Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...
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<strong>Gruppentheorie</strong><br />
Prof. Dr. Burkhard Külshammer<br />
Semester: SS 2009
Vorwort<br />
Dieses Dokument wurde als Skript <strong>für</strong> die auf <strong>der</strong> Titelseite genannte Vorlesung erstellt<br />
<strong>und</strong> wird jetzt im Rahmen des Projekts „<strong>Vorlesungsskripte</strong> <strong>der</strong> <strong>Fakultät</strong> <strong>für</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
<strong>und</strong> Informatik“ weiter betreut. Das Dokument wurde nach bestem Wissen <strong>und</strong> Gewissen<br />
angefertigt. Dennoch garantiert we<strong>der</strong> <strong>der</strong> auf <strong>der</strong> Titelseite genannte Dozent, die Personen,<br />
die an dem Dokument mitgewirkt haben, noch die Mitglie<strong>der</strong> des Projekts <strong>für</strong> dessen Fehlerfreiheit.<br />
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Diese Ausgabe trägt die Versionsnummer 3482 <strong>und</strong> ist vom 25. Juli 2011. Eine neue Ausgabe<br />
könnte auf <strong>der</strong> Webseite des Projekts verfügbar sein.<br />
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die Mailingliste senden. Weitere Informationen sind unter<br />
<strong>der</strong> oben genannten Internetadresse verfügbar.<br />
Hiermit möchten wir allen Personen, die an diesem Skript mitgewirkt haben, vielmals<br />
danken:<br />
• Jens Kubieziel (2009)<br />
• Stilianos Louca (2009)<br />
3
Inhaltsverzeichnis<br />
1. Einführung 10<br />
1.1. Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.2. Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.3. Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.4. Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.5. Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.6. Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.7. Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.8. Beliebige mathematische Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
2. Halbgruppen 13<br />
3. Gruppen 17<br />
4. Nebenklassen 23<br />
5. Normalteiler <strong>und</strong> Faktorgruppen 28<br />
6. Normalreihen 35<br />
7. Direkte Zerlegungen 38<br />
8. Abelsche Gruppen 46<br />
9. Auflösbare Gruppen 51<br />
10. Nilpotente Gruppen 57<br />
11. Gruppenoperationen 62<br />
12. Sylowgruppen 70<br />
13. Symmetrische Gruppen 77<br />
14. Hallgruppen 82<br />
15. Lineare Gruppen 89<br />
4
Inhaltsverzeichnis<br />
16. Die Verlagerung 94<br />
A. Übungsaufgaben 99<br />
A.1. Übungsblatt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
A.1.1. Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
A.1.2. Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
A.1.3. Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
A.1.4. Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
A.2. Übungsblatt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
A.2.1. Aufgabe 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
A.2.2. Aufgabe 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
A.2.3. Aufgabe 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
A.2.4. Aufgabe 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
A.2.5. Aufgabe 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />
A.3. Übungsblatt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />
A.3.1. Aufgabe 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />
A.3.2. Aufgabe 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br />
A.3.3. Aufgabe 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br />
A.3.4. Aufgabe 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
A.4. Übungsblatt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
A.4.1. Aufgabe 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
A.4.2. Aufgabe 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
A.4.3. Aufgabe 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
A.4.4. Aufgabe 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
A.5. Blatt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
A.5.1. Aufgabe 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
A.5.2. Aufgabe 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
A.5.3. Aufgabe 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
A.5.4. Aufgabe 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
A.6. Blatt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
A.6.1. Aufgabe 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
A.6.2. Aufgabe 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
A.6.3. Aufgabe 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
A.6.4. Aufgabe 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
A.7. Blatt 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
A.7.1. Aufgabe 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
A.7.2. Aufgabe 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
A.7.3. Aufgabe 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
A.7.4. Aufgabe 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
A.8. Blatt 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
A.8.1. Aufgabe 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
A.8.2. Aufgabe 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
A.8.3. Aufgabe 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
A.8.4. Aufgabe 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
5
Inhaltsverzeichnis<br />
A.9. Blatt 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
A.9.1. Aufgabe 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
A.9.2. Aufgabe 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
A.9.3. Aufgabe 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
A.9.4. Aufgabe 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
A.9.5. Aufgabe 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
A.10.Blatt 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
A.10.1.Aufgabe 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
A.10.2.Aufgabe 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
A.10.3.Aufgabe 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
A.10.4.Aufgabe 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
A.11.Blatt 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
A.11.1.Aufgabe 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
A.11.2.Aufgabe 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
A.11.3.Aufgabe 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
A.11.4.Aufgabe 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
A.12.Blatt 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
A.12.1.Aufgabe 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
A.12.2.Aufgabe 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
A.12.3.Aufgabe 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
A.12.4.Aufgabe 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
A.13.Blatt 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
A.13.1.Aufgabe 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
A.13.2.Aufgabe 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
A.13.3.Aufgabe 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
A.13.4.Aufgabe 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
B. Artikel zum begleitendem Lesen 115<br />
6
Auflistung <strong>der</strong> Theoreme<br />
Sätze<br />
Satz 4.2. Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
Satz 4.4. Satz von FERMAT o<strong>der</strong> EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
Satz 5.2. Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
Satz 5.3. 1. Isomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
Satz 5.4. 2. Isomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
Satz 5.5. 3. Isomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
Satz 6.1. Verfeinerungssatz von SCHREIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
Satz 6.2. Satz von JORDAN-HÖLDER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
Satz 6.4. SCHURs Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
Satz 7.4. Satz von FITTING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
Satz 7.9. Eindeutigkeitssatz von KRULL-REMAK-SCHMIDT . . . . . . . . . . . . . 43<br />
Satz 8.9. Hauptsatz über endlich erzeugte Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
Satz 11.3.Satz von CAYLEY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
Satz 11.6.FRATTINI-Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
Satz 11.7.Lemma von BURNSIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
Satz 12.1.Satz von LANDAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
Satz 12.4.Satz von SYLOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
Satz 12.5.Satz von CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
Satz 12.6.Argument von FRATTINI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
Satz 14.3.Satz von SCHUR-ZASSENHAUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
Satz 14.4.Satz von HALL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />
Satz 14.5.Satz von O. SCHMIDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
7
Inhaltsverzeichnis<br />
Satz 14.6.Satz von WIELANDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
Satz 14.7.Satz von GALOIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
Satz 14.8.HALL-HIGMANN-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
Satz 15.1.Lemma von IWASAWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
Satz 16.6.Satz von BURNSIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
Definitionen <strong>und</strong> Festlegungen<br />
Definition 2.1. Monade, Magma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
Definition 2.2. rechts-, linksneutral, neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
Definition 2.3. Vertauschbarkeit, Kommutativität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
Definition 2.4. Halbgruppe, Monoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
Definition 2.5. Invertierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
Definition 2.6. Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
Definition 2.7. Homomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
Definition 2.8. isomorph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
Definition 3.1. Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
Definition 3.2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
Definition 3.3. Untergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
Definition 3.5. erzeugte Untergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
Definition 4.1. Linkskongruenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
Definition 4.3. Doppelnebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
Definition 5.1. normale Untergruppe, Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
Definition 5.2. Faktorgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
Definition 5.4. Ω-Gruppe, Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
Definition 5.5. Ω-Untergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
Definition 6.1. Subnormalreihe, Länge, Faktor, Normalreihe . . . . . . . . . . . . 35<br />
Definition 6.3. Kompositionsreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
Definition 6.4. (charakteristisch) einfache Ω-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
8
Inhaltsverzeichnis<br />
Definition 6.5. Normaler Endomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
Definition 7.1. Direkte Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
Definition 7.2. Minimale, maximale Untergruppe/Normalteiler . . . . . . . . . . 39<br />
Definition 7.3. Minimal-/Maximalbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
Definition 7.4. Unzerlegbare Ω-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
Definition 7.5. Addierbare Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
Definition 8.1. Torsionsgruppe, torsionsfrei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
Definition 8.2. linear (un)abhängig, Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
Definition 8.3. Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
Definition 9.1. Kommutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
Definition 9.2. rechtsnormierter höherer Kommutator . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
Definition 9.3. Kommutator zweier Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
Definition 9.5. Kommutatorgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
Definition 9.7. Auflösbare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
Definition 10.2.Aufsteigende Zentralfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
Definition 10.3.Nilpotente Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
Definition 10.4.Zentralreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
Definition 11.1.Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
Definition 11.3.Stabilisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
Definition 11.4.Transitive Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
Definition 11.5.Fixpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
Definition 12.2.p-Sylowgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
Definition 13.1.Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
Definition 13.2.Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
Definition 13.3.Vorzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
Definition 14.2.Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
Definition 16.1.Verlagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
Definition 16.2.Fokalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95<br />
Definition 16.3.Hyperfokale Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
9
1. Einführung<br />
Im folgenden sind einige Beispiele <strong>für</strong> Gruppen genannt. Die Beispiele erstrecken sich<br />
über verschiedene Gebiete <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>. Denn die Gruppenstruktur ist immer wie<strong>der</strong><br />
anzutreffen.<br />
1.1. Zahlbereiche<br />
(i) (Z, +), (Q, +)<br />
(ii) (Q \ {0}, ·)<br />
(iii) Z/nZ <strong>der</strong> Restklassenring bzw. die Restklassengruppe modulo n mit <strong>der</strong> Addition.<br />
(iv) (Z/nZ) × = { a + nZ | ggT(a, n) = 1 } prime Restklassengruppe modulo n mit <strong>der</strong><br />
Multiplikation<br />
1.2. Lineare Algebra<br />
Sei K ein Körper <strong>und</strong> V ein K-Vektorraum. Dann haben wir:<br />
(i) GL(n, K) = � A ∈ K n×n � � |A| �= 0 � mit <strong>der</strong> Matrixmultiplikation. Dies ist die allgemeine<br />
lineare Gruppe des Grades n über K.<br />
(ii) GL(V) = { f: V → V | f linear <strong>und</strong> bijektiv }.<br />
(iii) SL(n, K) = � A ∈ K n×n � � |A| = 1 � die spezielle lineare Gruppe des Grades n über<br />
K.<br />
Sei V ein euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt<br />
(i) O(V) = { f: V → V | f Isometrie } ist die orthogonale Gruppe von V. Dabei bedeutet<br />
Isometrie, dass f linear ist <strong>und</strong> <strong>für</strong> alle x, y aus V gilt: 〈f(x), f(y)〉 = 〈x, y〉.<br />
(ii) O(n) = O(n, R) = � A ∈ Rn×n � �<br />
� AT A = 1n orthogonale Gruppe des Grades n.<br />
Sei V ein unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt<br />
10<br />
(i) U(V) = { f: V → V | f Isometrie } unitäre Gruppe von V
(ii) U(n) = U(n, C) =<br />
1.3. Kombinatorik<br />
Sei Ω eine Menge.<br />
�<br />
A ∈ Cn×n �<br />
�<br />
� A T �<br />
A = 1n<br />
(i) Sym(Ω) = { f: Ω → Ω | f bijektiv } symmetrische Gruppe auf Ω<br />
1.3. Kombinatorik<br />
(ii) Alt(Ω) = { f ∈ Sym(Ω) | f gerade } alternierende Gruppe auf Ω. Dabei muss Ω<br />
endlich sein.<br />
1.4. Geometrie<br />
(i) AO(R n ) = { f: R n → R n | �f(x) − f(y)� = �x − y�∀x, y ∈ R n } Bewegungsgruppe.<br />
(ii) Die Symmetriegruppe des regelmäßigen n-Ecks Pn wird als Die<strong>der</strong>gruppe mit<br />
G = � f ∈ AO(R2 ) � �<br />
� f(Pn) = Pn bezeichnet.. Die Gruppe hat 2n Elemente.<br />
Bild <strong>der</strong> P6-Gruppe<br />
(iii) Friesgruppen: Symmetriegruppen von Friesen.<br />
(iv) kristallografische Gruppen in <strong>der</strong> Ebene o<strong>der</strong> im Raum:<br />
(v) Symmetriegruppen von Tetrae<strong>der</strong>, Würfel, Ikosae<strong>der</strong> <strong>und</strong> ähnlichen Objekten.<br />
1.5. Algebra<br />
Sei L|K eine Körpererweiterung. Diese besitzt eine GALOISgruppe<br />
1.6. Topologie<br />
F(L|K) = { f: L → L | f Automorphismus von L, f|K = idK }<br />
(i) F<strong>und</strong>amentalgruppen, Homologiegruppen, . . .,<br />
11
1. Einführung<br />
1.7. Zahlentheorie<br />
