Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

7. Direkte Zerlegungen mit ηj(G) = Hj für j = 1, . . . , s. Also ist εj ◦ ηj = ηj für j � i − 1 und εi ◦ ηj = 0 für j = 1, . . . , i − 1. Daher ist εi = �s j=i εi ◦ ηj. Dabei sind die einzelnen Summanden paarweise addierbar mit εi◦ηi, . . . , εi◦ηs ∈ EndΩ(G). Für β ∈ EndΩ(G) mit β(Gi) ⊆ Gi sei β: Gi → Gi die entsprechende Einschränkung. Dann: idGi = εi = �s j=i εi ◦ ηj. Da Gi unzerlegbar ist, ist unter εi ◦ ηi, . . . , εi ◦ ηs ein Automorphismus von Gi nach Satz 7.8. Nach Umnummerierung von Hi, . . . , Hs kann man εi ◦ ηi ∈ AutΩ(Gi) annehmen. Nun behaupten wir: Hi = ηi(Gi) ⊕ (ker(εi) ∩ Hi). Da εi und ηi Ω-Endomorphismen und normal sind, sind ηi(Gi) und ker(εi) ∩ Hi beide Ω-Normalteiler von G. Ist g ∈ Gi mit der Eigenschaft 1 = εi(ηi(g)) = εi ◦ ηi(g) = g, also auch ηi(g) = 1. Daher ist ηi(Gi) ∩ ker(εi) ∩ Hi = 1. Für h ∈ Hi ist εi(h) ∈ Gi = εi(ηi(Gi)). Also εi(h) = εi(ηi(k)) für ein k ∈ Gi. Daher: 1 = εi(ηi(k −1 ))εi(h) = εi(ηi(k −1 )h), d. h. ηi(k −1 ) ∈ ker(εi) ∩ Hi und h = ηi(k)ηi(k −1 )h ∈ ηi(Gi) · ker(εi) ∩ Hi. Damit ist die Behauptung gezeigt. Da Hi unzerlegbar und ηi(Gi) �= 1 ist, folgt, dass ker(εi) ∩ Hi = 1 und Hi = ηi(Gi) = ηi(εi(G)). Für j = 1, . . . , i − 1 ist εj(G) = Hj und für j = i + 1, . . . , r ist εj(G) = Gj. Ferner ist ηi(gi) = ηi(gjgig −1 −1 j ) = gjηi(gi)gj für gi ∈ Gi = εi(G), gj ∈ Gj mit i �= j. Daher sind ε1, . . . , εi−1, ηi ◦ εi, εi+1, . . . , εr paarweise addierbar. Folglich ist normal mit δ := ε1 + · · · + εi−1 + (ηi ◦ εi) + εi+1 + · · · + εr ∈ EndΩ(G) δ(Hj) = εj(Hj) = Hj für j = 1, . . . , i − 1 δ(Gi) = ηi(εi(Gi)) = Hi δ(Gj) = εj(Gj) = Gj für j = i + 1, . . . , r Daher: δ(G) = δ(H1 · . . . · Hi−1 · Gi · Gi+1 · . . . · Gr) = H1 · . . . · Hi−1 · Gi · Gi+1 · . . . · Gr mit H1 · . . . · Hi−1 · Gi+1 · . . . · Gr = H1 ⊕ . . . ⊕ Hi−1 ⊕ Hi ⊕ Gi+1 ⊕ . . . ⊕ Gr. Hat man h1 ∈ H1, . . . , hi−1 ∈ Hi−1, gi ∈ Gi, . . . , gr ∈ Gr mit 1 = δ(h1 · . . . · hi−1gi · . . . · gr) = h1 · . . . · hi−1ηi(gi)gi+1 ·. . .·gr, so folgt, 1 = h1 = · · · = hi−1 = ηi(gi) = gi+1 = · · · = gr. Wegen εi ◦ ηi ∈ AutΩ(Gi) ist dann auch gi = 1. Daher ist δ injektiv. Nach der Bemerkung 7.2 ist also δ ∈ AutΩ(G). Insbesondere ist G = δ(G) = H1 ⊕ . . . ⊕ Hi ⊕ Gi+1 ⊕ . . . ⊕ Gr. Folglich ist αi+1 := δ ◦ αi ∈ AutΩ(G) normal mit den gewünschten Eigenschaften. Am Schluss ist αr+1 ∈ AutΩ(G) normal mit αr+1(G1) = H1, . . . , αr+1(Gr) = Hr. Daher ist r = s. � Bemerkung 7.5 Dies ist analog zum Austauschsatz von STEINITZ aus der linearen Algebra. Beispiel 7.3 (i) Sei Ω eine Menge mit Ω = Ω1 ·∪ . . . ·∪Ωk. Dann ist G := Sym(Ω1)⊕. . .⊕Sym(Ωk) � Sym(Ω) die YOUNG-Untergruppe. 44 (ii) Sei K ein Körper und n := n1 + · · · + nk natürliche Zahlen. Die LEVI-Untergruppe
ist dann: ⎛ ⎜ G := ⎜ ⎝ GL(n1, K) 0 . .. 0 GL(n1, K) ⎞ ⎟ � GL(n, K) ⎠ 45
Seite 1: Gruppentheorie Prof. Dr. Burkhard K
Seite 4 und 5: Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1
Seite 6 und 7: Inhaltsverzeichnis A.9. Blatt 9 . .
