Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

Bemerkung 5.1
Für N � G ist f: G → G/N mit g ↦→ gn ein Epimorphismus. Dieser heißt kanonischer
Epimorphismus von G auf G/N. Es gilt: a ≡l b (mod N) ⇔ aN = bN ⇔ Na = Nb ⇔
a ≡r b (mod N). Daher schreibt man kurz a ≡ b (mod N) und sagt, „a ist kongruent zu
b modulo N“.
Beispiel 5.1
(i) In jeder Gruppe G sind {1} und G normal. Sind dies die einzigen Normalteiler und
ist G �= 1, dann heißt die Gruppe einfach. Nach dem Satz 4.2 (Satz von LAGRANGE)
sind Gruppen von Primzahlordnung stets einfach. Später werden wir weitere einfache
Gruppen kennen lernen (Siehe Kapitel 6). Eine nichteinfache Gruppe G �= 1
stellt man sich aus Normalteiler N und Faktorgruppe G/N zusammengesetzt vor:
G/N
N
Auf diese Weise werden einfache Gruppen zu Bausteinen für
beliebige Gruppen. Die Bestimmung aller endlichen einfachen Gruppen war eines
der größten Projekte der Mathematik überhaupt. Beteiligt daran waren ca. 50 bis
100 Mathematiker. Die entsprechenden Veröffentlichungen haben einen Umfang
von etwa 10 000 Seiten. Das Projekt wurde 1980 1 erfolgreich abgeschlossen. Das
Buch [11] erzählt einen Teil der Geschichte.
(ii) In jeder Gruppe G ist jede Untergruppe U vom Zentrum von G normal. Denn für
g ∈ G und u ∈ U ist gug −1 = ugg −1 = u ∈ U. Insbesondere ist das Zentrum einer
Gruppe ein Normalteiler der Gruppe. Ferner gilt, dass G genau dann abelsch ist,
wenn G = Z(G). Daher ist in einer abelschen Gruppe jede Untergruppe normal.
(iii) Seien G eine Gruppe und H eine Untergruppe mit |H: G| = 2. Dann ist H � G.
Denn 1H = H = H1 und G \ H sind die einzigen Linksnebenklassen nach H.
(iv) Sei n eine natürliche Zahl und K ein Körper. Dann ist SL(n, K) = ker(det) �
GL(n, K).
(v) Für jeden Gruppenhomomorphismus f: G → H und N � H ist f −1 (N) � G. Denn
für g ∈ G und x ∈ f −1 (N) ist f(gxg −1 ) = f(g)f(x)f(g −1 ) = f(x)f(g)f(g −1 ) =
f(x)f(gg −1 ) = f(x) ∈ N, d. h. gxg −1 ∈ f −1 (N).
(vi) Für jeden Gruppenhomomorphismus f: G → H und jeden Normalteiler M � G ist
f(M) � f(G). Denn für g ∈ G und m ∈ M ist f(g)f(m)f(g−1 ) = f(gmg−1 ) ∈ f(M).
Dagegen ist im Allgemeinen f(M) � H. (siehe Übung)
(vii) Für jede Familie (Ni)i∈I von Normalteilern Ni einer Gruppe G sind auch �
i∈I Ni
und 〈Ni : i ∈ I〉 := 〈 �
i∈I Ni〉 normal in G.
1 Manche meinen auch 2000 oder 2005.
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