Sei K ein algebraischer Zahlkörper <strong>und</strong> OK <strong>der</strong> Ganzheitsring.<br />
(i) Einheitengruppe: O ×<br />
K = { a ∈ OK \ {0} | 1/a ∈ OK }<br />
(ii) Klassengruppe<br />
1.8. Beliebige mathematische Theorie<br />
Sei M ein Objekt dieser Theorie. Dann hat man mindestens eine Gruppe, die Automorphismengruppe<br />
Aut(M) von M. Beispiele sind Lie-Algebren, Codierungstheorie, BA-<br />
NACHräume etc.<br />
12
2. Halbgruppen<br />
Definition 2.1 (Monade, Magma)<br />
Sei M eine Menge. Darauf legen wir eine Verknüpfung M × M → M mit (a, b) ↦→ a × b<br />
fest. 1 Dann bezeichnet man (M, ×) als Monade o<strong>der</strong> Magma.<br />
Beispiel 2.1<br />
(i) Die Addition, Subtraktion <strong>und</strong> Multiplikation auf den natürlichen, reellen <strong>und</strong><br />
komplexen Zahlen.<br />
(ii) Der Durchschnitt o<strong>der</strong> die Vereinigung auf <strong>der</strong> Potenzmenge P(X).<br />
(iii) Der größte gemeinsame Teiler o<strong>der</strong> das kleinste gemeinsame Vielfache auf N.<br />
(iv) Die Verknüpfung von Abbildungen ◦ auf <strong>der</strong> Menge aller Abbildungen Abb(X) =<br />
{ f: X → X | f Abbildung }<br />
Bemerkung 2.1<br />
Wenn M klein ist, kann man eine Verknüpfungstafel aufstellen. Ein Beispiel sind die<br />
Wahrheitswerte.<br />
∧ w f<br />
w w f<br />
f f f<br />
Tabelle 2.1.: Wahrheitswerte <strong>für</strong> die UND-Verknüpfung<br />
Definition 2.2 (rechts-, linksneutral, neutral)<br />
Sei M eine Monade <strong>und</strong> e ∈ M. Das Element e ist genau dann rechtsneutral (o<strong>der</strong><br />
linksneutral), wenn <strong>für</strong> alle a ∈ M gilt: ae = a (o<strong>der</strong> ea = a). Man nennt e genau dann<br />
neutral, wenn es rechts- <strong>und</strong> linksneutral ist.<br />
Bemerkung 2.2<br />
Sei e ∈ M linksneutral <strong>und</strong> f ∈ M rechtsneutral. Dann folgt, e = ef = f. Insbeson<strong>der</strong>e<br />
existiert in M höchstens ein neutrales Element.<br />
Beispiel 2.2<br />
Die 0 ist neutral in (Z, +) <strong>und</strong> die 1 ist neutral in (Z, ·).<br />
1 alternativ auch a + b, a · b o<strong>der</strong> ab<br />
13
2. Halbgruppen<br />
Definition 2.3 (Vertauschbarkeit, Kommutativität)<br />
Sei M eine Monade <strong>und</strong> a, b ∈ M. Die Elemente a <strong>und</strong> b heißen vertauschbar, wenn<br />
gilt: ab = ba. Die Menge M heißt kommutativ o<strong>der</strong> abelsch, wenn alle Elemente<br />
vertauschbar sind.<br />
Definition 2.4 (Halbgruppe, Monoid)<br />
Die Menge M heißt genau dann Halbgruppe, wenn (xy)z = x(yz) gilt <strong>und</strong> Monoid,<br />
wenn M eine Halbgruppe mit neutralem Element ist.<br />
Beispiel 2.3<br />
(i) (N, +) Halbgruppe, (N0, +) Monoid<br />
(ii) Sei X eine Menge. Dann ist Abb(X) ein Monoid mit <strong>der</strong> identischen Abbildung<br />
idX : X → X, x ↦→ x als neutrales Element.<br />
(iii) Sei A �= ∅ eine Menge (Alphabet). Die Elemente von A heißen Buchstaben. Ein<br />
Wort über A ist die endliche Folge w = (a1, . . . , am) =: a1 · . . . · am. Die freie<br />
Halbgruppe über A ist definiert als W := { w | w Wort über A }. Das leere Wort<br />
ist ε = () /∈ W. Dann können wir das freie Monoid über A mit W0 := W ∪ {ε}<br />
definieren. Die zugehörige Abbildung ist definiert als (a1, . . . , am) ◦ (b1, . . . , bm) :<br />
= (a1, . . . , am, b1, . . . , bm).<br />
Bemerkung 2.3<br />
Die neutralen Elemente werden oft mit 1 bezeichnet. Falls + die Verknüpfung bezeichnet,<br />
verwendet man auch 0 als neutrales Element.<br />
Definition 2.5 (Invertierbarkeit)<br />
Sei M ein Monoid <strong>und</strong> a ∈ M. Das Element a heißt genau dann rechtsinvertierbar<br />
(o<strong>der</strong> linksinvertierbar), wenn ein Element b ∈ M mit ab = 1 (o<strong>der</strong> ba = 1) existiert.<br />
Man bezeichnet b als das Rechtsinverse o<strong>der</strong> Linksinverse zu a.<br />
Bemerkung 2.4<br />
Sei b ∈ M rechtsinvers <strong>und</strong> c ∈ M linksinvers zu a ∈ M. Dann folgt, b = 1b = (ca)b =<br />
c(ab) = c1 = c. Das Element a heißt dann invertierbar <strong>und</strong> b Inverses zu a. Wir<br />
schreiben b =: a −1 o<strong>der</strong> bei <strong>der</strong> Addition b =: − a. Es gilt: a −1 a = 1 = aa −1 . Damit<br />
ist auch a −1 invertierbar <strong>und</strong> wir haben (a −1 ) −1 = a. Wenn zwei Elemente x, y ∈ M<br />
invertierbar sind, dann ist xy invertierbar <strong>und</strong> (xy) −1 = y −1 x −1 . Denn xyy −1 x −1 =<br />
x1x −1 = 1.<br />
Beispiel 2.4<br />
Sei K ein Körper <strong>und</strong> n eine natürliche Zahl. Dann folgt <strong>für</strong> das Monoid bezüglich <strong>der</strong><br />
Matrixmultiplikation K n×n mit <strong>der</strong> Einheitsmatrix als neutrales Element, dass eine Matrix<br />
A ∈ K n×n invertierbar ist, wenn A eine reguläre Matrix ist, d. h. die Determinante von<br />
A ist ungleich 0. In <strong>der</strong> linearen Algebra impliziert die Linksinvertierbarkeit auch die<br />
Rechtsinvertierbarkeit.<br />
Definition 2.6 (Potenz)<br />
Sei H eine Halbgruppe <strong>und</strong> a ∈ H, n ∈ N. Die n-te Potenz von a ist definiert als<br />
a n := a · . . . · a mit n Faktoren. Wenn H ein Monoid ist, gilt: a 0 := 1. Sollte a invertierbar<br />
sein, dann können wir negative Potenzen festlegen: a −n = (a −1 ) n .<br />
14
Bemerkung 2.5<br />
Rechenregel: a n a m = a n+m , (a n ) m = a nm , wenn a, b vertauschbar sind, gilt auch:<br />
(ab) n = a n b n . Ist + die Verknüpfung, so schreibt man: na statt a n . Dann sehen die<br />
Rechenregeln so aus: (m + n)a = ma + na, m(na) = (mn)a, wenn a, b vertauschbar<br />
sind, so gilt noch: n(a + b) = na + nb.<br />
Definition 2.7 (Homomorphismus)<br />
Seien M, N zwei Monaden <strong>und</strong> wir betrachten die Abbildung f: M → N.<br />
(i) Die Abbildung f heißt genau dann Homomorphismus, wenn <strong>für</strong> alle a, b ∈ M gilt:<br />
f(ab) = f(a)f(b).<br />
(ii) f Monomorphismus ⇔ f injektiver Homomorphismus<br />
(iii) f Epimorphismus ⇔ f surjektiver Homomorphismus<br />
(iv) f Isomorphismus ⇔ f bijektiver Homomorphismus<br />
(v) f Endomorphismus ⇔ f Homomorphismus <strong>und</strong> M = N<br />
(vi) f Automorphismus ⇔ f bijektiver Endomorphismus<br />
Wir setzen Hom(M, N) := { f: M → N | f Homomorphismus } , End(M) := Hom(M, M)<br />
<strong>und</strong> Aut(M) := { f ∈ End(M) | f bijektiv }.<br />
Beispiel 2.5<br />
(i) Sei K ein Körper <strong>und</strong> n eine natürliche Zahl. Dann ist det: (K n×n , ·) → (K, ·) ein<br />
Homomorphismus.<br />
(ii) Die Exponentialfunktion von (R, +) auf (R, ·).<br />
(iii) Sei W die freie Halbgruppe über einem Alphabet A <strong>und</strong> w ∈ W mit w = a1, . . . , an<br />
<strong>und</strong> a1, . . . , an ∈ A. Die Funktion l(w) := n ist die Länge des Wortes. Dann ist<br />
l: W → (N, +) ein Homomorphismus.<br />
Bemerkung 2.6<br />
(i) Seien L, M, N Monaden <strong>und</strong> f ∈ Hom(L, M), g ∈ Hom(M, N). Dann ist g ◦ f ∈<br />
Hom(L, N) ein Homomorphismus. Denn (g ◦ f)(ab) = g(f(ab)) = g(f(a) · f(b)) =<br />
g(f(a)) · g(f(b)) = (g ◦ f)(a) · (g ◦ f)(b) <strong>für</strong> a, b ∈ L.<br />
(ii) Sei f ein Isomorphismus. Dann ist f −1 ebenfalls ein Isomorphismus. Denn f −1 (xy) =<br />
f −1 (f(f −1 (x)) · f(f −1 (y))) = f −1 (f(f −1 (x) · f −1 (y))) = f −1 (x)f −1 (y).<br />
Definition 2.8 (isomorph)<br />
Die Monaden M, N heißen isomorph (M ∼ = N), falls ein Isomorphismus f: M → N<br />
existiert.<br />
Beispiel 2.6<br />
Es gilt: ({w, f}, ∨) ∼ = ({0, 1}, ·). Zum Nachweis kann man die Verknüpfungstafel prüfen.<br />
15
2. Halbgruppen<br />
Satz 2.1<br />
Die Isomorphie ist eine Äquivalenzrelation, d. h. es gilt:<br />
(i) M ∼ = M (Reflexivität)<br />
(ii) M ∼ = N ⇒ N ∼ = M (Symmetrie)<br />
(iii) L ∼ = M ∧ M ∼ = N ⇒ L ∼ = N (Transitivität)<br />
16
3. Gruppen<br />
Definition 3.1 (Gruppe)<br />
Eine Gruppe ist eine Halbgruppe G mit einem linksneutralen Element e, in <strong>der</strong> zu jedem<br />
Element g ∈ G ein weiteres h ∈ G mit hg = e existiert.<br />
Satz 3.1<br />
Eine Gruppe ist ein Monoid, in dem jedes Element invertierbar ist.<br />
BEWEIS:<br />
Seien G, e, g, h wie oben. Zu dem Element h existiert ein k ∈ G mit kh = e. Dann<br />
ist ke = khg = eg = g <strong>und</strong> weiter ge = kee = ke = g. Folglich ist e neutral. Für<br />
den Nachweis <strong>der</strong> Rechtsinvertierbarkeit sei g = ke = k, d. h. gh = e. Somit ist g<br />
invertierbar. �<br />
Beispiel 3.1<br />
(i) (Z, +), (Q, +), (R, +) sind abelsch. Dagegen ist (N, +) keine Gruppe.<br />
(ii) (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·), (C \ {0}, ·). Aber (Z \ {0}, ·) ist keine Gruppe.<br />
(iii) Sei M ein Monoid <strong>und</strong> U(M) := { a ∈ M | a invertierbar }. Dann heißt U(M) Einheitengruppe<br />
von M.<br />
(iv) Sei X eine Menge <strong>und</strong> die Einheiten aller Abbildungen von X in sich: U(Abb(X)) =<br />
{ f: X → X | f bijektiv }. Dies wird als symmetrische Gruppe Sym(X) auf X bezeichnet.<br />
Die Elemente <strong>der</strong> Gruppe heißen Permutationen auf X. Für X = {1, . . . , n}<br />
schreibt man Sym(n) := Sym(X). Die Elemente heißen dann Permutationen des<br />
Grades n. Schreibweise:<br />
Dann ist<br />
f =<br />
f =<br />
�<br />
1 2 . . . n<br />
�<br />
f(1) f(2) . . . f(n)<br />
�<br />
f(1) f(2) . . .<br />
�<br />
f(n)<br />
1 2 . . . n<br />
(v) Sei K ein Körper <strong>und</strong> n ∈ N. Dann ergibt sich die Einheitengruppe von (K n×n , ·)<br />
durch U(K n×n , ·) = � A ∈ K n×n � � det A �= 0 � =: GL(n, K).<br />
(vi) Für jede nichtleere Familie (Gi)i∈I von Gruppen Gi. Dann ist auch das direkte Produkt<br />
�<br />
i∈I Gi = × Gi = { (gi)i∈I | gi ∈ Gi∀i ∈ I } eine Gruppe mit (gi)(hi) :<br />
i∈I<br />
= (gihi). Im Fall I = {1, . . . , n} schreibt man �n i=1 Gi = × n<br />
i=1 = G1 × . . . × Gn.<br />
17
3. Gruppen<br />
Definition 3.2 (Ordnung)<br />
Die Ordnung |G| einer Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente.<br />
Satz 3.2<br />
(i) Sei n ∈ N. Dann ist |Sym(n)| = n!.<br />
(ii) Sei K ein Körper <strong>und</strong> |K| = q < ∞. Dann ist |GL(n, K)| = (q n − 1)(q n − q) · . . . ·<br />
(q n − q n−1 ).<br />
BEWEIS:<br />
(i) Sei f ∈ Sym(n) ⇒ f(1) ∈ {1, . . . , n}, f(2) ∈ {1, . . . , n} \ {f(1)}, f(3) ∈ {1, . . . , n} \<br />
{f(1), f(2)}, . . . .<br />
(ii) Sei A = (aij) ∈ GL(n, K) ⇒ a1 := (a11, . . . , a1n) ∈ K n \{0}, a2 := (a21, . . . , a2n) ∈<br />
K n \ span(a1), a3 := (a31, . . . , a3n) ∈ K n \ span(a1, a2), . . . . �<br />
Satz 3.3<br />
Sei f: G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist f(1G) = 1H <strong>und</strong> f(g −1 ) = f(g) −1<br />
<strong>für</strong> g ∈ G.<br />
BEWEIS:<br />
Es gilt: f(1G) = f(1G)1H = f(1G)f(1G)f(1G) −1 = f(1G · 1G)f(1G) −1 = 1H <strong>und</strong> weiter:<br />
f(g −1 ) = f(g −1 )1H = f(g −1 )f(g)f(g) −1 = f(g −1 g)f(g) −1 = f(1G)f(g) −1 = 1Hf(g) −1 =<br />
f(g) −1 . �<br />
Beispiel 3.2<br />
Sei K ein Körper <strong>und</strong> n eine natürliche Zahl. Dann ist det: GL(n, K) → K \ {0} ein<br />
Homomorphismus. Somit folgt, det(1n) = 1 <strong>und</strong> det(a −1 ) = det(a) −1 .<br />
Definition 3.3 (Untergruppe)<br />
Eine Teilmenge U einer Gruppe G heißt Untergruppe von G, wenn gilt:<br />
(i) 1G ∈ U<br />
(ii) a, b ∈ U ⇒ ab, a −1 ∈ U<br />
Bemerkung 3.1<br />
Gegebenenfalls ist U mit <strong>der</strong> entsprechend eingeschränkten Verknüpfung selbst eine<br />
Gruppe. Wir schreiben dann U � G o<strong>der</strong> U < G, wenn U �= G ist. Man bezeichnet U<br />
dann als echte Untergruppe.<br />
Beispiel 3.3<br />
(i) (Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +).<br />
18<br />
(ii) In je<strong>der</strong> beliebigen Gruppe G sind G selbst <strong>und</strong> die triviale Untergruppe {1G} = 1<br />
Untergruppen.
(iii) Für jede nichtleere Familie (Gi)i∈I von Gruppen bilden die Elemente (gi)i∈I aus<br />
dem direkten Produkt mit |{ i ∈ I | gi �= 1 }| < ∞ eine Untergruppe von �<br />
i∈I Gi.<br />
Diese heißt direktes eingeschränktes Produkt von (Gi)i∈I. Hier<strong>für</strong> nutzen wir<br />
die Schreibweise: �<br />
i∈I Gi. Für |I| < ∞ ist �<br />
i∈I Gi = �<br />
i∈I Gi.<br />
(iv) Für jede Monade M ist die Automorphismengruppe Aut(M) eine Untergruppe von<br />
Sym(M).<br />
Satz 3.4<br />
Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe von G,<br />
wenn gilt: a, b ∈ U ⇒ ab −1 ∈ U.<br />
BEWEIS:<br />
Wir brauchen nur die Rückrichtung zu zeigen. Die an<strong>der</strong>e Richtung ist klar. Sei dazu<br />
U eine nichtleere Teilmenge von G <strong>und</strong> die obige Bedingung erfüllt. Dann existiert ein<br />
x ∈ U. Folglich 1G = xx −1 ∈ U. Also x −1 = 1Gx −1 ∈ U. An<strong>der</strong>erseits gilt <strong>für</strong> y ∈ U:<br />
x(y −1 ) −1 ∈ U. �<br />
Definition 3.4<br />
Für Teilmengen X, Y einer Gruppe G setzt man: XY := { xy | x ∈ X, y ∈ Y } <strong>und</strong> X −1 :=<br />
� x −1 � � x ∈ X � .<br />
Bemerkung 3.2<br />
Dann ist (X −1 ) −1 = X, (XY) −1 = Y −1 X −1 , (XY)Z = X(YZ) <strong>für</strong> X, Y, Z ⊆ G. Der Satz 3.4<br />
besagt: X � G ⇔ X �= ∅ ∧ XX −1 ⊆ X.<br />
Satz 3.5<br />
Für Untergruppen U, V, W einer Gruppe G gilt stets:<br />
(i) U ∪ V � G ⇔ U ⊆ V ∨ V ⊆ U<br />
(ii) UV � G ⇔ UV = VU<br />
(iii) U ⊆ W ⇒ UV ∩ W = U(V ∩ W) (DEDEKINDsche Identität)<br />
BEWEIS:<br />
(i) „⇒“: Sei U ∪ V � G <strong>und</strong> U � V. Dann gibt es ein Element u ∈ U \ V. Für v ∈ V<br />
ist uv ∈ U ∪ V. Im Fall uv ∈ V wäre u = uvv −1 ∈ V. � Also muss uv ∈ U sein <strong>und</strong><br />
v = u −1 uv ∈ U. Daher ist V ⊆ U.<br />
„⇐“ ist trivial.<br />
(ii) Sei UV � G. Dann ist (UV) = (UV) −1 = V −1 U −1 = VU <strong>und</strong> <strong>für</strong> UV = VU<br />
folgt: (UV)(UV) −1 = UVV −1 U −1 ⊆ UVU nach Bemerkung 3.2 <strong>und</strong> wegen <strong>der</strong><br />
Kommutativität gilt: UVU = UUV = UV. Somit ist UV eine Untergruppe.<br />
(iii) Sei U ⊆ W <strong>und</strong> w ∈ UV ∩ W. Wir schreiben w = uv mit u ∈ U <strong>und</strong> v ∈ V. Dann<br />
ist v = u −1 w ∈ W, d. h. w = uv ∈ U(V ∩ W). Umgekehrt ist U(V ∩ W) ⊆ UV <strong>und</strong><br />
U(V ∩ W) ⊆ WW ⊆ W, d. h. U(V ∩ W) ⊆ UV ∩ W. �<br />
19
3. Gruppen<br />
Definition 3.5 (erzeugte Untergruppe)<br />
Für jede nichtleere Familie (Ui)i∈I von Untergruppen Ui einer Gruppe G gilt stets:<br />
�<br />
Ui � G<br />
i∈I<br />
Insbeson<strong>der</strong>e ist <strong>für</strong> X ⊆ G <strong>der</strong> Durchschnitt D aller Untergruppen U � G mit X ⊆ U<br />
eine Untergruppe von G. Man nennt D =: 〈X〉 die von X erzeugte Untergruppe von G.<br />
Für X = {a1, . . . , an} schreibt man 〈a1, . . . , an〉.<br />
Satz 3.6<br />
Sei G eine Gruppe <strong>und</strong> X ⊆ G. Dann besteht 〈X〉 aus den Elementen <strong>der</strong> Form x ε1<br />
1 ·. . .·xεn n<br />
mit n ∈ N0, x1, . . . , xn ∈ X, ε1, . . . , εn ∈ {±1}. Im Fall n = 0 interpretiert man das Produkt<br />
als 1.<br />
BEWEIS:<br />
Die Menge A <strong>der</strong> angegebenen Elemente ist eine Untergruppe von G, die X enthält. Nach<br />
Definition 3.5 ist also 〈X〉 ⊆ A. Ist umgekehrt U eine Untergruppe von G, die X enthält,<br />
so enthält U auch A. Nach Definition 3.5 ist A ⊆ 〈X〉. �<br />
Beispiel 3.4<br />
Ist X = {x}, so heißt 〈x〉 = 〈X〉 = { x n | n ∈ Z } die von x erzeugte zyklische Untergruppe<br />
von G. Allgemein heißt jede Menge E mit 〈E〉 = G ein Erzeugendensystem von G. Hat<br />
die Gruppe G ein endliches Erzeugendensystem, so heißt G endlich erzeugte Gruppe.<br />
Natürlich ist jede endliche Gruppe endlich erzeugt.<br />
Satz 3.7<br />
Für jeden Gruppenhomomorphismus f: G → H gilt:<br />
(i) Wenn U � G, dann ist f(U) = { f(u) | u ∈ U } � H. Insbeson<strong>der</strong>e ist Bld(f) :=<br />
f(G) � H.<br />
(ii) V � H ⇒ f −1 (V) = { g ∈ G | f(g) ∈ V } � G. Insbeson<strong>der</strong>e ist <strong>der</strong> Kern von f,<br />
definiert durch ker(f) := f −1 ({1H}), eine Untergruppe von G.<br />
(iii) U � G ⇒ f −1 (f(U)) = U(ker f) = (ker f)U o<strong>der</strong> V � H ⇒ f(f −1 (V)) = V ∩ Bld f.<br />
(iv) Wir haben zueinan<strong>der</strong> inverse Bijektionen U = { U � G | ker f � U } ⇆ V :=<br />
{ V � H | V � Bld f }. Es ist U ↦→ f(U) <strong>und</strong> V ↦→ f −1 (V).<br />
BEWEIS:<br />
(i) Sei U � G. Da U �= ∅, ist auch f(U) �= ∅. Ferner ist f(U)f(U) −1 = f(U)f(U −1 ) =<br />
f(UU −1 ) ⊆ f(U).<br />
20<br />
(ii) Sei V � H. Weil f(1G) = 1H ∈ V ist 1G ∈ f −1 (V), d. h. f −1 (V) �= ∅. Seien<br />
a, b ∈ f −1 (V), d. h. f(a), f(b) ∈ V. Dann gilt: f(ab −1 ) = f(a)f(b) −1 ∈ V, d. h.<br />
a, b −1 ∈ V.
