Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

(i) G � α(G) � α 2 (G) � · · · α k (G) = α k+1 (G) = · · ·
(ii) 1 � ker(α) � ker(α 2 ) � · · · � ker(α k ) = ker(α k+1 ) = · · ·
Für jedes k ist
G = ker(α k ) ⊕ α k (G)
BEWEIS:
Die Punkte (i) und (ii) folgen aus der Minimal- bzw. Maximalbedingung. Offenbar sind
ker(α k ) und α k (G) Normalteiler von G. Für g ∈ ker(α k ) ∩ α k (G) existiert ein Element
h ∈ G mit g = α k (h) und 1 = α k (g) = α 2k (h). Also ist h ∈ ker(α 2k ) = ker(α k ). Damit
ist g = α k (h) = 1. Wir haben also gezeigt, dass der Durchschnitt der beiden Mengen
gleich 1 ist.
Für g ∈ G ist andererseits α k (g) ∈ α k (G) = α 2k (G). Also α k (g) = α 2k (h) für h ∈ G.
Daher ist 1 = α k (g)α 2k (h) −1 = α k (gα 2k (h) −1 ). Also ist gα k (h −1 ) ∈ ker(α k ) und
g = gα k (h) · α k (h −1 ) ∈ ker(α k ) · α k (G). Damit ist G = ker α k · α k (G). Die Behauptung
folgt aus Beispiel 7.1. . �
Bemerkung 7.2
Im Fall ker(α k ) = 1 ist also G = α k (G), d. h. α k und α sind bijektiv. Im Fall ker(α k ) = G
ist α k = 0 und α heißt dann nilpotent.
Definition 7.4 (Unzerlegbare Ω-Gruppe)
Sei Ω eine Menge. Eine Ω-Gruppe G �= 1 heißt unzerlegbar, wenn keine echten
Ω-Normalteiler M, N � G mit G = M ⊕ N existieren.
Bemerkung 7.3
Jeder normale Ω-Endomorphismus einer unzerlegbaren Ω-Gruppe mit Minimal- und
Maximalbedingung für Ω-Untergruppen ist nach Satz 7.4 nilpotent oder bijektiv.
Satz 7.5
Sei Ω eine Menge und G eine Ω-Gruppe mit Minimalbedingung für Ω-Untergruppen.
Dann existieren endlich viele unzerlegbare Ω-Normalteiler G1, . . . , Gn � G mit G =
G1 ⊕ . . . ⊕ Gn.
BEWEIS:
Andernfalls ist die Menge M aller Ω-Untergruppen von G, die sich nicht als direkte
Summe von endlich vielen unzerlegbaren Ω-Untergruppen von G schreiben lassen,
nichtleer. Daher existiert ein minimales Element M ∈ M. Dann ist M �= 1 und M
ist selbst keine unzerlegbare Ω-Untergruppe von G. Somit existieren Ω-Untergruppen
M1, M2 < M mit M = M1 ⊕ M2. Nach der Wahl von M sind M1 und M2 direkte
Summen von endlich vielen unzerlegbaren Ω-Untergruppen von G, also auch von M. ��
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