Seite 8 und 9: Inhaltsverzeichnis Satz 14.6.Satz v
Seite 10 und 11: 1. Einführung Im folgenden sind ei
Seite 12 und 13: 1. Einführung 1.7. Zahlentheorie S
Seite 14 und 15: 2. Halbgruppen Definition 2.3 (Vert
Seite 16 und 17: 2. Halbgruppen Satz 2.1 Die Isomorp
Seite 18 und 19: 3. Gruppen Definition 3.2 (Ordnung)
Seite 20 und 21: 3. Gruppen Definition 3.5 (erzeugte
Seite 22 und 23: 3. Gruppen „⇐“ Sei jetzt ker
Seite 24 und 25: 4. Nebenklassen BEWEIS: Die Gruppe
Seite 26 und 27: 4. Nebenklassen Beispiel 4.2 � 1
Seite 28 und 29: 5. Normalteiler und Faktorgruppen S
Seite 30 und 31: 5. Normalteiler und Faktorgruppen (
Seite 32 und 33: 5. Normalteiler und Faktorgruppen B
Seite 34 und 35: 5. Normalteiler und Faktorgruppen B
Seite 36 und 37: 6. Normalreihen BEWEIS: Seien Gleic
Seite 38 und 39: 7. Direkte Zerlegungen Definition 7
Seite 40 und 41: 7. Direkte Zerlegungen (ii) Sei H e
Seite 42 und 43: 7. Direkte Zerlegungen Beispiel 7.2
Seite 46 und 47: 8. Abelsche Gruppen Bemerkung 8.1 I
Seite 48 und 49: Übungen korrektreferenzieren 8. Ab
Seite 50 und 51: 8. Abelsche Gruppen Bemerkung 8.6 F
Seite 52 und 53: 9. Auflösbare Gruppen gilt, dass s
Seite 54 und 55: 9. Auflösbare Gruppen Bemerkung 9.
Seite 56 und 57: 9. Auflösbare Gruppen 56 (i) BURNS
Seite 58 und 59: 10. Nilpotente Gruppen (ii) G (n)
Seite 60 und 61: 10. Nilpotente Gruppen Folglich Gr
Seite 62 und 63: 11. Gruppenoperationen Definition 1
Seite 64 und 65: 11. Gruppenoperationen Satz 11.4 Se
Seite 66 und 67: 11. Gruppenoperationen (i) Für die
Seite 68 und 69: 11. Gruppenoperationen BEWEIS: (1)
Seite 70 und 71: 12. Sylowgruppen Bemerkung 12.1 Jed
Seite 72 und 73: Ist das P richtig? 12. Sylowgruppen
Seite 74 und 75: 12. Sylowgruppen Bekanntlich gilt:
Seite 76 und 77: 12. Sylowgruppen q 2 = |Syl p(G)|
Seite 78 und 79: 13. Symmetrische Gruppen Bemerkung
Seite 80 und 81: Link einfügen 13. Symmetrische Gru
Seite 82 und 83: 14. Hallgruppen Es geht um Verallge
Seite 84 und 85: 14. Hallgruppen N| = |NG(P)N/N| = |
Seite 86 und 87: 14. Hallgruppen Ist D �= 1, so fo
Seite 88 und 89: 14. Hallgruppen Sei H ein beliebige
Seite 90 und 91: 15. Lineare Gruppen Bemerkung 15.2
Seite 92 und 93: 15. Lineare Gruppen (ii) Wegen |GL(
Seite 94 und 95:
16. Die Verlagerung Bemerkung 16.1
Seite 96 und 97:
16. Die Verlagerung (iii) G/G ′ =
Seite 98 und 99:
16. Die Verlagerung Satz 16.8 Sind
Seite 100 und 101:
A. Übungsaufgaben G:=SymmetricGrou
Seite 102 und 103:
A. Übungsaufgaben A.2.5. Aufgabe 9
Seite 104 und 105:
Seite 106 und 107:
A. Übungsaufgaben Konjugiert man n
Seite 108 und 109:
Seite 110 und 111:
Seite 112 und 113:
A. Übungsaufgaben A.10.2. Aufgabe
Seite 114 und 115:
A. Übungsaufgaben A.13. Blatt 13 A
Seite 116 und 117:
Literaturverzeichnis [1] ALPERIN-BE
Seite 118 und 119:
INDEX freie abelsche, 46 hyperfokal
Seite 120:
INDEX Z Zentralfolge, 57 absteigend
Alle anzeigen

Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?