(iii) Zunächst sei U � G. Für x ∈ f −1 (f(U)) ist f(x) ∈ f(U). Also ist f(x) = f(u) <strong>für</strong><br />
u ∈ U. Dann ist f(x)f(u) −1 = 1 = f(xu −1 ), d. h. xu −1 ∈ ker f <strong>und</strong> x = xu −1 u ∈<br />
(ker f)U. Daher gilt f −1 (f(U)) ⊆ (ker f)U. An<strong>der</strong>erseits ist <strong>für</strong> a ∈ ker f, b ∈ U:<br />
f(ab) = f(a)f(b) = 1Hf(b) = f(b) ∈ f(U), d. h. ab ∈ f −1 (f(U)). Also haben wir<br />
f −1 (f(U)) = (ker f)U. Nach den obigen beiden Punkten ist (ker f)U = f −1 (f(U)) �<br />
G. Mit Satz 3.5 (ii) folgt: (ker f)U = U(ker f).<br />
Sei nun V � H <strong>und</strong> x ∈ f(f −1 (V)). Dann ist x = f(a) <strong>für</strong> ein a ∈ f −1 (V). Folglich ist<br />
x = f(a) ∈ V ∩Bld f. Daher folgt, f(f −1 (V)) ⊆ V ∩Bld f. Sei umgekehrt v ∈ V ∩Bld f<br />
<strong>und</strong> g ∈ G mit v = f(g). Dann ist g ∈ f −1 (V) <strong>und</strong> v = f(g) ∈ f(f −1 (V)). Daher sind<br />
beide Mengen gleich.<br />
(iv) Sei U ∈ U, d. h. ker f ⊆ U. Dann ist auf jeden Fall f(U) ⊆ Bld f, d. h. f(U) ∈ V <strong>und</strong><br />
f −1 (f(U)) = U(ker f) ⊆ UU ⊆ U ⊆ f −1 (f(U)). Also ist f −1 (f(U)) = U.<br />
Sei jetzt V ∈ V, d. h. V ⊆ Bld f. Dann wissen wir: ker f = f −1 ({1H}) ⊆ f −1 (V). Dies<br />
bedeutet nun: f −1 (V) ∈ U <strong>und</strong> f(f −1 (V)) = V ∩ Bld f = V. �<br />
Bemerkung 3.3 (Bild, Urbild, Kern)<br />
Man bezeichnet f(U) als das Bild von U unter f, f −1 (V) als das Urbild von V unter f,<br />
Bld f als das Bild von f <strong>und</strong> ker f als den Kern von f.<br />
Beispiel 3.5<br />
(i) Sei K ein Körper <strong>und</strong> n eine natürliche Zahl. Dann ist die spezielle lineare Gruppe<br />
SL(n, K) = { A ∈ GL(n, K) | det A = 1 } = ker(det: GL(n, K) → K \ {0}).<br />
(ii) Für jedes Element a einer Gruppe G ist ada : G → G mit x ↦→ axa −1 ein Homomorphismus.<br />
Denn <strong>für</strong> x, y ∈ G gilt: ada(x) ada(y) = axa −1 aya −1 = ada(xy).<br />
Außerdem ist (ada ◦ ad a −1)(x) = a(a −1 x(a −1 ) −1 )a −1 = x. Daher ist ada ◦ ad a −1<br />
die Identität auf G . Analoges gilt auch umgekehrt. Somit ist ada ∈ Aut G. Man<br />
nennt ada den von a induzierten inneren Automorphismus von G.<br />
Die Abbildung ad: G → Aut G mit a ↦→ ada ist ein Homomorphismus. Denn <strong>für</strong><br />
a, b, x ∈ G ist (ada ◦ adb)(x) = a(bxb −1 )a −1 = (ab)x(ab) −1 = adab x. Nach<br />
Satz 3.7 ist Bld(ad) = { ada | a ∈ G } � Aut G. Man nennt Inn(G) := Bld(ad) die innere<br />
Automorphismengruppe von G. Analog ist ker(ad) = { a ∈ G | ad = idG } =<br />
� a ∈ G � � axa −1 = x ∀x ∈ G � = { a ∈ G | xa = ax ∀x ∈ G } =: Z(G) � G. Man<br />
nennt Z(G) das Zentrum von G.<br />
Satz 3.8<br />
Für jeden Gruppenhomomorphismus f: G → H gilt, dass f genau dann injektiv ist, wenn<br />
<strong>der</strong> Kern von f nur aus dem trivialen Element besteht.<br />
BEWEIS:<br />
„⇒“ Sei f injektiv. Wegen f(1) = 1 liegt das Einselement im Kern von f. Sei umgekehrt<br />
x ∈ ker f. Dann ist f(x) = 1 = f(1). Also ist x = 1, da f injektiv.<br />
21
3. Gruppen<br />
„⇐“ Sei jetzt ker f = {1G}. Sind x, y ∈ G mit f(x) = f(y), so ist f(x)f(y) −1 = 1 =<br />
f(xy −1 ). Also ist xy −1 ∈ ker f = {1G}. Also xy −1 = 1, d. h. x = y. �<br />
22
4. Nebenklassen<br />
Definition 4.1 (Linkskongruenz)<br />
Sei G eine Gruppe <strong>und</strong> H eine Untergruppe von G sowie a, b ∈ G mit a −1 b ∈ H. Dann<br />
heißt a linkskongruent zu b modulo H. Man schreibt a ≡l b (mod H).<br />
Satz 4.1<br />
Die Linkskongruenz modulo H ist eine Äquivalenzrelation auf G.<br />
BEWEIS:<br />
(i) a −1 a = 1G ∈ H<br />
(ii) a −1 b ∈ H ⇒ (a −1 b) −1 = b −1 (a −1 ) −1 = b −1 a ∈ H<br />
(iii) a −1 b, b −1 c ∈ H ⇒ a −1 bb −1 c = a −1 c ∈ H �<br />
Bemerkung 4.1 (Linksnebenklasse)<br />
Für Elemente a, b ∈ G gilt: a ≡l b (mod H) ⇔ a −1 b ∈ H ⇔ b ∈ aH := { ah | h ∈ H }.<br />
Daher ist die Äquivalenzklasse von einem Element a ∈ G bezüglich ≡l (mod H) die<br />
Linksnebenklasse von a modulo H. Wir setzen G/H := { aH | a ∈ G }. Für a ∈ G ist<br />
H → aH mit a ↦→ ah bijektiv. Die Surjektivität ist klar <strong>und</strong> wegen ah = ah ′ folgt,<br />
h = a −1 ah ′ = a −1 ah ′ = h ′ . Insbeson<strong>der</strong>e ist |aH| = |H|.<br />
Bemerkung 4.2 (Rechtskongruenz, Rechtsnebenklasse, Index)<br />
Seien G eine Gruppe <strong>und</strong> H eine Untergruppe von G sowie a, b ∈ G mit ab −1 ∈ H. Dann<br />
heißt a rechtskongruent zu b modulo H. Man schreibt a ≡r b (mod H). Es gilt ein zu<br />
Satz 4.1 analoges Ergebnis. Die Äquivalenzklasse von a bezüglich ≡r (mod H) ist die<br />
Rechtsnebenklasse Ha von a nach H. Wir setzen H \ G := { Ha | a ∈ G }. Für a ∈ G ist<br />
wie<strong>der</strong> |Ha| = |H|.<br />
Für R = Ha ∈ H \ G ist R −1 = a −1 H −1 = a −1 H ∈ G/H. Analog ist L −1 ∈ H \ G <strong>für</strong><br />
L ∈ G/H. So erhält man eine Bijektion G/H → H\G. Man nennt |G: H| := |G/H| = |H\G|<br />
den Index von H in G.<br />
Satz 4.2 (Satz von Lagrange)<br />
Für jede Untergruppe H einer Gruppe G gilt:<br />
|G| = |G: H| · |H|<br />
Insbeson<strong>der</strong>e sind |H| <strong>und</strong> |G: H| in endlichen Gruppen Teiler von |G|.<br />
23
4. Nebenklassen<br />
BEWEIS:<br />
Die Gruppe G ist die disjunkte Vereinigung aller Linksnebenklassen nach H. Es gibt |G: H|<br />
Linksnebenklassen. Jede enthält |H| Elemente. �<br />
Beispiel 4.1<br />
Gruppen <strong>der</strong> Ordnung 24 können keine Untergruppen <strong>der</strong> Ordnung 7 enthalten.<br />
Bemerkung 4.3<br />
Wir setzen P := { p ∈ N | p Primzahl } <strong>und</strong> schreiben m | n, falls m ein Teiler von n ist.<br />
Satz 4.3<br />
Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch.<br />
BEWEIS:<br />
Sei G eine Gruppe, |G| = p ∈ P <strong>und</strong> 1 �= g ∈ G. Nach dem Satz von LAGRANGE<br />
1 �= |〈g〉| | |G| = p. Also |〈p〉| = p, d. h. G = 〈p〉 zyklisch. �<br />
Definition 4.2<br />
Für jedes Element a in einer Gruppe G heißt die Anzahl <strong>der</strong> Elemente in <strong>der</strong> von a<br />
erzeugten Gruppe |〈a〉| die Ordnung von a.<br />
Bemerkung 4.4<br />
Nach dem Beispiel 3.4 ist 〈a〉 = { a n | n ∈ Z }.<br />
1. Fall Alle a n sind verschieden. Dann ist |〈a〉| = ∞.<br />
2. Fall Es existieren ganze Zahlen m <strong>und</strong> n mit m < n <strong>und</strong> a m = a n . Dann ist n −<br />
m ∈ N mit a n−m = a n (a m ) −1 = 1. Sei k ∈ N minimal mit a k = 1. Dann<br />
sind a 0 = 1, a 1 = a, a 2 , . . . , a k−1 paarweise verschieden. Denn wären a i = a j<br />
mit 0 � i � j � k − 1, so ist 1 = a j−i <strong>und</strong> j − i = 0 nach <strong>der</strong> Wahl von<br />
k. Somit ist i = j. Für beliebige i, j ∈ {0, . . . , k − 1} ist a i a j = a i+j . Dabei ist<br />
a i+j = a i+j−k , falls i + j � k. Daher ist a i a j ∈ U := {a 0 , . . . , a k−1 }. Ferner<br />
ist (a i ) −1 = a −1 = a k−i ∈ U. Daher ist 〈a〉 � U � 〈a〉. Also ist 〈a〉 = U.<br />
Insbeson<strong>der</strong>e ist |〈a〉| = k.<br />
In beiden Fällen ist also |〈a〉| = inf � k ∈ N � � a k = 1 � .<br />
Satz 4.4 (Satz von FERMAT o<strong>der</strong> EULER)<br />
Für jedes Element a einer endlichen Gruppe G gilt: a |G| = 1.<br />
BEWEIS:<br />
Nach Satz 4.2 gilt: |G| = |G: 〈a〉| · |〈a〉| . Nach <strong>der</strong> vorigen Bemerkung haben wir: ak = 1.<br />
� �� �<br />
=: l<br />
����<br />
=: k<br />
Also a |G| = a kl = (a k ) l = 1 l = 1. �<br />
Satz 4.5<br />
Für U � Z existiert eine natürliche Zahl n mit U = { nz | z ∈ Z } =: nZ.<br />
24
BEWEIS:<br />
Für n ∈ N0 ist nZ das Bild des Homomorphismus Z → Z mit z ↦→ nz. Daher ist nZ � Z.<br />
Sei U � Z <strong>und</strong> Œ 1 ist U �= {0} = 0Z. Für a ∈ U \ {0} ist auch −a ∈ U. Daher U ∩ N �= ∅.<br />
Wie jede nichtleere Teilmenge von N enthält auch <strong>der</strong> Durchschnitt ein kleinstes Element<br />
n. Dann ist 2n = n + n ∈ U, 3n ∈ U usw., d. h. kn ∈ U <strong>für</strong> k ∈ N. Folglich auch −kn ∈ U<br />
<strong>und</strong> 0 ∈ U. Also ist nZ ⊆ U.<br />
Ist b ∈ U beliebig. Dann liefert die Division mit Rest einen Quotienten q ∈ Z <strong>und</strong> einen<br />
Rest mit r ∈ Z. Dabei gilt: b = qn + r. Wegen nZ ⊆ U ist r = b − qn ∈ U. Nach <strong>der</strong> Wahl<br />
des n muss r = 0 gelten. Folglich: b = qn ∈ nZ. Dann ist gezeigt: U = nZ. �<br />
Bemerkung 4.5<br />
Es ist |Z: nZ| = n <strong>für</strong> n ∈ N. Denn <strong>für</strong> z ∈ Z existieren Quotient <strong>und</strong> Rest aus Z mit<br />
z = qn + r <strong>für</strong> 0 � r < n. Daher ist z ∈ r + nZ. Folglich hat man: Z = (0 + nZ) ∪ (1 +<br />
nZ) ∪ · · · ∪ (n − 1 + nZ). Da 0,1, . . . , n − 1 in paarweise verschiedenen Linksnebenklassen<br />
nach nZ liegen, folgt die Behauptung. Daher besitzt Z <strong>für</strong> jede natürliche Zahl n genau<br />
eine Untergruppe vom Index n.<br />
Satz 4.6<br />
Jede Untergruppe V einer zyklischen Gruppe G = 〈g〉 ist wie<strong>der</strong> zyklisch.<br />
BEWEIS:<br />
Sei f ein Homomorphismus (Epimorphismus) von (Z, +) nach (G, ·) mit n ↦→ g n . Nach<br />
dem Satz 3.7 (Punkt iv) gilt: V = f(f −1 (V)) mit f −1 (V) � Z <strong>und</strong> nach Satz 4.5 ist<br />
f −1 (V) = nZ <strong>für</strong> ein n ∈ N0. Daher V = f(nZ) = 〈g n 〉 zyklisch. �<br />
Definition 4.3 (Doppelnebenklassen)<br />
Sei G eine Gruppe <strong>und</strong> H <strong>und</strong> K zwei Untergruppen. Weiterhin seien a <strong>und</strong> b zwei<br />
Elemente aus G. Wir schreiben a ≡ b (mod H, K), falls h ∈ H, k ∈ K mit b = hak<br />
existieren.<br />
Satz 4.7<br />
Die Kongruenz modulo H <strong>und</strong> K ist eine Äquivalenzrelation auf G.<br />
BEWEIS:<br />
(i) Für a ∈ G folgt: a = 1a1 mit 1 ∈ H, 1 ∈ K. Also ist a ≡ a (mod H, K).<br />
(ii) Sei a ≡ b (mod H, K) ⇒ ∃h ∈ H, k ∈ K: b = hak ⇒ a = h −1 bk −1 mit h −1 ∈<br />
H, k −1 ∈ K ⇒ b ≡ a (mod H, K).<br />
(iii) a ≡ b (mod H, K) <strong>und</strong> b ≡ c (mod H, K) ⇒ ∃h, h ′ ∈ H, k, k ′ ∈ K: b = hak, c =<br />
h ′ bk ′ ⇒ c = h ′ hbkk ′ . Also ist a ≡ c (mod H, K). �<br />
Bemerkung 4.6<br />
Für jedes Element a ∈ G ist die Äquivalenzklasse von a bezüglich <strong>der</strong> Äquivalenzrelation<br />
die Doppelnebenklasse HaK := { hak | h ∈ H, k ∈ K } von a nach H <strong>und</strong> K. Man setzt:<br />
H \ G/K := { HaK | a ∈ G }. Es gilt, H \ G = H \ G/1 <strong>und</strong> G/K = 1 \ G/K. Im Allgemeinen<br />
ist die Anzahl <strong>der</strong> Elemente einer Doppelnebenklasse kein Teiler <strong>der</strong> Gruppenordnung.<br />
1 Herr Külshammer nutzt dieses als Zeichen <strong>für</strong> o. B. d. A.<br />
25
4. Nebenklassen<br />
Beispiel 4.2<br />
�<br />
1<br />
Sei G := Sym(3), H := 〈b〉, K := 〈c〉, a := 1 mit b :=<br />
2<br />
2<br />
1<br />
� �<br />
3 1<br />
, c :=<br />
3 3<br />
2<br />
2<br />
�<br />
3<br />
. Dann<br />
1<br />
besteht H aus {1, b} <strong>und</strong> K aus {1, c}. Es ist HaK = {1, b, c, bc}. Also |HaK| = 4 ∤ 6 = |G|.<br />
Satz 4.8<br />
Seien G eine Gruppe, H, K � G <strong>und</strong> a ∈ G. Dann enthält HaK genau |H: H ∩ aKa −1 |<br />
Linksnebenklassen nach K <strong>und</strong> genau |K: a −1 Ha ∩ K| Rechtsnebenklassen nach H. Insbeson<strong>der</strong>e<br />
ist |HaK| = |H: H ∩ aKa −1 | · |K| = |K: a −1 Ha ∩ K| · |H|.<br />
BEWEIS:<br />
Es reicht, den Beweis <strong>für</strong> eine Seite zu führen. Der Rest folgt aus Symmetriegründen.<br />
Es ist HaK = �<br />
f(h) mit f: H → G/K mit h ↦→ haK. Dabei gilt <strong>für</strong> Elemente<br />
h∈H<br />
h, h ′ ∈ H: f(h) = f(h ′ ) ⇔ haK = h ′ aK ⇔ a−1h−1h ′ a ∈ K ⇔ h−1h ′ ∈ aKa−1 ∩ H ⇔<br />
h(aKa−1 ∩ H) = h ′ (aKa−1 ∩ H). �<br />
Bemerkung 4.7<br />
Nach dem Satz 3.7(i) ist aKa −1 = ada(K) � G <strong>und</strong> analog a −1 Ha � G.<br />
Beispiel 4.3<br />
Für a = 1 ist HaK = HK. Im Allgemeinen ist HK � K. Nach dem Satz 4.8 enthält HK<br />
genau |H: H ∩ K| Linksnebenklassen nach K <strong>und</strong> genau |K: K ∩ H| Rechtsnebenklassen<br />
nach H. Insbeson<strong>der</strong>e gilt:<br />
(i) |HK| = |H: H ∩ K| · |K| = |K: H ∩ K| · |H|<br />
(ii) |H: H ∩ K| � |G: K|<br />
(iii) |H: H ∩ K| = |G: K| < ∞ ⇒ G = HK = KH<br />
Bemerkung 4.8<br />
Den Satz von LAGRANGE (Satz 4.2) kann man folgen<strong>der</strong>maßen verallgemeinern: Ist G<br />
eine Gruppe <strong>und</strong> K � H � G, so gilt: |G: K| = |G: H| · |H: K|. Denn ist das G = ·∪i∈IgiH<br />
gihjK.<br />
<strong>und</strong> H = ·∪j∈JhjK, so ist G = ·∪i∈I<br />
j∈J<br />
Satz 4.9<br />
Für Untergruppen H <strong>und</strong> K einer Gruppe G gilt stets:<br />
(i) |G: H ∩ K| � |G: H| · |G: K|<br />
(ii) |G: H ∩ K| = |G: H| · |G: K| < ∞ ⇒ G = HK = KH<br />
(iii) Seien |G: H|, |G: K| endlich <strong>und</strong> teilerfremd. Dann ist |G: H ∩ K| = |G: H| · |G: K|<br />
<strong>und</strong> G = HK = KH.<br />
BEWEIS:<br />
(i) |G: H ∩ K| = |G: H| · |H: H ∩ K| � |G: H| · |G: K| (letzter Schritt nach Satz 4.8(ii))<br />
26<br />
(ii) Sei |G: H ∩ K| = |G: H| · |G: K| < ∞. Dann zeigt <strong>der</strong> Beweis des ersten Teiles dass<br />
|G: K| = |H: H ∩ K|. Aus Satz 4.8(iii) folgt dann: G = HK = KH.
