i ∈ I } eine Gruppe mit (gi)(hi) :
i∈I
= (gihi). Im Fall I = {1, . . . , n} schreibt man �n i=1 Gi = × n
i=1 = G1 × . . . × Gn.
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