Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

Satz 6.3
Sei Ω eine Menge und G eine Ω-Gruppe mit Ω-Subnormalreihe G = G0 � G1 � . . . �
Gl = 1.
(i) Für jede Ω-Untergruppe H � G ist H = H ∩ G0 � H ∩ G1 � . . . � H ∩ Gl = 1 eine
Ω-Subnormalreihe von H mit H ∩ Gi−1/H ∩ Gi ∼ =Ω (H ∩ Gi−1)Gi/Gi � Gi−1/Gi.
(ii) Für jeden Ω-Normalteiler N � G ist G/N = G0N/N � G1N/N � . . . � GlN/N =
1 eine Ω-Subnormalreihe von G/N mit (Gi−1N/N)/GiN/N ∼ =Ω Gi−1N/GiN ∼ =Ω
Gi−1/Gi−1 ∩ GiN ∼ =Ω (Gi−1/Gi)/(Gi−1) ∩ GiN/Gi für alle i.
BEWEIS:
(i) Jeweils gilt: H ∩ Gi = (H ∩ Gi−1) ∩ Gi � H ∩ Gi−1 nach dem ersten Isomorphiesatz
(Satz 5.3). Der Rest des Satzes lässt sich mit dem gleichen Satz beweisen.
(ii) Wegen Gi � Gi−1 ist GiN/N � Gi−1N/N durch die Anwendung des Homomorphismus
nach Beispiel 5.1 (vi). Ferner ist Gi−1N/GiN = Gi−1(GiN)/GiN ∼ =Ω
Gi−1/Gi−1 ∩ GiN nach Satz 5.3. �
Definition 6.5 (Normaler Endomorphismus)
Ein Endomorphismus α einer Gruppe G mit α(xyx −1 ) = xα(y)x −1 für alle x, y ∈ G heißt
normal.
Bemerkung 6.3
Mit Ω := Inn G sind die normalen Endomorphismen von G die Ω-Endomorphismen von G.
Ferner ist ein α ∈ End G genau dann normal, wenn gilt: x −1 α(x)α(y) = α(y)x −1 α(x) für
alle x, y ∈ G, d. h. wenn x −1 α(x) für alle x ∈ G mit jedem Element in α(G) vertauschbar
ist. Insbesondere ist ein α ∈ Aut G genau dann normal, wenn x −1 α(x) für alle x ∈ G im
Zentrum von G ist.
Beispiel 6.4
Die Identitätsabbildung ιG : G → G mit g ↦→ g und die Nullabbildung 0G : G → G mit
g ↦→ 1 sind stets normal.
Satz 6.4 (SCHURs Lemma)
Für jede Menge Ω, jede einfache Ω-Gruppe G und jeden normalen Ω-Endomorphismus
0 �= α ∈ EndΩ G gilt: α ∈ AutΩ G.
BEWEIS:
Sicher ist das α(G) ein Ω-Normalteiler von G. Wegen α �= 0 ist α(G) �= 1. Also ist
α(G) = G. Analog ist der Kern von α ein Ω-Normalteiler mit ker α �= G (wegen α �= 0).
Daher ist der Kern von α gleich 1, d. h. α ist injektiv. �
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