(iii) Seien |G: H|, |G: K| endlich <strong>und</strong> teilerfremd. Die obige Bemerkung zeigt, dass<br />
|G: H| | |G: H∩K| <strong>und</strong> |G: K| | |G: H: K|. Daher ist |G: H|·|G: K| | |G: H∩K|. Mit dem<br />
ersten Punkt folgt, dass |G: H ∩ K| = |G: H| · |G: K| <strong>und</strong> (ii) liefert G = HK = KH.�<br />
27
5. Normalteiler <strong>und</strong> Faktorgruppen<br />
Satz 5.1<br />
Für eine Untergruppe N einer Gruppe G sind die folgenden Aussagen äquivalent:<br />
(1) gNg −1 ⊆ N <strong>für</strong> alle g ∈ G<br />
(2) gNg −1 = N <strong>für</strong> alle g ∈ G<br />
(3) gN = Ng <strong>für</strong> alle g ∈ G<br />
(4) G/N ist eine Gruppe mit (gN)(hN) := ghN <strong>für</strong> alle g, h ∈ G<br />
(5) Es existiert eine Gruppe H <strong>und</strong> ein Homomorphismus f: G → H mit N = ker f.<br />
BEWEIS:<br />
(1)⇒(2) Ist die erste Aussage erfüllt, so ist N = g g −1 N(g −1 ) −1<br />
g−1 ⊆ gNg−1 .<br />
(2)⇒(3) Multiplizieren mit g von rechts.<br />
� �� �<br />
⊆N<br />
(3)⇒(4) Sei die dritte Bedingung erfüllt. Für g, h, k ∈ G ist dann (gN)(hN) = gNhN =<br />
ghNN = ghN, d. h. die Multiplikation in G/N ist wohldefiniert. Ferner ist mit<br />
(gN · hN)(kN) = ghN · kN = (gh)kN = g(hk)N = gN(hkN) = gN(hNkN) das<br />
Assoziativgesetz erfüllt. Daher ist G/N eine Halbgruppe. Außerdem ist 1N · gN =<br />
1gN = gN <strong>und</strong> (g −1 N)(gN) = g −1 gN = 1N.<br />
(4)⇒(5) Sei H := G/N <strong>und</strong> f(g) := gN <strong>für</strong> alle g ∈ G. Dann ist f(g)f(h) = (gN)(hN) =<br />
ghN = f(gh) <strong>für</strong> g, h ∈ G, d. h. f ist ein Homomorphismus. Insbeson<strong>der</strong>e 1 G/N =<br />
f(1G) = 1N. Für x ∈ G gilt ferner: x ∈ ker f ⇔ f(x) = 1 G/N. Nach <strong>der</strong> obigen<br />
Aussage ist f(x) = xN <strong>und</strong> 1 G/N = 1N. Somit ist f(x) = xN = 1N = 1 G/N ⇔<br />
1 −1 x = x ∈ N. Also ker f = N.<br />
(5)⇒(1) Zuletzt sei (5) erfüllt <strong>und</strong> weiter x ∈ N = ker f, g ∈ G. Dann f(gxg −1 ) =<br />
f(g)f(x)f(g −1 ) = f(g)1f(g −1 ) = f(g)f(g −1 ) = f(gg −1 ) = f(1) = 1, d. h. gxg −1 ∈<br />
ker f = N. �<br />
Definition 5.1 (normale Untergruppe, Normalteiler)<br />
Gegebenenfalls heißt das N normal o<strong>der</strong> Normalteiler in G. Man schreibt N � G<br />
Definition 5.2 (Faktorgruppe)<br />
Die Gruppe G/N heißt Faktorgruppe von G nach N.<br />
28
Bemerkung 5.1<br />
Für N � G ist f: G → G/N mit g ↦→ gn ein Epimorphismus. Dieser heißt kanonischer<br />
Epimorphismus von G auf G/N. Es gilt: a ≡l b (mod N) ⇔ aN = bN ⇔ Na = Nb ⇔<br />
a ≡r b (mod N). Daher schreibt man kurz a ≡ b (mod N) <strong>und</strong> sagt, „a ist kongruent zu<br />
b modulo N“.<br />
Beispiel 5.1<br />
(i) In je<strong>der</strong> Gruppe G sind {1} <strong>und</strong> G normal. Sind dies die einzigen Normalteiler <strong>und</strong><br />
ist G �= 1, dann heißt die Gruppe einfach. Nach dem Satz 4.2 (Satz von LAGRANGE)<br />
sind Gruppen von Primzahlordnung stets einfach. Später werden wir weitere einfache<br />
Gruppen kennen lernen (Siehe Kapitel 6). Eine nichteinfache Gruppe G �= 1<br />
stellt man sich aus Normalteiler N <strong>und</strong> Faktorgruppe G/N zusammengesetzt vor:<br />
G/N<br />
N<br />
Auf diese Weise werden einfache Gruppen zu Bausteinen <strong>für</strong><br />
beliebige Gruppen. Die Bestimmung aller endlichen einfachen Gruppen war eines<br />
<strong>der</strong> größten Projekte <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong> überhaupt. Beteiligt daran waren ca. 50 bis<br />
100 <strong>Mathematik</strong>er. Die entsprechenden Veröffentlichungen haben einen Umfang<br />
von etwa 10 000 Seiten. Das Projekt wurde 1980 1 erfolgreich abgeschlossen. Das<br />
Buch [11] erzählt einen Teil <strong>der</strong> Geschichte.<br />
(ii) In je<strong>der</strong> Gruppe G ist jede Untergruppe U vom Zentrum von G normal. Denn <strong>für</strong><br />
g ∈ G <strong>und</strong> u ∈ U ist gug −1 = ugg −1 = u ∈ U. Insbeson<strong>der</strong>e ist das Zentrum einer<br />
Gruppe ein Normalteiler <strong>der</strong> Gruppe. Ferner gilt, dass G genau dann abelsch ist,<br />
wenn G = Z(G). Daher ist in einer abelschen Gruppe jede Untergruppe normal.<br />
(iii) Seien G eine Gruppe <strong>und</strong> H eine Untergruppe mit |H: G| = 2. Dann ist H � G.<br />
Denn 1H = H = H1 <strong>und</strong> G \ H sind die einzigen Linksnebenklassen nach H.<br />
(iv) Sei n eine natürliche Zahl <strong>und</strong> K ein Körper. Dann ist SL(n, K) = ker(det) �<br />
GL(n, K).<br />
(v) Für jeden Gruppenhomomorphismus f: G → H <strong>und</strong> N � H ist f −1 (N) � G. Denn<br />
<strong>für</strong> g ∈ G <strong>und</strong> x ∈ f −1 (N) ist f(gxg −1 ) = f(g)f(x)f(g −1 ) = f(x)f(g)f(g −1 ) =<br />
f(x)f(gg −1 ) = f(x) ∈ N, d. h. gxg −1 ∈ f −1 (N).<br />
(vi) Für jeden Gruppenhomomorphismus f: G → H <strong>und</strong> jeden Normalteiler M � G ist<br />
f(M) � f(G). Denn <strong>für</strong> g ∈ G <strong>und</strong> m ∈ M ist f(g)f(m)f(g−1 ) = f(gmg−1 ) ∈ f(M).<br />
Dagegen ist im Allgemeinen f(M) � H. (siehe Übung)<br />
(vii) Für jede Familie (Ni)i∈I von Normalteilern Ni einer Gruppe G sind auch �<br />
i∈I Ni<br />
<strong>und</strong> 〈Ni : i ∈ I〉 := 〈 �<br />
i∈I Ni〉 normal in G.<br />
1 Manche meinen auch 2000 o<strong>der</strong> 2005.<br />
29
5. Normalteiler <strong>und</strong> Faktorgruppen<br />
(viii) Für jede Gruppe G, jeden Automorphismus α ∈ Aut(G) <strong>und</strong> a, x ∈ G gilt: (α ◦<br />
ada ◦α −1 )(x) = α(aα −1 (x)a −1 ) = α(a)α(α −1 (x))α(a) −1 = ad α(a)(x), d. h.<br />
α ◦ ada ◦α −1 = ad α(a) ∈ Inn(G)<br />
Daher Inn(G) � Aut(G) <strong>und</strong> es heißt Out(G) := Aut(G)/ Inn(G) die äußere Automorphismengruppe<br />
von G.<br />
(ix) Aus H � G <strong>und</strong> K � H folgt im Allgemeinen nicht, dass K � G. Die Relation � ist<br />
nicht transitiv. (Beispiel siehe Übungen)<br />
Satz 5.2 (Homomorphiesatz)<br />
Für jeden Gruppenhomomorphismus f: G → H ist F: G/ ker f → Bld(f) mit g ker f ↦→ f(g)<br />
wohldefiniert <strong>und</strong> ein Isomorphismus von Gruppen. Insbeson<strong>der</strong>e ist<br />
G/ ker f ∼ = Bld f<br />
BEWEIS:<br />
Für a, b ∈ G gilt: f(a) = f(b) ⇔ 1 = f(a) −1 f(b) = f(a −1 b) ⇔ a −1 b ∈ ker f ⇔ a ker f =<br />
b ker f. Daher ist F wohldefiniert <strong>und</strong> injektiv. Die Surjektivität von F ist klar. Für g, h ∈ G<br />
gilt: F(g ker f)F(h ker f) = f(g)f(h) = f(gh) = F(gh ker f) = F(g ker(f)h ker(f)). �<br />
Beispiel 5.2<br />
(i) Sei H = 〈h〉 zyklisch. Dann ist f: Z → H mit z ↦→ h z ein Epimorphismus. Nach dem<br />
Satz 4.5 ist ker f = nZ <strong>für</strong> ein n ∈ N0. Daher ist H ∼ = Z/nZ. Jede zyklische Gruppe<br />
ist also zu (Z/nZ, +) <strong>für</strong> ein n ∈ N0 isomorph.<br />
(ii) Für jede Gruppe G ist ad: G → Aut(G) mit a ↦→ ada ein Homomorphismus mit<br />
dem Kern Z(G) <strong>und</strong> dem Bild Inn(G). Also folgt:<br />
G/Z(G) ∼ = Inn(G)<br />
(iii) Für n ∈ N <strong>und</strong> jeden Körper K ist det: GL(n, K) → K \ {0} ein Epimorphismus mit<br />
dem Kern SL(n, K). Daher ist GL(n, K)/ SL(n, K) ∼ = K \ {0}. Insbeson<strong>der</strong>e ist die<br />
Faktorgruppe GL(n, K)/ SL(n, K) abelsch.<br />
Satz 5.3 (1. Isomorphiesatz)<br />
Seien G eine Gruppe, H eine Untergruppe <strong>und</strong> N ein Normalteiler in G. Dann ist HN �<br />
G, N � HN, H ∩ N � H <strong>und</strong><br />
30<br />
H/(H ∩ N) ∼ = HN/N
BEWEIS:<br />
Der kanonische Epimorphismus f: G → G/N mit a ↦→ aN hat den Kern N. Nach<br />
Satz 3.7 ist also HN = f −1 (f(H)) eine Untergruppe von G. Wegen N � G ist sicher<br />
N � NH. Die Einschränkung g: H → H/N von f ist ein Homomorphismus mit dem Kern<br />
H ∩ ker f = H ∩ N. Daher ist H ∩ N � H. Aus dem Satz 5.2 folgt: H/(H ∩ N) = H/ ker g ∼ =<br />
Bld g = { aN | a ∈ H } = { anN | a ∈ H, n ∈ N } = HN/N. �<br />
Bemerkung 5.2<br />
Im Fall H � G ist auch HN � G. Denn aHNa −1 = aHa −1 aNa −1 ⊆ HN <strong>für</strong> alle a ∈ G.<br />
Satz 5.4 (2. Isomorphiesatz)<br />
Seien G eine Gruppe, N ein Normalteiler in G <strong>und</strong> N � H � G. Dann gilt: H/N �<br />
G/N ⇔ H � G. Gegebenenfalls ist:<br />
(G/N)/(H/N) ∼ = G/H<br />
BEWEIS:<br />
Sei f: G → G/N mit a ↦→ aN kanonisch. Für H � G ist H/N = f(H) � f(G) = G/N. Sei<br />
umgekehrt H/N � G/N <strong>und</strong> g: G/N → (G/N)(H/N) kanonisch. Für a ∈ G gilt dann:<br />
a ∈ ker(g ◦ f) ⇔ g(f(a)) = 1 ⇔ f(a) ∈ ker g = H/N ⇔ a ∈ f −1 (H/N) = f −1 (f(H)) = H<br />
(letzte Aussage nach dem Satz 3.7).<br />
Daher ist H = ker(g ◦ f) � G. Der Homomorphiesatz liefert: G/H = G/ ker(g ◦ f) ∼ =<br />
Bld(g ◦ f) = (G/N)/(H/N). �<br />
Satz 5.5 (3. Isomorphiesatz)<br />
Seien G eine Gruppe, U0 � U � G <strong>und</strong> V0 � V � G. Dann gilt: (U ∩ V0)U0 �<br />
(U ∩ V)U0, (V ∩ U0)V0 � (V ∩ U)V0, (U0 ∩ V)(V0 ∩ U) � U ∩ V <strong>und</strong><br />
BEWEIS:<br />
(U ∩ V)U0/(U ∩ V0)U0 ∼ = (V ∩ U)V0/(V ∩ U0)V0 ∼ = (U ∩ V)/(U0 ∩ V)(V0 ∩ U)<br />
Sei f: U → U/U0 mit u ↦→ uU0 kanonisch. Wegen V0 � V ist (U ∩ V) ∩ V0 � U ∩ V nach<br />
Satz 5.3. Aus dem Beispiel Beispiel 5.1 (vi) folgt: f(U ∩ V0) � f(U ∩ V) . Daher gilt<br />
� �� � � �� �<br />
(U∩V0)U0/U0 (U∩V)U0/U0<br />
nach dem Satz 5.4: (U∩V0)U0 � (U∩V)U0. Ferner ist F: U∩V → (U∩V)U0/(U∩V0)U0<br />
mit x ↦→ x(U ∩ V0)U0 ein Epimorphismus mit dem Kern (U ∩ V) ∩ (U ∩ V0)U0. Dies kann<br />
man durch Anwendung <strong>der</strong> DEDEKIND-Identität vereinfachen: (U ∩ V) ∩ (U ∩ V0)U0 =<br />
(U ∩ V0)(U ∩ V ∩ U0) = (U ∩ V0)(V ∩ U0). Daher ist (U ∩ V0)(V ∩ U0) � U ∩ V. Der<br />
Satz 5.2 liefert: U ∩ V/(U ∩ V0)(U0 ∩ V) = U ∩ V/ ker F ∼ = (U ∩ V)U0/(U ∩ V0)U0. Die<br />
an<strong>der</strong>en Aussagen folgen aus Symmetriegründen. �<br />
Bemerkung 5.3<br />
Der Satz 5.5 wird manchmal auch als Satz von ZASSENHAUS bezeichnet.<br />
31
5. Normalteiler <strong>und</strong> Faktorgruppen<br />
Bemerkung 5.4<br />
Für jede Familie (Ni)i∈I von Normalteilern Ni einer Gruppe G ist G → �<br />
i∈I G/Ni mit<br />
g ↦→ (gNi)i∈I ein Homomorphismus mit dem Kern N := �<br />
i∈I Ni. Nach dem Homomorphiesatz<br />
ist also G/N → �<br />
i∈I G/Ni mit gN ↦→ (gNi)i∈I ein Monom.<br />
Satz 5.6<br />
Seien G eine Gruppe <strong>und</strong> M, N � G mit M ∩ N = 1. Dann ist mn = nm <strong>für</strong> alle<br />
m ∈ M, n ∈ N.<br />
BEWEIS:<br />
m(nm −1 n −1 ) = (mnm −1 )n −1 ∈ M ∩ N = 1 ⇒ mnm −1 n −1 = 1 ⇒ mn = nm �<br />
Definition 5.3<br />
Eine Untergruppe U einer Gruppe G mit f(U) ⊆ U <strong>für</strong> alle f ∈ Aut(G) bzw. <strong>für</strong> alle<br />
f ∈ End(G) heißt charakteristisch bzw. vollinvariant in G.<br />
Bemerkung 5.5<br />
(i) Für U � G gilt: U � G ⇔ f(U) ⊆ U <strong>für</strong> alle f ∈ Inn(G).<br />
(ii) Daher folgt aus vollinvariant die Eigenschaft charakteristisch <strong>und</strong> daraus die Eigenschaft<br />
normal.<br />
(iii) Für jede charakteristische Untergruppe U � G <strong>und</strong> alle f ∈ Aut G ist U =<br />
f(f −1 (U)) ⊆ f(U), d. h. f(U) = U.<br />
Beispiel 5.3<br />
(i) Für jede Gruppe G ist das Zentrum von G charakteristisch in G. Denn <strong>für</strong> z ∈<br />
Z(G), g ∈ G <strong>und</strong> f ∈ Aut G gilt: f(z)f(g) = f(zg) = f(gz) = f(g)f(z), d. h. f(z) ∈<br />
Z(G) wegen f(G) = G. Im Allgemeinen ist Z(G) nicht vollinvariant in G (siehe<br />
Übung).<br />
(ii) Für jede Gruppe G ist U = 〈g 2 : g ∈ G〉 vollinvariant in G. Denn <strong>für</strong> g ∈ G <strong>und</strong><br />
f ∈ End G ist f(g 2 ) = f(g) 2 ∈ U.<br />
Satz 5.7<br />
Für jede Gruppe G <strong>und</strong> K � H � G gilt:<br />
(i) Wenn K charakteristisch in H <strong>und</strong> H charakteristisch in G, dann ist auch K charakteristisch<br />
in G.<br />
(ii) Wenn K vollinvariant in H <strong>und</strong> H vollinvariant in G, dann ist K vollinvariant in G.<br />
(iii) Wenn K charakteristisch in H <strong>und</strong> H Normalteiler in G, dann ist K Normalteiler in<br />
G.<br />
BEWEIS:<br />
(i) Sei die Voraussetzung erfüllt. Für f ∈ Aut G liegt die Einschränkung g von f auf H<br />
nach Bemerkung 5.5(iii) in Aut H. Daher ist f(K) = g(K) ⊆ K.<br />
32<br />
(ii) Sei die Voraussetzung erfüllt. Für f ∈ End G liegt die Einschränkung g von f auf H<br />
in End H. Daher ist f(K) = g(K) ⊆ K.
