Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

9. Auflösbare Gruppen
Definition 9.1 (Kommutator)
Für Elemente x und y einer Gruppe G heißt [x, y] := xyx −1 y −1 Kommutator von x und
y.
Bemerkung 9.1
(i) In manchen Büchern definiert man [x, y] als x −1 y −1 xy.
(ii) Wegen [x, y] = 1 ⇔ xy = yx misst der Kommutator in gewisser Weise die Abweichung
von der Vertauschbarkeit. Ferner gilt: xy = [x, y]yx und [x, y] −1 = [y, x].
(iii) Für jeden Gruppenhomomorphismus f: G → H gilt: f([x, y]) = [f(x), f(y)] für alle
x, y ∈ G.
(iv) Für x, y, z ∈ G gilt ein schwacher Ersatz für die Bilinearität aus der linearen
Algebra: [xy, z] = xyzy −1 x −1 z −1 = x[y, z]zx −1 z −1 = x[y, z]x −1 [x, z] und [x, yz] =
xyzx −1 z −1 y −1 = xyx −1 [x, z]y −1 = [x, y]y[x, z]y −1 .
Definition 9.2 (rechtsnormierter höherer Kommutator)
Für Elemente x1, . . . , xn einer Gruppe G definiert man induktiv den (rechtsnormierten)
höheren Kommutator [x1, . . . , xn] := [x1, [x2, . . . , xn]].
Bemerkung 9.2
(i) Manche Bücher bevorzugen linksnormierte Kommutatoren.
(ii) Für x, y, z ∈ G gilt dann: [xy, z] = [x, y, z][y, z][x, z] und [x, yz] = [x, y][y, x, z][x, z].
(iii) Die folgende Aussage hat Ähnlichkeit mit der JACOBI-Identität für Lie-Algebren.
Satz 9.1
Für Elemente x, y, z ∈ G gilt stets die WITT-Identität:
BEWEIS:
Wegen
(y[x, y −1 , z]y −1 )(z[y, z −1 , x]z −1 )(x[z, x −1 , y]x −1 ) = 1
y[x, y −1 , z]y −1 = yx[y −1 , z]x −1 [z, y −1 ]y −1 = yxy −1 zyz −1 x −1 zy −1 z −1 yy −1
z[y, z −1 , x]z −1 = zy[z −1 , x]y −1 [x, z −1 ]z −1 = zyz −1 xzx −1 y −1 xz −1 x −1 zz −1
x[z, x −1 , y]x −1 = xz[x −1 , y]z −1 [y, x −1 ]x −1 = xzx −1 yxy −1 z −1 yx −1 y −1 xx −1
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