Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

(iii) Für jede nichtleere Familie (Gi)i∈I von Gruppen bilden die Elemente (gi)i∈I aus
dem direkten Produkt mit |{ i ∈ I | gi �= 1 }| < ∞ eine Untergruppe von �
i∈I Gi.
Diese heißt direktes eingeschränktes Produkt von (Gi)i∈I. Hierfür nutzen wir
die Schreibweise: �
i∈I Gi. Für |I| < ∞ ist �
i∈I Gi = �
i∈I Gi.
(iv) Für jede Monade M ist die Automorphismengruppe Aut(M) eine Untergruppe von
Sym(M).
Satz 3.4
Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe von G,
wenn gilt: a, b ∈ U ⇒ ab −1 ∈ U.
BEWEIS:
Wir brauchen nur die Rückrichtung zu zeigen. Die andere Richtung ist klar. Sei dazu
U eine nichtleere Teilmenge von G und die obige Bedingung erfüllt. Dann existiert ein
x ∈ U. Folglich 1G = xx −1 ∈ U. Also x −1 = 1Gx −1 ∈ U. Andererseits gilt für y ∈ U:
x(y −1 ) −1 ∈ U. �
Definition 3.4
Für Teilmengen X, Y einer Gruppe G setzt man: XY := { xy | x ∈ X, y ∈ Y } und X −1 :=
� x −1 � � x ∈ X � .
Bemerkung 3.2
Dann ist (X −1 ) −1 = X, (XY) −1 = Y −1 X −1 , (XY)Z = X(YZ) für X, Y, Z ⊆ G. Der Satz 3.4
besagt: X � G ⇔ X �= ∅ ∧ XX −1 ⊆ X.
Satz 3.5
Für Untergruppen U, V, W einer Gruppe G gilt stets:
(i) U ∪ V � G ⇔ U ⊆ V ∨ V ⊆ U
(ii) UV � G ⇔ UV = VU
(iii) U ⊆ W ⇒ UV ∩ W = U(V ∩ W) (DEDEKINDsche Identität)
BEWEIS:
(i) „⇒“: Sei U ∪ V � G und U � V. Dann gibt es ein Element u ∈ U \ V. Für v ∈ V
ist uv ∈ U ∪ V. Im Fall uv ∈ V wäre u = uvv −1 ∈ V. � Also muss uv ∈ U sein und
v = u −1 uv ∈ U. Daher ist V ⊆ U.
„⇐“ ist trivial.
(ii) Sei UV � G. Dann ist (UV) = (UV) −1 = V −1 U −1 = VU und für UV = VU
folgt: (UV)(UV) −1 = UVV −1 U −1 ⊆ UVU nach Bemerkung 3.2 und wegen der
Kommutativität gilt: UVU = UUV = UV. Somit ist UV eine Untergruppe.
(iii) Sei U ⊆ W und w ∈ UV ∩ W. Wir schreiben w = uv mit u ∈ U und v ∈ V. Dann
ist v = u −1 w ∈ W, d. h. w = uv ∈ U(V ∩ W). Umgekehrt ist U(V ∩ W) ⊆ UV und
U(V ∩ W) ⊆ WW ⊆ W, d. h. U(V ∩ W) ⊆ UV ∩ W. �
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