(iii) Sei die Voraussetzung erfüllt. Für g ∈ G ist f: H → H mit x ↦→ gxg −1 ein Automorphismus<br />
von H. Daher ist gKg −1 = f(K) ⊆ K. �<br />
Definition 5.4 (Ω-Gruppe, Operatoren)<br />
Sei Ω eine Menge. Eine Ω-Gruppe ist ein Paar, das aus einer Gruppe G <strong>und</strong> einer<br />
Abbildung Ω × G → G mit (ω, g) ↦→ ω g mit ω (gh) = ( ω g)( ω h) <strong>für</strong> alle ω ∈ Ω, g, h ∈ G<br />
besteht. Die Elemente in Ω heißen Operatoren.<br />
Bemerkung 5.6<br />
Für ω ∈ Ω gehört die Abbildung G → G mit g ↦→ ω g zu End G. Dabei können verschiedene<br />
Elemente in Ω den gleichen Endomorphismus von G liefern.<br />
Beispiel 5.4<br />
(i) Je<strong>der</strong> Vektorraum V über einem Körper Ω lässt sich als Ω-Gruppe auffassen: ω v :=<br />
ωv <strong>für</strong> ω ∈ Ω, v ∈ V.<br />
(ii) Sei G beliebig, Ω = {End G, Aut G, Inn G} <strong>und</strong> ω g := ω(g) <strong>für</strong> ω ∈ Ω <strong>und</strong> g ∈ G.<br />
(iii) Sei G eine beliebige Gruppe <strong>und</strong> Ω ⊆ G. Wir definieren ω g = ωgω −1<br />
(iv) Für jede Familie (Gi)i∈I von Ω-Gruppen Gi ist auch �<br />
i∈I Gi eine Ω-Gruppe mit<br />
ω (gi)i∈I := ( ω gi)i∈I <strong>für</strong> ω ∈ Ω.<br />
Definition 5.5 (Ω-Untergruppe)<br />
Seien Ω eine Menge <strong>und</strong> G eine Ω-Gruppe. Eine Untergruppe H � G mit ω h ∈ H <strong>für</strong> alle<br />
ω ∈ Ω <strong>und</strong> h ∈ H heißt Ω-Untergruppe von G. Ist H � G, so heißt H Ω-Normalteiler.<br />
Bemerkung 5.7<br />
(i) Jede Ω-Untergruppe kann man wie<strong>der</strong> als Ω-Gruppe auffassen.<br />
(ii) Für jeden Ω-Normalteiler N � G wird die Faktorgruppe G/N zu einer Ω-Gruppe<br />
mit ω (gN) := ( ω g)N <strong>für</strong> g ∈ G <strong>und</strong> ω ∈ Ω. Dies rechnet man leicht nach.<br />
Beispiel 5.5<br />
• Ist G beliebig <strong>und</strong> Ω = End G, so sind die Ω-Untergruppen von G genau die<br />
vollinvarianten Untergruppen von G.<br />
• Ist G beliebig <strong>und</strong> Ω = Aut G, so sind die Ω-Untergruppen von G genau die<br />
charakteristischen Untergruppen von G.<br />
• Ist G beliebig <strong>und</strong> Ω = Inn G, so sind die Ω-Untergruppen von G genau die<br />
normalen Untergruppen von G.<br />
Definition 5.6<br />
Sei Ω eine Menge sowie G, H zwei Ω-Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus f: G → H<br />
mit f( ω g) = ω f(g) heißt Ω-Homomorphismus. Wir üblich hat man auch die an<strong>der</strong>en Typen<br />
von Morphismen <strong>und</strong> den Begriff Ω-isomorph. Die Notationen sind ∼ =Ω, HomΩ(G, H), EndΩ(H)<br />
<strong>und</strong> AutΩ(G).<br />
33
5. Normalteiler <strong>und</strong> Faktorgruppen<br />
Beispiel 5.6<br />
Seien G, Ω beliebig. Für jede Ω-Untergruppe H � G ist die Inklusionsabbildung H → G<br />
mit h ↦→ h ein Ω-Monom. Für jeden Ω-Normalteiler N � G ist die kanonische Abbildung<br />
G → G/N mit g ↦→ gN ein Ω-Epimorphismus.<br />
Bemerkung 5.8<br />
Viele Aussagen über Gruppen, Untergruppen, Homomorphismen übertragen sich problemlos<br />
auf Ω-Gruppen, Ω-Untergruppen <strong>und</strong> Ω-Homomorphismen. Beispielsweise sind Bild<br />
<strong>und</strong> Kern von Ω-Homomorphismen stets Ω-Untergruppen <strong>und</strong> je<strong>der</strong> Ω-Homomorphismus<br />
f: G → H induziert einen Ω-Isomorphismus G/ ker f → Bld f mit g ker f ↦→ f(g). Den<br />
„Homomorphiesatz <strong>für</strong> Ω-Gruppen“ rechnet man schnell nach. Analog übertragen sich<br />
auch die an<strong>der</strong>en Isomorphiesätze auf Ω-Gruppen. Wir werden diese im folgenden ohne<br />
Kommentar verwenden.<br />
34
6. Normalreihen<br />
Definition 6.1 (Subnormalreihe, Länge, Faktor, Normalreihe)<br />
Eine endliche Folge von Untergruppen<br />
(6.1)<br />
G = G0 � G1 � . . . � Gl = 1<br />
einer Gruppe G heißt Subnormalreihe von G <strong>der</strong> Länge l mit Faktoren G0/G1 bis<br />
Gl−1/Gl. Ist Gi � G <strong>für</strong> alle i, dann heißt Gleichung 6.1 Normalreihe. Ist Gi−1 �= Gi<br />
<strong>für</strong> alle i, dann heißt Gleichung 6.1 eine (Sub)normalreihe ohne Wie<strong>der</strong>holung. Eine<br />
Verfeinerung von Gleichung 6.1 ist eine (Sub)Normalreihe<br />
(6.2)<br />
G = H0 � H1 � . . . � Hm = 1<br />
<strong>der</strong>art, dass eine Injektion f: {1, . . . , l} → {1, . . . , m} mit Gi = H f(i) <strong>für</strong> alle i existiert. Im<br />
Fall m > l heißt die Verfeinerung echt.<br />
Beispiel 6.1�<br />
� � �<br />
i 0 0 1<br />
Seien a := , b := ∈ GL(2, C) <strong>und</strong> G := 〈a, b〉. Dann ist |G| = 8 <strong>und</strong><br />
0 −i 1 0<br />
G � 〈a2 , b〉 � 〈b〉 � 1 ist eine Subnormalreihe, aber 〈b〉 � G keine Normalreihe.<br />
Dagegen ist G � 〈a2 , b〉 � 〈a2 〉 � 1 eine Normalreihe.<br />
Definition 6.2<br />
Subnormalreihen<br />
(6.3)<br />
<strong>und</strong><br />
(6.4)<br />
G = G0 � G1 � . . . � Gl = 1<br />
G = H0 � H1 � . . . � Hm = 1<br />
einer Gruppe G heißen isomorph, wenn l = m ist <strong>und</strong> ein f ∈ Sym(l) mit Gi−1/Gi ∼ =<br />
H f(i)−1/H f(i) <strong>für</strong> alle i existieren. Dies bedeutet, Gleichung 6.3 <strong>und</strong> Gleichung 6.4 haben<br />
die gleiche Länge <strong>und</strong> ihre Faktoren sind bis auf die Reihenfolge isomorph.<br />
Beispiel 6.2<br />
Z/6Z hat isomorphe Normalreihen Z/6Z � 2Z/6Z � 6Z/6Z o<strong>der</strong> Z/6Z � 3Z/6Z �<br />
6Z/6Z.<br />
Satz 6.1 (Verfeinerungssatz von SCHREIER)<br />
Je zwei Subnormalreihen einer Gruppe G haben isomorphe Verfeinerungen.<br />
35
6. Normalreihen<br />
BEWEIS:<br />
Seien Gleichung 6.3 <strong>und</strong> Gleichung 6.4 zwei Subnormalreihen von G. Setze Gik :=<br />
Gi(Gi−1 ∩ Hk) <strong>und</strong> Hik := Hk(Hk−1 ∩ Gi) <strong>für</strong> i = 0, . . . , l <strong>und</strong> k = 0, . . . , m. 1 Dabei sei<br />
G−1 := G =: H−1. Dann ist jeweils Gi0 = Gi−1 <strong>und</strong> Gim = Gi sowie Gik � Gi,k−1 nach<br />
dem 3. Isomorphiesatz (Satz 5.5). Daher ist G � G00 � G01 � . . . � G0m = G10 � G11 �<br />
. . . � G1m = G20 � . . . � Gl0 � . . . � Glm = 1 eine Subnormalreihe, die Gleichung 6.3<br />
verfeinert. Analog ist H = H00 � H10 � . . . � Hl0 = H01 � H11 � . . . � Hl1 � . . . �<br />
H0m � . . . � Hlm = 1 eine Subnormalreihe, die Gleichung 6.4 verfeinert. Dabei gilt<br />
jeweils: Gi,k−1/Gik ∼ = Hi−1,k/Hi nach dem Satz 5.5. �<br />
Definition 6.3 (Kompositionsreihe)<br />
Eine Kompositionsreihe einer Gruppe G ist eine Subnormalreihe von G ohne Wie<strong>der</strong>holungen,<br />
die keine echte Verfeinerung ohne Wie<strong>der</strong>holungen hat.<br />
Beispiel 6.3<br />
(i) Die Subnormalreihen von Z/6Z (siehe oben) sind Kompositionsreihen.<br />
(ii) Z selbst hat keine Kompositionsreihe. Denn jede Subnormalreihe Z⊲n1Z⊲. . .⊲nlZ⊲0<br />
kann man zu Z ⊲ n1Z ⊲ . . . ⊲ nlZ ⊲ 2nlZ ⊲ 0 verfeinern.<br />
(iii) Jede endliche Gruppe hat eine Kompositionsreihe.<br />
Satz 6.2 (Satz von JORDAN-HÖLDER)<br />
Je zwei Kompositionsreihen einer Gruppe G sind isomorph.<br />
BEWEIS:<br />
Nach dem Verfeinerungssatz von SCHREIER (Satz 5.6) haben je zwei Kompositionsreihen<br />
von G isomorphe Verfeinerungen. Da man Wie<strong>der</strong>holungen streichen kann, kann man<br />
annehmen, dass die Verfeinerungen keine Wie<strong>der</strong>holungen haben. An<strong>der</strong>erseits haben<br />
Kompositionsreihen keine echten Verfeinerungen ohne Wie<strong>der</strong>holungen. Daher sind<br />
bereits die ursprünglichen Kompositionsreihen isomorph. �<br />
Bemerkung 6.1<br />
Nach dem zweiten Isomorphiesatz (Satz 5.4) ist eine Subnormalreihe genau dann eine<br />
Kompositionsreihe, wenn ihre Faktoren einfache Gruppen sind. Diese heißen dann<br />
Kompositionsfaktoren von G <strong>und</strong> die Länge einer Kompositionsreihe heißt Kompositionslänge<br />
von <strong>der</strong> Gruppe G.<br />
Definition 6.4 ((charakteristisch) einfache Ω-Gruppe)<br />
Sei Ω eine Menge. Eine Ω-Gruppe G �= 1 heißt einfach, wenn 1 <strong>und</strong> G die einzigen<br />
Ω-Normalteiler von G sind. Im Fall Ω = Aut G heißt G charakteristisch einfach.<br />
Bemerkung 6.2<br />
Die Definition von Ω-(Sub-)Normalreihen <strong>und</strong> Ω-Kompositionsreihen ist klar. Die Sätze<br />
von SCHREIER <strong>und</strong> JORDAN-HÖLDER übertragen sich. Im Fall Ω = Inn G heißen<br />
Ω-Kompositionsreihen Hauptreihen. Die Faktoren heißen Hauptfaktoren <strong>und</strong> ihre Länge<br />
Hauptlänge. Nach Satz 5.7 (iii) ist je<strong>der</strong> Hauptfaktor charakteristisch einfach.<br />
1 Bemerke: Gi ⊂ Gik ⊂ Gi−1 <strong>und</strong> Hk ⊂ Hik ⊂ Hi,k−1.<br />
36
Satz 6.3<br />
Sei Ω eine Menge <strong>und</strong> G eine Ω-Gruppe mit Ω-Subnormalreihe G = G0 � G1 � . . . �<br />
Gl = 1.<br />
(i) Für jede Ω-Untergruppe H � G ist H = H ∩ G0 � H ∩ G1 � . . . � H ∩ Gl = 1 eine<br />
Ω-Subnormalreihe von H mit H ∩ Gi−1/H ∩ Gi ∼ =Ω (H ∩ Gi−1)Gi/Gi � Gi−1/Gi.<br />
(ii) Für jeden Ω-Normalteiler N � G ist G/N = G0N/N � G1N/N � . . . � GlN/N =<br />
1 eine Ω-Subnormalreihe von G/N mit (Gi−1N/N)/GiN/N ∼ =Ω Gi−1N/GiN ∼ =Ω<br />
Gi−1/Gi−1 ∩ GiN ∼ =Ω (Gi−1/Gi)/(Gi−1) ∩ GiN/Gi <strong>für</strong> alle i.<br />
BEWEIS:<br />
(i) Jeweils gilt: H ∩ Gi = (H ∩ Gi−1) ∩ Gi � H ∩ Gi−1 nach dem ersten Isomorphiesatz<br />
(Satz 5.3). Der Rest des Satzes lässt sich mit dem gleichen Satz beweisen.<br />
(ii) Wegen Gi � Gi−1 ist GiN/N � Gi−1N/N durch die Anwendung des Homomorphismus<br />
nach Beispiel 5.1 (vi). Ferner ist Gi−1N/GiN = Gi−1(GiN)/GiN ∼ =Ω<br />
Gi−1/Gi−1 ∩ GiN nach Satz 5.3. �<br />
Definition 6.5 (Normaler Endomorphismus)<br />
Ein Endomorphismus α einer Gruppe G mit α(xyx −1 ) = xα(y)x −1 <strong>für</strong> alle x, y ∈ G heißt<br />
normal.<br />
Bemerkung 6.3<br />
Mit Ω := Inn G sind die normalen Endomorphismen von G die Ω-Endomorphismen von G.<br />
Ferner ist ein α ∈ End G genau dann normal, wenn gilt: x −1 α(x)α(y) = α(y)x −1 α(x) <strong>für</strong><br />
alle x, y ∈ G, d. h. wenn x −1 α(x) <strong>für</strong> alle x ∈ G mit jedem Element in α(G) vertauschbar<br />
ist. Insbeson<strong>der</strong>e ist ein α ∈ Aut G genau dann normal, wenn x −1 α(x) <strong>für</strong> alle x ∈ G im<br />
Zentrum von G ist.<br />
Beispiel 6.4<br />
Die Identitätsabbildung ιG : G → G mit g ↦→ g <strong>und</strong> die Nullabbildung 0G : G → G mit<br />
g ↦→ 1 sind stets normal.<br />
Satz 6.4 (SCHURs Lemma)<br />
Für jede Menge Ω, jede einfache Ω-Gruppe G <strong>und</strong> jeden normalen Ω-Endomorphismus<br />
0 �= α ∈ EndΩ G gilt: α ∈ AutΩ G.<br />
BEWEIS:<br />
Sicher ist das α(G) ein Ω-Normalteiler von G. Wegen α �= 0 ist α(G) �= 1. Also ist<br />
α(G) = G. Analog ist <strong>der</strong> Kern von α ein Ω-Normalteiler mit ker α �= G (wegen α �= 0).<br />
Daher ist <strong>der</strong> Kern von α gleich 1, d. h. α ist injektiv. �<br />
37
7. Direkte Zerlegungen<br />
Definition 7.1 (Direkte Summe)<br />
Sei (Gi)i∈I eine nichtleere Familie von Normalteilern Gi einer Gruppe G mit den folgenden<br />
Eigenschaften:<br />
(i) G = 〈Gi : i ∈ I〉<br />
(ii) i ∈ I ⇒ Gi ∩ 〈Gj : i �= j ∈ I〉 = 1<br />
Dann heißt G die direkte Summe von (Gi)i∈I. Man schreibt G = �<br />
i∈I Gi. Falls I =<br />
{1, . . . , n} <strong>für</strong> ein n ∈ N auch G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gn.<br />
Bemerkung 7.1<br />
(i) Für verschiedene Indizes i, j ∈ I ist dann Gi ∩ Gj = 1. Nach dem Satz 5.6 ist<br />
also jedes xi ∈ Gi mit jedem xj ∈ Gj vertauschbar. Zu jedem g ∈ G existieren<br />
ferner i1, . . . , in ∈ I, gi1 ∈ Gi1 , . . . , gin ∈ Gin mit g = gi1 · . . . · gin <strong>und</strong> Œ haben<br />
wir i1, . . . , in paarweise verschieden. Auf die Reihenfolge <strong>der</strong> Faktoren kommt<br />
es dabei nicht an. Wir setzen gi = 1 <strong>für</strong> i ∈ I \ {i1, . . . , in} <strong>und</strong> schreiben auch<br />
g = �<br />
i∈I gi. Hat man eine weitere Familie (hi)i∈I von Elementen hi ∈ Gi mit<br />
|{ i ∈ I | h1 �= 1 }| < ∞ <strong>und</strong> g = �<br />
i∈I hi, so ist gi = hi <strong>für</strong> alle i. Denn im Fall<br />
gi �= hi <strong>für</strong> ein i ∈ I wäre 1 �= g −1<br />
i hi = �<br />
−1<br />
i�=j∈I gjhj ∈ Gi ∩ 〈Gj : i �= j ∈ I〉 = 1 �<br />
Jedes Element in G lässt also in <strong>der</strong> Form g = �<br />
i∈I gi mit eindeutig bestimmten<br />
Elementen gi ∈ Gi schreiben, von denen nur endlich viele von 1 verschieden sind.<br />
Daraus folgt leicht, dass �<br />
i∈I Gi → G mit (gi)i∈I ↦→ �<br />
i∈I gi ein Isomorphismus<br />
ist. Man identifiziert daher oft G = �<br />
i∈I Gi mit �<br />
i∈I Gi <strong>und</strong> schreibt z. B. im Fall<br />
I = {1, . . . , n} auch G1 × . . . × Gn statt G1 ⊕ . . . ⊕ Gn.<br />
