Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

ist Gj ∩ Gk = 1, d. h. jedes xj ∈ Gj ist mit jedem xk ∈ Gk vertauschbar. Daher haben wir
1 = g1 · . . . · gi−1 · gi · gi+1 · . . . · gn mit gi := g −1 . Sei j ∈ {1, . . . , n} maximal mit gj �= 1.
Dann 1 �= g −1
j = g1 · . . . · gj−1 ∈ Gj ∩ G1 · . . . · Gj−1 = 1 � �
Beispiel 7.1
Sind G1, G2 Normalteiler einer Gruppe G mit G = G1 · G2 und G1 ∩ G2 = 1. Dann ist
G = G1 ⊕ G2.
Satz 7.2
Seien G1, . . . , Gn Normalteiler einer endlichen Gruppe G mit |G| = |G1| · . . . · |Gn| und
ggT(|Gi|, |Gj|) = 1 für i �= j. Dann ist G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gn.
BEWEIS:
Der Beweis erfolgt durch Induktion nach i: Gi ∩ G1 · . . . · Gi−1 = 1 und |G1 · . . . · Gi| =
|G1| · . . . · |Gi−1|. Für i = 2 ist |G2 ∩ G1| | ggT(|G2|, |G1|) = 1. Also G2 ∩ G1 = 1 und
|G1G2| = |G1| · |G2|(·|G1 ∩ G2|) = |G1| · |G2|. Sei die Aussage für i schon bewiesen. Dann
|Gi+1 ∩ G1 · . . . · Gi| | ggT(|Gi+1|, |G1 · . . . · Gi|) = ggT(|Gi+1|, |G1| · . . . · |Gi|) = 1. Also
Gi+1 ∩G1 ·. . .·Gi = 1 und |G1 ·. . .·Gi ·Gi+1| = |G1 ·. . .·Gi|·|Gi+1| = |G1|·. . .·|Gi|·|Gi+1|.
Am Ende hat man |G| = |G1| · . . . · |Gn| = |G1 · . . . · Gn|. Also G = G1 · . . . · Gn. Aus dem
Satz 7.1 folgt die Behauptung. �
Definition 7.2 (Minimale, maximale Untergruppe/Normalteiler)
Eine minimale bzw. maximale Untergruppe einer Gruppe G ist eine Untergruppe U �= 1
bzw. U �= G von G derart, dass keine Untergruppe V � G existiert mit 1 < V < U bzw.
U < V < G. Analog definiert man minimale bzw. maximale Normalteiler
Satz 7.3
(i) Sind G1, . . . , Gn nichtabelsche einfache Normalteiler einer Gruppe G mit G =
G1 ⊕. . .⊕Gn, so sind die Teilsummen Gi1 ⊕. . .⊕Gik die einzigen Normalteiler von
Gi. Insbesondere existiert zu jedem Normalteiler N � G ein M � G mit G = N ⊕ M.
(ii) Direkte Produkte von endlich vielen isomorphen einfachen Gruppen sind stets
charakteristisch einfach.
(iii) Jede endliche charakteristisch einfache Gruppe G ist eine direkte Summe endlich
vieler isomorpher einfacher Gruppen.
BEWEIS:
(i) Sei die Voraussetzung erfüllt und g ∈ N � G. Wir schreiben g = g1 · . . . · gn mit
g1 ∈ G1, . . . , gn ∈ Gn. Dann genügt zu zeigen:
(7.1)
Ist 1 � i � n mit gi �= 1 ⇒ Gi ⊆ N
Sei 1 � i � n mit gi �= 1. Da Gi einfach und nichtabelsch, ist Z(Gi) = 1. Also
liegt gi nicht im Zentrum von G. Also gibt es ein Element h ∈ Gi mit hgi �= gih,
d. h. 1 �= hgih−1g −1
i = hgh−1g−1 ∈ Gi ∩ N. Folglich gilt: Gi � Gi ∩ N �= 1 ist ein
Normalteiler in Gi. Da aber Gi einfach ist, ist Gi = Gi ∩ N � N.
39