Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

Bemerkung 8.3
(i) Sei A eine freie abelsche Gruppe mit der Basis a1, . . . , an. Dann ist A torsionsfrei.
Denn ist x = z1a1 + · · · + znan ∈ A mit k := |〈x〉| < ∞, so ist 0 = kx = kz1a1 +
· · · + kznan, also 0 = kz1 = · · · = kzn und damit ist z1 = · · · = zn = 0, d. h. x = 0.
(ii) Es ist (Q, +) torsionsfrei, aber nicht frei. Denn sind x ∈ Q und k ∈ N mit kx = 0, so
ist x = 0. Ferner ist (Q, +) nicht zyklisch und für n � 2 sind beliebige x1, . . . , xn ∈ Q
stets linear abhängig. Schreibt man nämlich xi = pi/qi mit pi, qi ∈ Z und qi �= 0,
so ist 0 = p2q1x1 − p1q2x2 + 0x3 + · · · + 0xn.
(iii) Für jede freie abelsche Gruppe A mit einer Basis a1, . . . , an ist die Abbildung
f: Z n → A mit (z1, . . . , zn) ↦→ z1a1 + · · · + znan ein Isomorphismus. Umgekehrt
ist Z n für ein n ∈ N frei mit der Basis
e1 = (1, 0, . . . , 0)
.
en = (0, . . . , 0, 1)
Satz 8.3
Seien A eine freie abelsche Gruppe, B eine beliebige abelsche Gruppe und f: B → A ein
Epimorphismus. Dann ist B = U ⊕ ker f für ein U � B. Insbesondere ist U ∼ = B/ ker f ∼ = A.
BEWEIS:
Sei a1, . . . , an eine Basis von A und b1, . . . , bn ∈ B mit f(b1) = a1, . . . , f(bn) = an sowie
b ∈ B. Dann existieren z1, . . . , zn ∈ Z mit f(b) = z1a1 + · · · + znan = z1f(b1) + · · · +
znf(bn) = f(z1b1 + · · · + znbn) =: f(n). Also ist u ∈ U := 〈b1, . . . , bn〉 mit f(b − u) = 0.
Folglich: b − u ∈ ker f und b = u + (b − u) ∈ U + ker f. Damit ist gezeigt: B = U + ker f.
Sei andererseits y ∈ U ∩ ker f und y = y1b1 + · · · + ynbn. Dann ist 0 = f(y) =
y1f(b1) + · · · + ynf(bn) = y1a1 + · · · + ynan. Da a1, . . . , an linear unabhängig sind,
folgt, y1 = · · · = yn = 0 und y = 0. Also gilt auch: U ∩ ker f = ∅. �
Satz 8.4
Jede torsionsfreie endlich erzeugte abelsche Gruppe A ist frei.
BEWEIS:
Seien A = 〈a1, . . . , ak〉, a1 �= 0, ak �= 0 und B = A/〈ak〉, T(B) = C/〈ak〉 mit 〈ak〉 �
C � A. Dann: 〈a1 + C, . . . , ak−1 + C〉 = A/C ∼ = B/T(B) endlich erzeugt und torsionsfrei.
Nun führen wir eine Induktion nach k durch. Der Fall k = 1 wurde oben schon erledigt.
Also betrachten wir k > 1. Nach Induktion ist A/C frei, d. h. A/C ist isomorph zu
Z t für ein t ∈ N0. Nach dem Satz 8.3 ist A = D ⊕ C für eine Untergruppe D � A.
Insbesondere ist D isomorph A/C ∼ = Z t . Daher genügt zu zeigen, dass das C frei ist.
Wegen C ∼ = A/D = 〈a1 + D, . . . , ak + D〉 ist C endlich erzeugt. Sei etwa C erzeugt von
〈c1, . . . , cl〉. Für c ∈ C ist c + 〈ak〉 ∈ C/〈ak〉 = T(B). Daher existiert ein r ∈ N mit der
Eigenschaft 0 = r·(c+〈ak〉) = rc+〈ak〉, d. h. r ∈ 〈ak〉, etwa rc = sak mit s ∈ Z. Sind auch
r ′ ∈ N und s ∈ Z mit r ′ c = s ′ ak, so ist (r ′ s−rs ′ )ak = r ′ sak−rs ′ ak = r ′ rc−rr ′ c = 0. Da
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