(ii) Sei umgekehrt (Gi)i∈I eine Familie beliebiger Gruppen. Wir setzen G := �<br />
i∈I Gi<br />
<strong>und</strong> � Gj := � (gi)i∈I ∈ �<br />
i∈I Gi<br />
�<br />
� gi = 1∀j �= i ∈ I � . Dann folgt leicht, dass G =<br />
�<br />
i∈I � Gj <strong>und</strong> � Gj ∼ = Gj <strong>für</strong> alle j ∈ I. Auch hier identifiziert man oft Gj mit � Gj <strong>und</strong><br />
fasst so Gj als Untergruppe von G auf.<br />
Satz 7.1<br />
Seien G1, . . . , Gn Normalteiler einer Gruppe G mit G = G1·. . .·Gn <strong>und</strong> Gi∩G1·. . .·Gi−1 =<br />
1 <strong>für</strong> i = 2, . . . , n. Dann ist G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gn.<br />
BEWEIS:<br />
Sei i ∈ {1, . . . , n} <strong>und</strong> 1 �= g ∈ Gi ∩ 〈G1, . . . , Gi−1, Gi+1, . . . , Gn〉 = Gi ∩ G1 · . . . ·<br />
Gi−1 · Gi+1 · . . . · Gn. Dann existieren Elemente g1 ∈ G1, . . . , gi−1 ∈ Gi−1, gi+1 ∈<br />
Gi+1, . . . , gn ∈ Gn mit g = g1 · . . . · gi−1 · gi+1 · . . . · gn. Für verschiedene j, h ∈ {1, . . . , n}<br />
38
ist Gj ∩ Gk = 1, d. h. jedes xj ∈ Gj ist mit jedem xk ∈ Gk vertauschbar. Daher haben wir<br />
1 = g1 · . . . · gi−1 · gi · gi+1 · . . . · gn mit gi := g −1 . Sei j ∈ {1, . . . , n} maximal mit gj �= 1.<br />
Dann 1 �= g −1<br />
j = g1 · . . . · gj−1 ∈ Gj ∩ G1 · . . . · Gj−1 = 1 � �<br />
Beispiel 7.1<br />
Sind G1, G2 Normalteiler einer Gruppe G mit G = G1 · G2 <strong>und</strong> G1 ∩ G2 = 1. Dann ist<br />
G = G1 ⊕ G2.<br />
Satz 7.2<br />
Seien G1, . . . , Gn Normalteiler einer endlichen Gruppe G mit |G| = |G1| · . . . · |Gn| <strong>und</strong><br />
ggT(|Gi|, |Gj|) = 1 <strong>für</strong> i �= j. Dann ist G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gn.<br />
BEWEIS:<br />
Der Beweis erfolgt durch Induktion nach i: Gi ∩ G1 · . . . · Gi−1 = 1 <strong>und</strong> |G1 · . . . · Gi| =<br />
|G1| · . . . · |Gi−1|. Für i = 2 ist |G2 ∩ G1| | ggT(|G2|, |G1|) = 1. Also G2 ∩ G1 = 1 <strong>und</strong><br />
|G1G2| = |G1| · |G2|(·|G1 ∩ G2|) = |G1| · |G2|. Sei die Aussage <strong>für</strong> i schon bewiesen. Dann<br />
|Gi+1 ∩ G1 · . . . · Gi| | ggT(|Gi+1|, |G1 · . . . · Gi|) = ggT(|Gi+1|, |G1| · . . . · |Gi|) = 1. Also<br />
Gi+1 ∩G1 ·. . .·Gi = 1 <strong>und</strong> |G1 ·. . .·Gi ·Gi+1| = |G1 ·. . .·Gi|·|Gi+1| = |G1|·. . .·|Gi|·|Gi+1|.<br />
Am Ende hat man |G| = |G1| · . . . · |Gn| = |G1 · . . . · Gn|. Also G = G1 · . . . · Gn. Aus dem<br />
Satz 7.1 folgt die Behauptung. �<br />
Definition 7.2 (Minimale, maximale Untergruppe/Normalteiler)<br />
Eine minimale bzw. maximale Untergruppe einer Gruppe G ist eine Untergruppe U �= 1<br />
bzw. U �= G von G <strong>der</strong>art, dass keine Untergruppe V � G existiert mit 1 < V < U bzw.<br />
U < V < G. Analog definiert man minimale bzw. maximale Normalteiler<br />
Satz 7.3<br />
(i) Sind G1, . . . , Gn nichtabelsche einfache Normalteiler einer Gruppe G mit G =<br />
G1 ⊕. . .⊕Gn, so sind die Teilsummen Gi1 ⊕. . .⊕Gik die einzigen Normalteiler von<br />
Gi. Insbeson<strong>der</strong>e existiert zu jedem Normalteiler N � G ein M � G mit G = N ⊕ M.<br />
(ii) Direkte Produkte von endlich vielen isomorphen einfachen Gruppen sind stets<br />
charakteristisch einfach.<br />
(iii) Jede endliche charakteristisch einfache Gruppe G ist eine direkte Summe endlich<br />
vieler isomorpher einfacher Gruppen.<br />
BEWEIS:<br />
(i) Sei die Voraussetzung erfüllt <strong>und</strong> g ∈ N � G. Wir schreiben g = g1 · . . . · gn mit<br />
g1 ∈ G1, . . . , gn ∈ Gn. Dann genügt zu zeigen:<br />
(7.1)<br />
Ist 1 � i � n mit gi �= 1 ⇒ Gi ⊆ N<br />
Sei 1 � i � n mit gi �= 1. Da Gi einfach <strong>und</strong> nichtabelsch, ist Z(Gi) = 1. Also<br />
liegt gi nicht im Zentrum von G. Also gibt es ein Element h ∈ Gi mit hgi �= gih,<br />
d. h. 1 �= hgih−1g −1<br />
i = hgh−1g−1 ∈ Gi ∩ N. Folglich gilt: Gi � Gi ∩ N �= 1 ist ein<br />
Normalteiler in Gi. Da aber Gi einfach ist, ist Gi = Gi ∩ N � N.<br />
39
7. Direkte Zerlegungen<br />
(ii) Sei H eine einfache Gruppe <strong>und</strong> G = H × . . . × H mit n Faktoren.<br />
1. Fall Sei H nichtabelsch. Dann ist G = H1 ⊕ . . . ⊕ Hn mit Hi := 1 × . . . × 1 ×<br />
H × 1 × . . . × 1, d. h. an <strong>der</strong> i-ten Stelle steht das H. Jede charakteristische<br />
Untergruppe 1 �= N � G enthält nach dem Teil (i) des Satzes ein Hi.<br />
Für f ∈ Sym(n) ist α: G → G mit (g1, . . . , gn) ↦→ (g f(1), . . . , g f(n)) ein<br />
Automorphismus. Also gilt: α(Hi) ⊆ N. So erhält man: Hj ⊆ N <strong>für</strong> alle<br />
j = 1, . . . , n, d. h. N = G.<br />
2. Fall Sei H abelsch. Für 1 �= a ∈ H ist dann 〈a〉 = H. Daher ist die Abbildung<br />
f: Z → H mit k ↦→ a k ein Epimorphismus. Folglich gilt H ∼ = Z/ ker f nach<br />
dem Satz 5.2. Nach dem Satz 4.5 ist ker f = lZ <strong>für</strong> ein l ∈ N0. Dabei ist l �= 0.<br />
Denn an<strong>der</strong>nfalls wäre Z/{0} ∼ = Z. Aber Z ist nicht einfach. Ferner ist l = p<br />
eine Primzahl. Denn an<strong>der</strong>nfalls gilt <strong>für</strong> d | l: 0 �= dZ/lZ�Z/lZ. Daher sei Œ<br />
G = (Z/pZ) n . Bekanntlich ist Z/pZ ein Körper <strong>und</strong> (Z/pZ) n kann man als<br />
Z/pZ-Vektorraum auffassen. Je<strong>der</strong> Automorphismus dieses Vektorraums ist<br />
auch ein Gruppenhomomorphismus o<strong>der</strong> besser Gruppenautomorphismus.<br />
Wie man in <strong>der</strong> Vorlesung zur linearen Algebra zeigt, existiert zu je zwei<br />
Elementen x, y ∈ (Z/pZ) n ein Vektorraum-Automorphismus α von (Z/pZ) n<br />
mit α(x) = y. Folglich ist G charakteristisch einfach.<br />
(iii) Sei G endlich <strong>und</strong> charakteristisch einfach. Weiterhin sei N ein minimaler Normalteiler<br />
von G. Für α ∈ Aut G ist dann auch α(N) wie<strong>der</strong> ein minimaler Normalteiler von<br />
G. Wir wählen eine möglichst große Untergruppe M � G, die direkte Summe einiger<br />
α(N) ist. Offenbar ist M�G. Wir nehmen nun an, dass es einen Automorphismus<br />
β ∈ Aut G mit β(N) � M gibt. Dann gilt: M∩β(N)�G <strong>und</strong> M∩β(N) < β(N). Also<br />
ist M∩β(N) = 1 wegen <strong>der</strong> Minimalität von β(N). Folglich ist Mβ(N) = M⊕β(N)<br />
im Wi<strong>der</strong>spruch zur Wahl des N. Daher ist M = 〈β(N): β ∈ Aut G〉. Insbeson<strong>der</strong>e<br />
ist M charakteristisch in G. Also ist M = G. Folglich existieren α1, . . . , αn ∈ Aut G<br />
mit G = α1(N) ⊕ . . . ⊕ αn(N).<br />
Für i �= j ist jedes x ∈ αi(N) mit jedem y ∈ αj(N) vertauschbar. Für i = 1, . . . , n ist<br />
je<strong>der</strong> Normalteiler K von αi(N) auch ein Normalteiler von G. Also K ∈ {1, αi(N)}.<br />
Daher sind α1(N), . . . , αn(N) isomorphe einfache Gruppen. �<br />
Definition 7.3 (Minimal-/Maximalbedingung)<br />
Sei Ω eine Menge. Eine Ω-Gruppe G erfüllt die Minimalbedingung bzw. Maximalbedingung<br />
<strong>für</strong> Ω-Untergruppen, falls jede nichtleere Menge M von Ω-Untergruppen von<br />
G ein minimales bzw. maximales Element M enthält. Das heißt, es existiert kein H ∈ M<br />
mit H < M bzw. M < H.<br />
Satz 7.4 (Satz von FITTING)<br />
Sei Ω eine Menge <strong>und</strong> G eine Ω-Gruppe mit Minimal- <strong>und</strong> Maximalbedingung <strong>für</strong><br />
Ω-Untergruppen. Zu jedem normalen Endomorphismus α ∈ EndΩ G existiert dann eine<br />
natürliche Zahl k mit:<br />
40
(i) G � α(G) � α 2 (G) � · · · α k (G) = α k+1 (G) = · · ·<br />
(ii) 1 � ker(α) � ker(α 2 ) � · · · � ker(α k ) = ker(α k+1 ) = · · ·<br />
Für jedes k ist<br />
G = ker(α k ) ⊕ α k (G)<br />
BEWEIS:<br />
Die Punkte (i) <strong>und</strong> (ii) folgen aus <strong>der</strong> Minimal- bzw. Maximalbedingung. Offenbar sind<br />
ker(α k ) <strong>und</strong> α k (G) Normalteiler von G. Für g ∈ ker(α k ) ∩ α k (G) existiert ein Element<br />
h ∈ G mit g = α k (h) <strong>und</strong> 1 = α k (g) = α 2k (h). Also ist h ∈ ker(α 2k ) = ker(α k ). Damit<br />
ist g = α k (h) = 1. Wir haben also gezeigt, dass <strong>der</strong> Durchschnitt <strong>der</strong> beiden Mengen<br />
gleich 1 ist.<br />
Für g ∈ G ist an<strong>der</strong>erseits α k (g) ∈ α k (G) = α 2k (G). Also α k (g) = α 2k (h) <strong>für</strong> h ∈ G.<br />
Daher ist 1 = α k (g)α 2k (h) −1 = α k (gα 2k (h) −1 ). Also ist gα k (h −1 ) ∈ ker(α k ) <strong>und</strong><br />
g = gα k (h) · α k (h −1 ) ∈ ker(α k ) · α k (G). Damit ist G = ker α k · α k (G). Die Behauptung<br />
folgt aus Beispiel 7.1. . �<br />
Bemerkung 7.2<br />
Im Fall ker(α k ) = 1 ist also G = α k (G), d. h. α k <strong>und</strong> α sind bijektiv. Im Fall ker(α k ) = G<br />
ist α k = 0 <strong>und</strong> α heißt dann nilpotent.<br />
Definition 7.4 (Unzerlegbare Ω-Gruppe)<br />
Sei Ω eine Menge. Eine Ω-Gruppe G �= 1 heißt unzerlegbar, wenn keine echten<br />
Ω-Normalteiler M, N � G mit G = M ⊕ N existieren.<br />
Bemerkung 7.3<br />
Je<strong>der</strong> normale Ω-Endomorphismus einer unzerlegbaren Ω-Gruppe mit Minimal- <strong>und</strong><br />
Maximalbedingung <strong>für</strong> Ω-Untergruppen ist nach Satz 7.4 nilpotent o<strong>der</strong> bijektiv.<br />
Satz 7.5<br />
Sei Ω eine Menge <strong>und</strong> G eine Ω-Gruppe mit Minimalbedingung <strong>für</strong> Ω-Untergruppen.<br />
Dann existieren endlich viele unzerlegbare Ω-Normalteiler G1, . . . , Gn � G mit G =<br />
G1 ⊕ . . . ⊕ Gn.<br />
BEWEIS:<br />
An<strong>der</strong>nfalls ist die Menge M aller Ω-Untergruppen von G, die sich nicht als direkte<br />
Summe von endlich vielen unzerlegbaren Ω-Untergruppen von G schreiben lassen,<br />
nichtleer. Daher existiert ein minimales Element M ∈ M. Dann ist M �= 1 <strong>und</strong> M<br />
ist selbst keine unzerlegbare Ω-Untergruppe von G. Somit existieren Ω-Untergruppen<br />
M1, M2 < M mit M = M1 ⊕ M2. Nach <strong>der</strong> Wahl von M sind M1 <strong>und</strong> M2 direkte<br />
Summen von endlich vielen unzerlegbaren Ω-Untergruppen von G, also auch von M. ��<br />
41
7. Direkte Zerlegungen<br />
Beispiel 7.2 � � � � � �<br />
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5<br />
(i) Seien a =<br />
, b =<br />
, c =<br />
∈<br />
2 3 1 4 5 2 1 3 4 5 1 2 3 5 4<br />
Sym(5) <strong>und</strong> G := 〈a, b, c〉. Dann: G = G1 ⊕ G2 mit G1 := 〈a, b〉 ∼ = Sym(3) <strong>und</strong><br />
G2 := 〈c〉 ∼ = Sym(2). Aber auch G = H1 ⊕ H2 mit H1 := 〈a, bc〉 ∼ = Sym(3) <strong>und</strong><br />
H2 := 〈c〉.<br />
(ii) Ein Ω-Vektorraum V über einen Körper Ω ist genau dann unzerlegbar, wenn gilt:<br />
dim V = 1.<br />
Definition 7.5 (Addierbare Endomorphismen)<br />
Zwei Endomorphismen α, β einer Gruppe G heißen addierbar, falls α + β: G → G mit<br />
g ↦→ α(g)β(g) ein Endomorphismus von G ist.<br />
Satz 7.6<br />
Zwei Endomorphismen α, β einer Gruppe G sind genau dann addierbar, wenn jedes<br />
x ∈ α(G) mit jedem y ∈ α(G) vertauschbar ist. Gegebenenfalls gilt: α + β = β + α.<br />
BEWEIS:<br />
„⇒“ Sind α, β addierbar, so gilt <strong>für</strong> alle g, h ∈ G: α(g)β(g)α(h)β(h) = (α + β)(g)(α +<br />
β)(h) = (α + β)(gh) = α(gh)β(gh) = α(g)α(h)β(g)β(h), d. h. β(g)α(h) =<br />
α(h)β(g).<br />
„⇐“ Sind g, h ∈ G mit β(g)α(h) = α(h)β(g), so gilt: (α + β)(gh) = α(gh)β(gh) =<br />
α(g)α(h)β(g)β(h) = α(g)β(g)α(h)β(h) = (α + β)(g)(α + β)(h). �<br />
Bemerkung 7.4<br />
(i) Sind α, β zwei addierbare Endomorphismen von G, so auch α ◦ γ, β ◦ γ o<strong>der</strong> auch<br />
γ◦α, γ◦β <strong>für</strong> γ ∈ End(G) <strong>und</strong> es gilt: (α+β)◦γ = α◦γ+β◦γ <strong>und</strong> γ◦(α+β) = γ◦<br />
α+γ◦β. Denn: ((α+β)◦γ)(g) = (α+β)(γ(g)) = α(γ(g))β(γ(g)) = (α◦γ+β◦γ)(g)<br />
<strong>und</strong> (γ ◦ (α + β))(g) = γ(α(g)β(g)) = γ(α(g))γ(β(g)) = (γ ◦ α + γ ◦ β)(g) <strong>für</strong><br />
g ∈ G.<br />
(ii) Seien Ω eine Menge, G eine Ω-Gruppe <strong>und</strong> α, β ∈ EndΩ(G) addierbar. Dann ist<br />
α + β ∈ EndΩ(G). Denn <strong>für</strong> ω ∈ Ω <strong>und</strong> g ∈ G gilt: ω ((α + β)(g)) = ω (α(g)β(g)) =<br />
ω α(g) ω β(g) = α( ω g)β( ω g) = (α + β)( ω g).<br />
(iii) Es heißen α1, . . . , αn ∈ End G paarweise addierbar, falls die αi, αj <strong>für</strong> alle i �= j<br />
addierbar sind. Gegebenenfalls ist α1 + · · · + αn : G → G mit g ↦→ α1(g), . . . , αn(g)<br />
ein Endomorphismus von G <strong>und</strong> <strong>für</strong> i = 1, . . . , n − q gilt: α1, . . . , αn = (α1 + · · · +<br />
αm) + (αm+1 + · · · + αn). Dabei sind die Summen rechts addierbar.<br />
Satz 7.7<br />
Seien Ω eine Menge <strong>und</strong> G1, . . . , Gn alles Ω-Normalteiler einer Gruppe G mit <strong>der</strong><br />
Eigenschaft G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gn. Für i = 1, . . . , n sei die Abbildung εi : G → G definiert<br />
