Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

BEWEIS:
Für n ∈ N0 ist nZ das Bild des Homomorphismus Z → Z mit z ↦→ nz. Daher ist nZ � Z.
Sei U � Z und Œ 1 ist U �= {0} = 0Z. Für a ∈ U \ {0} ist auch −a ∈ U. Daher U ∩ N �= ∅.
Wie jede nichtleere Teilmenge von N enthält auch der Durchschnitt ein kleinstes Element
n. Dann ist 2n = n + n ∈ U, 3n ∈ U usw., d. h. kn ∈ U für k ∈ N. Folglich auch −kn ∈ U
und 0 ∈ U. Also ist nZ ⊆ U.
Ist b ∈ U beliebig. Dann liefert die Division mit Rest einen Quotienten q ∈ Z und einen
Rest mit r ∈ Z. Dabei gilt: b = qn + r. Wegen nZ ⊆ U ist r = b − qn ∈ U. Nach der Wahl
des n muss r = 0 gelten. Folglich: b = qn ∈ nZ. Dann ist gezeigt: U = nZ. �
Bemerkung 4.5
Es ist |Z: nZ| = n für n ∈ N. Denn für z ∈ Z existieren Quotient und Rest aus Z mit
z = qn + r für 0 � r < n. Daher ist z ∈ r + nZ. Folglich hat man: Z = (0 + nZ) ∪ (1 +
nZ) ∪ · · · ∪ (n − 1 + nZ). Da 0,1, . . . , n − 1 in paarweise verschiedenen Linksnebenklassen
nach nZ liegen, folgt die Behauptung. Daher besitzt Z für jede natürliche Zahl n genau
eine Untergruppe vom Index n.
Satz 4.6
Jede Untergruppe V einer zyklischen Gruppe G = 〈g〉 ist wieder zyklisch.
BEWEIS:
Sei f ein Homomorphismus (Epimorphismus) von (Z, +) nach (G, ·) mit n ↦→ g n . Nach
dem Satz 3.7 (Punkt iv) gilt: V = f(f −1 (V)) mit f −1 (V) � Z und nach Satz 4.5 ist
f −1 (V) = nZ für ein n ∈ N0. Daher V = f(nZ) = 〈g n 〉 zyklisch. �
Definition 4.3 (Doppelnebenklassen)
Sei G eine Gruppe und H und K zwei Untergruppen. Weiterhin seien a und b zwei
Elemente aus G. Wir schreiben a ≡ b (mod H, K), falls h ∈ H, k ∈ K mit b = hak
existieren.
Satz 4.7
Die Kongruenz modulo H und K ist eine Äquivalenzrelation auf G.
BEWEIS:
(i) Für a ∈ G folgt: a = 1a1 mit 1 ∈ H, 1 ∈ K. Also ist a ≡ a (mod H, K).
(ii) Sei a ≡ b (mod H, K) ⇒ ∃h ∈ H, k ∈ K: b = hak ⇒ a = h −1 bk −1 mit h −1 ∈
H, k −1 ∈ K ⇒ b ≡ a (mod H, K).
(iii) a ≡ b (mod H, K) und b ≡ c (mod H, K) ⇒ ∃h, h ′ ∈ H, k, k ′ ∈ K: b = hak, c =
h ′ bk ′ ⇒ c = h ′ hbkk ′ . Also ist a ≡ c (mod H, K). �
Bemerkung 4.6
Für jedes Element a ∈ G ist die Äquivalenzklasse von a bezüglich der Äquivalenzrelation
die Doppelnebenklasse HaK := { hak | h ∈ H, k ∈ K } von a nach H und K. Man setzt:
H \ G/K := { HaK | a ∈ G }. Es gilt, H \ G = H \ G/1 und G/K = 1 \ G/K. Im Allgemeinen
ist die Anzahl der Elemente einer Doppelnebenklasse kein Teiler der Gruppenordnung.
1 Herr Külshammer nutzt dieses als Zeichen für o. B. d. A.
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