durch εi(g1·. . .·gn) := gi <strong>für</strong> g1 ∈ G1, . . . , gn ∈ Gn. Dann sind die ε1, . . . , εn ∈ EndΩ(G),<br />
normal <strong>und</strong> paarweise addierbar mit ε 2 i = εi <strong>für</strong> alle i, εi ◦ εj = 0 <strong>für</strong> i �= j <strong>und</strong><br />
ε1 + · · · + εn = idG.<br />
42
BEWEIS:<br />
Für i = 1, . . . , n ist εi nach <strong>der</strong> Definition <strong>der</strong> direkten Summe wohldefiniert. Es ist auch<br />
ein Homomorphismus. Denn <strong>für</strong> g1, h1 ∈ G1, . . . , gn, hn ∈ Gn <strong>und</strong> ω ∈ Ω gilt: εi(g1 ·<br />
. . . gn · h1 · . . . · hn) = εi(g1h1 · . . . · gnhn) = gihi = εi(g1 · . . . · gn)εi(h1 · . . . · hn). Weiter<br />
ist die Verträglichkeit mit ω zu prüfen: εi( ω (g1 · . . . · gn)) = εi( ω g1 · . . . · ω gn) = ω gi =<br />
ω εi(g1 · . . . · gn). Weiter haben wir: εi(g(g1 · . . . · gn)g −1 ) = εi(gg1g −1 · . . . · ggng −1 ) =<br />
ggig −1 = gεi(g1 · . . . · gn)g −1 . Für i �= j sind εi, εj wegen εi(G) = Gi, εj(G) = Gj<br />
addierbar. Der Rest des Beweises ist klar. �<br />
Satz 7.8<br />
Seien Ω eine Menge, G eine unzerlegbare Ω-Gruppe mit Minimal- <strong>und</strong> Maximalbedingung<br />
<strong>für</strong> Ω-Untergruppen <strong>und</strong> α, β ∈ EndΩ(G) normal sowie addierbar mit α + β ∈ AutΩ(G).<br />
Dann ist α ∈ AutΩ(G) o<strong>der</strong> β ∈ AutΩ(G).<br />
BEWEIS:<br />
Nach <strong>der</strong> Bemerkung 7.4 sind α ′ := (α + β) −1 ◦ α, β ′ := (α + β) −1 := β ∈ EndΩ(G)<br />
normal <strong>und</strong> addierbar mit α ′ + β ′ = (α + β) −1 ◦ (α + β) = idG.<br />
Für g ∈ G gilt also:<br />
α ′ (β ′ (g)) = α ′ (α ′ (g −1 )α ′ (g)β ′ (g)) = α ′ (α ′ (g −1 )(α ′ + β ′ )(g))<br />
= α ′ (α ′ (g −1 )g) = α ′ (α ′ (g −1 ))α ′ (g) = α ′ (α ′ (g −1 ))(α ′ + β ′ )(α ′ (g))<br />
= α ′ (α ′ (g −1 ))α ′ (α ′ (g))β ′ (α ′ (g)) = β ′ (α ′ (g))<br />
Falls beide Summanden keine Automorphismen sind, dann wären α ′ , β ′ nilpotent nach<br />
<strong>der</strong> Bemerkung 7.3. Das heißt (α ′ ) n = 0 = (β ′ ) n <strong>für</strong> ein n ∈ N. Dann wäre die Identität<br />
auf G: idG = (α ′ +β ′ ) = (α ′ +β ′ ) n = (α ′ +β ′ ) 2n = �2n � � 2n<br />
j=0 j (α ′ ) j ◦(β ′ ) 2n−j = 0. Dies<br />
würde nur gut gehen, wenn G = 1. Das ist aber im Wi<strong>der</strong>spruch zur Voraussetzung. Daher<br />
ist α ′ ∈ AutΩ(G) o<strong>der</strong> β ′ ∈ AutΩ(G), also auch α ∈ AutΩ(G) o<strong>der</strong> β ∈ AutΩ(G). �<br />
Satz 7.9 (Eindeutigkeitssatz von KRULL-REMAK-SCHMIDT)<br />
Seien Ω eine Menge <strong>und</strong> G eine Ω-Gruppe mit Minimal- <strong>und</strong> Maximalbedingung <strong>für</strong><br />
Ω-Untergruppen. Ferner sei G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gr = H1 ⊕ . . . ⊕ Hs mit unzerlegbaren<br />
Ω-Normalteilern G1, . . . , Gr, H1, . . . , Hs. Dann ist r = s, nach geeigneter Umnummerierung<br />
<strong>der</strong> H1, . . . , Hs ist G = H1 ⊕ . . . ⊕ Hi−1 ⊕ Gi ⊕ . . . ⊕ Gr <strong>für</strong> i = 1, . . . , r <strong>und</strong> es<br />
existiert ein normaler Ω-Automorphismus α von G mit α(Gi) = Hi <strong>für</strong> i = 1, . . . , r.<br />
BEWEIS:<br />
Wir konstruieren <strong>für</strong> i = 1, . . . , r + 1 einen normalen Ω-Automorphismus αi von G<br />
mit αi(G1) = H1, . . . , αi(Gi−1) = Hi−1, αi(Gi) = Gi, . . . , αi(Gr) = Gr (bei passen<strong>der</strong><br />
Umnummerierung).<br />
Zunächst sei α1 := idG. Damit ist <strong>der</strong> Induktionsanfang klar. Sei nun αi <strong>für</strong> ein i ∈<br />
{1, . . . , r} schon definiert. Dann: G = αi(G) = αi(G1 ⊕ . . . ⊕ Gr) = αi(G1) ⊕ . . . ⊕<br />
αi(Gr) = H1 ⊕ . . . ⊕ Hi−1 ⊕ Gi ⊕ . . . ⊕ Gr. Dazu gehören normale Endomorphismen<br />
ε1, . . . , εr ∈ EndΩ(G) wie in Satz 7.7 <strong>und</strong> analog hat man normale η1, . . . , ηs ∈ EndΩ(G)<br />
zur Zerlegung G = H1 ⊕ . . . ⊕ Hs. Dabei gilt: εi = εi ◦ idG = εi ◦ �s j=1 ηj = �s j=1 εi ◦ ηj<br />
43
7. Direkte Zerlegungen<br />
mit ηj(G) = Hj <strong>für</strong> j = 1, . . . , s. Also ist εj ◦ ηj = ηj <strong>für</strong> j � i − 1 <strong>und</strong> εi ◦ ηj = 0<br />
<strong>für</strong> j = 1, . . . , i − 1. Daher ist εi = �s j=i εi ◦ ηj. Dabei sind die einzelnen Summanden<br />
paarweise addierbar mit εi◦ηi, . . . , εi◦ηs ∈ EndΩ(G). Für β ∈ EndΩ(G) mit β(Gi) ⊆ Gi<br />
sei β: Gi → Gi die entsprechende Einschränkung. Dann: idGi = εi = �s j=i εi ◦ ηj. Da<br />
Gi unzerlegbar ist, ist unter εi ◦ ηi, . . . , εi ◦ ηs ein Automorphismus von Gi nach Satz 7.8.<br />
Nach Umnummerierung von Hi, . . . , Hs kann man εi ◦ ηi ∈ AutΩ(Gi) annehmen.<br />
Nun behaupten wir: Hi = ηi(Gi) ⊕ (ker(εi) ∩ Hi). Da εi <strong>und</strong> ηi Ω-Endomorphismen<br />
<strong>und</strong> normal sind, sind ηi(Gi) <strong>und</strong> ker(εi) ∩ Hi beide Ω-Normalteiler von G. Ist g ∈ Gi<br />
mit <strong>der</strong> Eigenschaft 1 = εi(ηi(g)) = εi ◦ ηi(g) = g, also auch ηi(g) = 1. Daher ist<br />
ηi(Gi) ∩ ker(εi) ∩ Hi = 1. Für h ∈ Hi ist εi(h) ∈ Gi = εi(ηi(Gi)). Also εi(h) = εi(ηi(k))<br />
<strong>für</strong> ein k ∈ Gi. Daher: 1 = εi(ηi(k −1 ))εi(h) = εi(ηi(k −1 )h), d. h. ηi(k −1 ) ∈ ker(εi) ∩ Hi<br />
<strong>und</strong> h = ηi(k)ηi(k −1 )h ∈ ηi(Gi) · ker(εi) ∩ Hi. Damit ist die Behauptung gezeigt.<br />
Da Hi unzerlegbar <strong>und</strong> ηi(Gi) �= 1 ist, folgt, dass ker(εi) ∩ Hi = 1 <strong>und</strong> Hi = ηi(Gi) =<br />
ηi(εi(G)). Für j = 1, . . . , i − 1 ist εj(G) = Hj <strong>und</strong> <strong>für</strong> j = i + 1, . . . , r ist εj(G) = Gj.<br />
Ferner ist ηi(gi) = ηi(gjgig −1<br />
−1<br />
j ) = gjηi(gi)gj <strong>für</strong> gi ∈ Gi = εi(G), gj ∈ Gj mit i �= j.<br />
Daher sind ε1, . . . , εi−1, ηi ◦ εi, εi+1, . . . , εr paarweise addierbar. Folglich ist<br />
normal mit<br />
δ := ε1 + · · · + εi−1 + (ηi ◦ εi) + εi+1 + · · · + εr ∈ EndΩ(G)<br />
δ(Hj) = εj(Hj) = Hj <strong>für</strong> j = 1, . . . , i − 1<br />
δ(Gi) = ηi(εi(Gi)) = Hi<br />
δ(Gj) = εj(Gj) = Gj <strong>für</strong> j = i + 1, . . . , r<br />
Daher: δ(G) = δ(H1 · . . . · Hi−1 · Gi · Gi+1 · . . . · Gr) = H1 · . . . · Hi−1 · Gi · Gi+1 · . . . · Gr mit<br />
H1 · . . . · Hi−1 · Gi+1 · . . . · Gr = H1 ⊕ . . . ⊕ Hi−1 ⊕ Hi ⊕ Gi+1 ⊕ . . . ⊕ Gr. Hat man h1 ∈<br />
H1, . . . , hi−1 ∈ Hi−1, gi ∈ Gi, . . . , gr ∈ Gr mit 1 = δ(h1 · . . . · hi−1gi · . . . · gr) = h1 · . . . ·<br />
hi−1ηi(gi)gi+1 ·. . .·gr, so folgt, 1 = h1 = · · · = hi−1 = ηi(gi) = gi+1 = · · · = gr. Wegen<br />
εi ◦ ηi ∈ AutΩ(Gi) ist dann auch gi = 1. Daher ist δ injektiv. Nach <strong>der</strong> Bemerkung 7.2 ist<br />
also δ ∈ AutΩ(G). Insbeson<strong>der</strong>e ist G = δ(G) = H1 ⊕ . . . ⊕ Hi ⊕ Gi+1 ⊕ . . . ⊕ Gr. Folglich<br />
ist αi+1 := δ ◦ αi ∈ AutΩ(G) normal mit den gewünschten Eigenschaften. Am Schluss ist<br />
αr+1 ∈ AutΩ(G) normal mit αr+1(G1) = H1, . . . , αr+1(Gr) = Hr. Daher ist r = s. �<br />
Bemerkung 7.5<br />
Dies ist analog zum Austauschsatz von STEINITZ aus <strong>der</strong> linearen Algebra.<br />
Beispiel 7.3<br />
(i) Sei Ω eine Menge mit Ω = Ω1 ·∪ . . . ·∪Ωk. Dann ist G := Sym(Ω1)⊕. . .⊕Sym(Ωk) �<br />
Sym(Ω) die YOUNG-Untergruppe.<br />
44<br />
(ii) Sei K ein Körper <strong>und</strong> n := n1 + · · · + nk natürliche Zahlen. Die LEVI-Untergruppe
ist dann:<br />
⎛<br />
⎜<br />
G := ⎜<br />
⎝<br />
GL(n1, K) 0<br />
. ..<br />
0 GL(n1, K)<br />
⎞<br />
⎟ � GL(n, K)<br />
⎠<br />
45
8. Abelsche Gruppen<br />
Bemerkung 8.1<br />
In diesem Kapitel schreiben wir die abelschen Gruppen stets additiv.<br />
Satz 8.1<br />
In je<strong>der</strong> abelschen Gruppe A bilden die Elemente endlicher Ordnung eine Untergruppe<br />
T(A).<br />
BEWEIS:<br />
Da 0 die Ordnung 1 hat, ist 0 ∈ T(A). Seien nun x, y ∈ A. Dann sind die Ordnungen m<br />
von x <strong>und</strong> n von y endlich. Wegen nm(x − y) = mnx − mny = 0 − 0 = 0 hat auch x − y<br />
endliche Ordnung, d. h. x − y ∈ A. �<br />
Definition 8.1 (Torsionsgruppe, torsionsfrei)<br />
Man bezeichnet T(A) als Torsionsgruppe von A. Falls T(A) = A heißt A selbst Torsionsgruppe<br />
<strong>und</strong> falls T(A) = 0 heißt A torsionsfrei.<br />
Beispiel 8.1<br />
A = C \ {0} ⇒ T(A) = � e 2πik/n � � k, n ∈ N �<br />
Satz 8.2<br />
Sei A eine abelsche Gruppe. Dann ist T(A) die Torsionsgruppe <strong>und</strong> A/T(A) torsionsfrei.<br />
BEWEIS:<br />
Die erste Aussage ist trivial. Zum Beweis <strong>der</strong> zweiten Aussage habe a + T(A) ∈ A/T(A)<br />
die Ordnung n < ∞. Dann ist 0 = n(a + T(A)) = na + T(A), d. h. na ∈ T(A). Folglich<br />
ist m := |〈na〉| < ∞. Daher mna = 0, d. h. a ∈ T(A) <strong>und</strong> a + T(A) = 0. �<br />
Bemerkung 8.2<br />
Das Studium abelscher Gruppen teilt sich also in Torsionsgruppen <strong>und</strong> torsionsfreie<br />
Gruppen auf.<br />
Definition 8.2 (linear (un)abhängig, Basis)<br />
In einer abelschen Gruppe A heißen die Elemente a1, . . . , an linear unabhängig, falls aus<br />
0 = z1a1 +· · ·+znan mit z1, . . . , zn ∈ Z stets z1 = · · · = zn = 0 folgt. An<strong>der</strong>nfalls heißen<br />
a1, . . . , an linear abhängig. Sind a1, . . . , an linear unabhängig mit 〈a1, . . . , an〉 = A, so<br />
nennt man a1, . . . , an eine Basis von A. Abelsche Gruppen, die eine Basis haben, heißen<br />
freie abelsche Gruppen.<br />
46
Bemerkung 8.3<br />
(i) Sei A eine freie abelsche Gruppe mit <strong>der</strong> Basis a1, . . . , an. Dann ist A torsionsfrei.<br />
Denn ist x = z1a1 + · · · + znan ∈ A mit k := |〈x〉| < ∞, so ist 0 = kx = kz1a1 +<br />
· · · + kznan, also 0 = kz1 = · · · = kzn <strong>und</strong> damit ist z1 = · · · = zn = 0, d. h. x = 0.<br />
(ii) Es ist (Q, +) torsionsfrei, aber nicht frei. Denn sind x ∈ Q <strong>und</strong> k ∈ N mit kx = 0, so<br />
ist x = 0. Ferner ist (Q, +) nicht zyklisch <strong>und</strong> <strong>für</strong> n � 2 sind beliebige x1, . . . , xn ∈ Q<br />
stets linear abhängig. Schreibt man nämlich xi = pi/qi mit pi, qi ∈ Z <strong>und</strong> qi �= 0,<br />
so ist 0 = p2q1x1 − p1q2x2 + 0x3 + · · · + 0xn.<br />
(iii) Für jede freie abelsche Gruppe A mit einer Basis a1, . . . , an ist die Abbildung<br />
f: Z n → A mit (z1, . . . , zn) ↦→ z1a1 + · · · + znan ein Isomorphismus. Umgekehrt<br />
ist Z n <strong>für</strong> ein n ∈ N frei mit <strong>der</strong> Basis<br />
e1 = (1, 0, . . . , 0)<br />
.<br />
en = (0, . . . , 0, 1)<br />
Satz 8.3<br />
Seien A eine freie abelsche Gruppe, B eine beliebige abelsche Gruppe <strong>und</strong> f: B → A ein<br />
Epimorphismus. Dann ist B = U ⊕ ker f <strong>für</strong> ein U � B. Insbeson<strong>der</strong>e ist U ∼ = B/ ker f ∼ = A.<br />
BEWEIS:<br />
Sei a1, . . . , an eine Basis von A <strong>und</strong> b1, . . . , bn ∈ B mit f(b1) = a1, . . . , f(bn) = an sowie<br />
b ∈ B. Dann existieren z1, . . . , zn ∈ Z mit f(b) = z1a1 + · · · + znan = z1f(b1) + · · · +<br />
znf(bn) = f(z1b1 + · · · + znbn) =: f(n). Also ist u ∈ U := 〈b1, . . . , bn〉 mit f(b − u) = 0.<br />
Folglich: b − u ∈ ker f <strong>und</strong> b = u + (b − u) ∈ U + ker f. Damit ist gezeigt: B = U + ker f.<br />
Sei an<strong>der</strong>erseits y ∈ U ∩ ker f <strong>und</strong> y = y1b1 + · · · + ynbn. Dann ist 0 = f(y) =<br />
y1f(b1) + · · · + ynf(bn) = y1a1 + · · · + ynan. Da a1, . . . , an linear unabhängig sind,<br />
folgt, y1 = · · · = yn = 0 <strong>und</strong> y = 0. Also gilt auch: U ∩ ker f = ∅. �<br />
Satz 8.4<br />
Jede torsionsfreie endlich erzeugte abelsche Gruppe A ist frei.<br />
BEWEIS:<br />
Seien A = 〈a1, . . . , ak〉, a1 �= 0, ak �= 0 <strong>und</strong> B = A/〈ak〉, T(B) = C/〈ak〉 mit 〈ak〉 �<br />
C � A. Dann: 〈a1 + C, . . . , ak−1 + C〉 = A/C ∼ = B/T(B) endlich erzeugt <strong>und</strong> torsionsfrei.<br />
Nun führen wir eine Induktion nach k durch. Der Fall k = 1 wurde oben schon erledigt.<br />
Also betrachten wir k > 1. Nach Induktion ist A/C frei, d. h. A/C ist isomorph zu<br />
Z t <strong>für</strong> ein t ∈ N0. Nach dem Satz 8.3 ist A = D ⊕ C <strong>für</strong> eine Untergruppe D � A.<br />
Insbeson<strong>der</strong>e ist D isomorph A/C ∼ = Z t . Daher genügt zu zeigen, dass das C frei ist.<br />
Wegen C ∼ = A/D = 〈a1 + D, . . . , ak + D〉 ist C endlich erzeugt. Sei etwa C erzeugt von<br />
〈c1, . . . , cl〉. Für c ∈ C ist c + 〈ak〉 ∈ C/〈ak〉 = T(B). Daher existiert ein r ∈ N mit <strong>der</strong><br />
Eigenschaft 0 = r·(c+〈ak〉) = rc+〈ak〉, d. h. r ∈ 〈ak〉, etwa rc = sak mit s ∈ Z. Sind auch<br />
r ′ ∈ N <strong>und</strong> s ∈ Z mit r ′ c = s ′ ak, so ist (r ′ s−rs ′ )ak = r ′ sak−rs ′ ak = r ′ rc−rr ′ c = 0. Da<br />
47
Übungen korrektreferenzieren<br />
8. Abelsche Gruppen<br />
A torsionsfrei ist, folgt, dass r ′ s = rs ′ , d. h. s/r = s′ /r ′ in Q. Durch f(c) := s/r erhalten wir<br />
eine wohldefinierte Abbildung f: C → Q. Seien ˜c ∈ C, ˜r ∈ N, ˜s ∈ Z mit ˜r˜c = ˜sak. Dann<br />
haben wir: (r˜s + ˜rs)ak = r˜sak + ˜rsak = r˜r˜c + ˜rrc = r˜r(c + ˜c) d. h. f(c + ˜c) = r˜s+˜rs =<br />
r˜r<br />
s/r + ˜s/˜r = f(c) + f(˜c). Somit ist f ein Homomorphismus. Ist f(c) = 0, so ist s/r = 0,<br />
also s = 0 o<strong>der</strong> rc = sak = 0. Somit muss c = 0 sein. Denn A ist torsionsfrei. Folglich<br />
ist das f ein Monomorphismus, da <strong>der</strong> Kern 0 ist. Wegen C =⊆ c1, . . . , cl〉 ist f(C) =<br />
〈f(c1), . . . , f(cl)〉 � (Q, +). Es ist f(C) zyklisch (siehe Übungsaufgabe Abschnitt A.3.2),<br />
d. h. f(C) = 0 o<strong>der</strong> f(C) ∼ = Z. Insbeson<strong>der</strong>e ist f(C) frei <strong>und</strong> damit auch C frei. Insgesamt<br />
ist A = D ⊕ C frei. �<br />
Bemerkung 8.4<br />
Der Beweis zeigt genauer, dass man im Fall A = 〈a1, . . . , ak〉 eine Basis b1, . . . , bt von A<br />
mit t � k wählen kann. Dies funktioniert wie bei Vektorräumen in <strong>der</strong> linearen Algebra.<br />
Hingegen kann man im Allgemeinen b1, . . . , bt nicht aus {a1, . . . , ak} wählen. Denn<br />
Z = 〈2, 3〉, aber nicht nur von 2 o<strong>der</strong> 3 erzeugt.<br />
Satz 8.5<br />
Sei A eine freie abelsche Gruppe mit Basen a1, . . . , ak <strong>und</strong> b1, . . . , bl. Dann ist k gleich l.<br />
BEWEIS:<br />
Offenbar ist 2A := { 2a | a ∈ A } � A <strong>und</strong> A/2A wird zu einem Vektorraum über dem<br />
Körper K := Z/2Z mit (z + 2Z)(a + 2a) := za + 2A mit z ∈ Z <strong>und</strong> a ∈ A. Diese Definition<br />
ist wohldefiniert, wie man schnell nachrechnet. Wir behaupten, dass a1 +2A, . . . , ak +2A<br />
eine K-Basis von A/2A bilden. Sicher wird A/2A von a1 + 2A, . . . , ak + 2A aufgespannt.<br />
Seien z1, . . . , zk ∈ Z mit 0 = (z1 + 2Z)(a1 + 2A) + · · · + (zk + 2Z)(ak + 2A) = z1a1 +<br />
· · · + zkak + 2A. Dann ist x := z1a1 + · · · + zkak ∈ 2A, d. h. x = 2y <strong>für</strong> ein y ∈ A.<br />
Schreibe y = y1a1 + · · · + ykak mit y1, . . . , yk ∈ Z. Dann ist 0 = x − 2y = (x1 − 2y1)a1 +<br />
· · · + (zk − 2yk)ak, also zi = 2yi. Somit ist zi + 2Z = 0 <strong>für</strong> i = 1, . . . , n. Damit ist<br />
gezeigt, dass a1 + 2A, . . . , ak + 2A eine K-Basis von A/2A bilden. Analog bilden auch<br />
b1 +2A, . . . , bl +2A eine K-Basis von A/2A. Nach den Aussagen aus <strong>der</strong> linearen Algebra<br />
ist dann k = l. �<br />
Definition 8.3 (Rang)<br />
Es heißt k = rg(A) <strong>der</strong> Rang von A.<br />
Satz 8.6<br />
Sei A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Dann ist T(A) endlich <strong>und</strong> A = T(A) ⊕ F<br />
mit einer freien abelschen Untergruppe F � A.<br />
BEWEIS:<br />
Da A/T(A) endlich erzeugt <strong>und</strong> torsionsfrei ist, ist A/T(A) nach Satz 8.4 eine freie<br />
abelsche Gruppe. Nach dem Satz 8.3 ist A = T(A) ⊕ F <strong>für</strong> ein F � A. Insbeson<strong>der</strong>e ist<br />
F ∼ = A/T(A) freie abelsche Gruppe. Außerdem ist T(A) ∼ = A/F endlich erzeugt, etwa<br />
T(A) = 〈t1, . . . , tl〉. Mit ki := |〈ti〉| < ∞ ist also T(A) = { z1t1 + · · · + zltl | 0 � zi < ki }<br />
endlich. �<br />
48
Bemerkung 8.5<br />
Wegen F ∼ = A/T(A) ist F durch A bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Insbeson<strong>der</strong>e<br />
ist <strong>der</strong> Rang von F durch A eindeutig bestimmt. Dagegen ist F selbst i. A. nicht eindeutig<br />
bestimmt.<br />
Satz 8.7<br />
Sei A eine abelsche Gruppe <strong>der</strong> Ordnung n < ∞ <strong>und</strong> n = p k1<br />
1 · . . . · pkr r die Primfaktor-<br />
� �<br />
�<br />
zerlegung von n. Dann ist A = A1 ⊕ . . . ⊕ Ar mit Ai := a ∈ A � p ki<br />
�<br />
i a = 0 � A <strong>für</strong><br />
i = 1, . . . , r.<br />
BEWEIS:<br />
Für a ∈ A gilt: m := |〈a〉| | n. Daher existiert eine Primfaktorzerlegung m = p l1<br />
1 · . . . · plr r<br />
mit l1 � k1, . . . , lr � kr. Für i = 1, . . . , r sei mi := m/p l i<br />
i . Dann ist |〈mia〉| = p li<br />
i .<br />
Nach LAGRANGE ist die Ordnung <strong>der</strong> Untergruppe 〈m1a, . . . , mra〉 von 〈a〉 teilbar durch<br />
p l1<br />
1 , . . . , plr r , also auch durch m. Folglich ist a ∈ 〈a〈= 〈m1a, . . . , mra〉 ∈ A1 + · · · + Ar.<br />
Damit ist gezeigt, dass A = A1 + · · · + Ar.<br />
Sei x1 ∈ A1∩(A1+· · ·+Ar). Wir schreiben x1 = x2+· · ·+xr mit x2 ∈ A2, . . . , xr ∈ Ar. Für<br />
i = 1, . . . , r ist p ki<br />
i xi = 0 <strong>und</strong> es folgt mit n1 := p k2<br />
2 · . . . · pkr r : n1x1 = n1x2 + · · · + n1xr =<br />
0 = p1k1x1. Daher ist die Ordnung von 〈x1〉 ein Teiler des größten gemeinsamen Teilers<br />
von n1 <strong>und</strong> p k1<br />
1 . Dieser ist aber 1, d. h. x1 = 0. Also A1 ∩ (A2 + · · · + Ar) = 0. Aus<br />
Symmetriegründen folgt somit A = A1 ⊕ . . . ⊕ Ar. �<br />
Satz 8.8<br />
Seien p ∈ P, k ∈ N <strong>und</strong> A eine endliche abelsche Gruppe mit p k a = 0 <strong>für</strong> alle a ∈ A. Dann<br />
existieren endlich viele natürliche Zahlen t1, . . . , ts mit A ∼ = (Z/p t1Z) × . . . × (Z/p ts Z).<br />
BEWEIS:<br />
Aus <strong>der</strong> Voraussetzung folgt leicht, dass <strong>für</strong> alle a ∈ A gilt: |〈a〉| | pk . Sei a1 ∈ A <strong>der</strong>art,<br />
dass pt1 = |〈a1〉| maximal ist. Dann erfüllt B := A/〈a1〉 die gleichen Voraussetzungen<br />
wie A. Aber |B| < |A|. Wir verwenden jetzt eine Induktion nach <strong>der</strong> Gruppenordnung.<br />
Daher können wir annehmen, dass B ∼ = (Z/pt2Z) × . . . × (Z/ptsZ) mit t2, . . . , ts ∈ N.<br />
Also existieren Elemente b2 = b2/〈a1〉, . . . , bs = bs/〈a1〉 ∈ B = A/〈a1〉 <strong>der</strong> Ordnungen<br />
pt2, . . . , pts mit B = 〈b2〉 ⊕ . . . ⊕ 〈bs〉. Für i = 2, . . . , s ist 0 = ptibi = ptibi + 〈a1〉,<br />
d. h. ptibi mit in <strong>der</strong> Gruppe 〈a1〉 liegen. Wir schreiben ptibi = zia1 mit zi ∈ Z. Wegen<br />
pt1bi = pt1bi + 〈a1〉 = 0 ist ti � t1 <strong>und</strong> 0 = pt1bi = pt1−tiptibi = pt1−tizia1. Daher<br />
ist zi durch pti teilbar, etwa zi = ptiyi. Also: 0 = ptibi − ptiyia1 = pti(bi − yia1)<br />
<strong>und</strong><br />
ai + 〈a1〉 = bi + 〈a1〉. Ferner gilt: |〈ai〉| = p ti.<br />
� �� �<br />
=: ai<br />
Wegen A/〈a1〉 = 〈b2, . . . , bs〉 = 〈a2 + 〈a1〉, . . . , as + 〈a1〉〉 ist A = 〈a1, a2, . . . , as〉. Die<br />
Abbildung f: Z/p t1Z×. . . Z/p ts Z → A mit (x1 +p t1Z, . . . , xs +p ts Z) ↦→ x1a1 +· · ·+xsas<br />
ist wohldefiniert <strong>und</strong> ein surjektiver Homomorphismus (Epimorphismus). Dabei gilt:<br />
|A| = |A/〈a1〉| · |〈a1〉| = p t2 · . . . · p ts p t1 = |Z/p t1Z × . . . × Z/p ts Z|. Also ist f bijektiv, d. h.<br />
ein Isomorphismus. �<br />
49
8. Abelsche Gruppen<br />
Bemerkung 8.6<br />
Für t ∈ N sind Z/p t Z, pZ/p t Z, p 2 Z/p t Z, . . . , p t Z/p t Z = 0 die einzigen Untergruppen<br />
von Z/p t Z. Es existieren also keine echten Untergruppen H1, H2 mit Z/p t Z = H1 ⊕<br />
H2, d. h. Z/p t Z ist unzerlegbar. Nach dem Satz von KRULL-REMAK-SCHMIDT sind also<br />
Z/p t1Z, . . . , Z/p ts Z in Satz 8.8 bis auf Isomorphie eindeutig. Daher sind t1, . . . , ts durch<br />
A eindeutig bestimmt.<br />
Beispiel 8.2<br />
Bis auf Isomorphie existiert genau eine abelsche Gruppe <strong>der</strong> Ordnung 2, nämlich Z/2Z,<br />
genau zwei abelsche Gruppen <strong>der</strong> Ordnung 4, nämlich Z/4Z <strong>und</strong> Z/2Z×Z/2Z, genau drei<br />
abelsche Gruppen <strong>der</strong> Ordnung 8, nämlich Z/8Z, Z/4Z×Z/2Z <strong>und</strong> Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z<br />
sowie genau fünf Gruppen <strong>der</strong> Ordnung 16 usw.<br />
Satz 8.9 (Hauptsatz über endlich erzeugte Gruppen)<br />
Jede endlich erzeugte Gruppe ist zu einem direkten Produkt endlich vieler zyklischer<br />
Gruppen isomorph, die entwe<strong>der</strong> endlich sind o<strong>der</strong> Primzahlpotenzordnung haben. Die<br />
dabei auftretenden Faktoren sind bis auf Isomorphie <strong>und</strong> Reihenfolge eindeutig bestimmt.<br />
BEWEIS:<br />
Es folgt aus den vorigen Aussagen in Satz 8.6, Satz 8.7 <strong>und</strong> Satz 8.8. �<br />
50
9. Auflösbare Gruppen<br />
Definition 9.1 (Kommutator)<br />
Für Elemente x <strong>und</strong> y einer Gruppe G heißt [x, y] := xyx −1 y −1 Kommutator von x <strong>und</strong><br />
y.<br />
Bemerkung 9.1<br />
(i) In manchen Büchern definiert man [x, y] als x −1 y −1 xy.<br />
(ii) Wegen [x, y] = 1 ⇔ xy = yx misst <strong>der</strong> Kommutator in gewisser Weise die Abweichung<br />
von <strong>der</strong> Vertauschbarkeit. Ferner gilt: xy = [x, y]yx <strong>und</strong> [x, y] −1 = [y, x].<br />
(iii) Für jeden Gruppenhomomorphismus f: G → H gilt: f([x, y]) = [f(x), f(y)] <strong>für</strong> alle<br />
x, y ∈ G.<br />
(iv) Für x, y, z ∈ G gilt ein schwacher Ersatz <strong>für</strong> die Bilinearität aus <strong>der</strong> linearen<br />
Algebra: [xy, z] = xyzy −1 x −1 z −1 = x[y, z]zx −1 z −1 = x[y, z]x −1 [x, z] <strong>und</strong> [x, yz] =<br />
xyzx −1 z −1 y −1 = xyx −1 [x, z]y −1 = [x, y]y[x, z]y −1 .<br />
Definition 9.2 (rechtsnormierter höherer Kommutator)<br />
Für Elemente x1, . . . , xn einer Gruppe G definiert man induktiv den (rechtsnormierten)<br />
höheren Kommutator [x1, . . . , xn] := [x1, [x2, . . . , xn]].<br />
Bemerkung 9.2<br />
(i) Manche Bücher bevorzugen linksnormierte Kommutatoren.<br />
(ii) Für x, y, z ∈ G gilt dann: [xy, z] = [x, y, z][y, z][x, z] <strong>und</strong> [x, yz] = [x, y][y, x, z][x, z].<br />
(iii) Die folgende Aussage hat Ähnlichkeit mit <strong>der</strong> JACOBI-Identität <strong>für</strong> Lie-Algebren.<br />
Satz 9.1<br />
Für Elemente x, y, z ∈ G gilt stets die WITT-Identität:<br />
BEWEIS:<br />
Wegen<br />
(y[x, y −1 , z]y −1 )(z[y, z −1 , x]z −1 )(x[z, x −1 , y]x −1 ) = 1<br />
y[x, y −1 , z]y −1 = yx[y −1 , z]x −1 [z, y −1 ]y −1 = yxy −1 zyz −1 x −1 zy −1 z −1 yy −1<br />
z[y, z −1 , x]z −1 = zy[z −1 , x]y −1 [x, z −1 ]z −1 = zyz −1 xzx −1 y −1 xz −1 x −1 zz −1<br />
x[z, x −1 , y]x −1 = xz[x −1 , y]z −1 [y, x −1 ]x −1 = xzx −1 yxy −1 z −1 yx −1 y −1 xx −1<br />
51
9. Auflösbare Gruppen<br />
gilt, dass sich die linke Seite <strong>der</strong> Gleichung durch folgendes zusammensetzt:<br />
(yxy −1 zyz −1 x −1 zy −1 z −1 ) · (zyz −1 xzx −1 y −1 xz −1 x −1 ) · (xzx −1 yxy −1 z −1 yx −1 y −1 )<br />
Wie man leicht nachprüft, entspricht das Produkt dem gewünschten Ergebnis. �<br />
Definition 9.3 (Kommutator zweier Teilmengen)<br />
Für jede Gruppe G <strong>und</strong> Teilmengen A, B ⊆ G sei [A, B] := 〈[a, b]: a ∈ A, b ∈ B〉 <strong>der</strong><br />
Kommutator zweier Teilmengen.<br />
Bemerkung 9.3<br />
(i) [A, B] = [B, A]<br />
(ii) Für jeden Gruppenhomomorphismus f: G → H ist f([A, B]) = [f(A), f(B)]. Sind A<br />
<strong>und</strong> B normale o<strong>der</strong> charakteristische Untergruppen von G, so ist <strong>der</strong> Kommutator<br />
eine normale o<strong>der</strong> charakteristische Untergruppe von G.<br />
(iii) [A, B] = 1 ⇔ ∀a ∈ A ∀b ∈ B: ab = ba<br />
Satz 9.2<br />
Für Untergruppen A <strong>und</strong> B einer Gruppe G gilt stets:<br />
(i) [A, B] � 〈A, B〉.<br />
(ii) [A, B] � A ⇔ ∀b ∈ B: bAb −1 ⊆ A. Man sagt hierzu, dass das A von B normalisiert<br />
wird.<br />
BEWEIS:<br />
(i) Für beliebige a, a ′ ∈ A, b ∈ B gilt nach Bemerkung 9.1 (iv):<br />
a[a ′ , b]a −1 = aa ′ b(a ′ ) −1 b −1 a −1 = aa ′ b(a ′ ) −1 a −1 b −1 bab −1 a −1<br />
= [aa ′ , b][a, b] −1 ∈ [A, B]<br />
Also gilt auch: a[A, B]a −1 ⊆ [A, B]. Analog ist b[A, B]b −1 ⊆ [A, B].<br />
(ii) [A, B] � A ⇒ ∀a ∈ A ∀b ∈ B: aba −1 b −1 ∈ A ⇔ ∀a ∈ A ∀b ∈ B: ba −1 b −1 ∈ A ⇔<br />
∀b ∈ B: bAb −1 ⊆ A. �<br />
Definition 9.4<br />
Für jede Gruppe G <strong>und</strong> beliebige Teilmengen X1, . . . , Xn ⊆ G definiert man induktiv:<br />
[X1, . . . , Xn] := [X1, [X2, . . . , Xn]]<br />
Bemerkung 9.4<br />
(i) [X1, . . . , Xn] enthält alle Elemente <strong>der</strong> Form [x1, . . . , xn] mit x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn.<br />
Aber es wird nicht unbedingt von diesen erzeugt.<br />
52<br />
(ii) Für jeden Gruppenhomomorphismus f: G → H haben wir die Gleichheit von<br />
f([X1, . . . , Xn]) <strong>und</strong> [f(X1), . . . , f(Xn)].
Satz 9.3<br />
Für Untergruppen A, B, C einer Gruppe G gilt stets:<br />
(i) [A, B] � A ∧ [C, B] � C ⇒ [A, BC] = [A, B][B, C].<br />
(ii) [A, B, C] = 1 = [B, C, A] ⇒ [C, A, B] = 1. Dies wird auch als 3-Untergruppen-<br />
Lemma bezeichnet.<br />
BEWEIS:<br />
(i) Aus <strong>der</strong> Voraussetzung folgt, dass BC = CB nach dem Satz 9.2 (ii), d. h. BC �<br />
G. Ferner ist [A, C] � 〈A, C〉. Insbeson<strong>der</strong>e bedeutet das: x[A, C]x−1 = [A, C]<br />
<strong>für</strong> x ∈ [A, B] � A. Daher [A, B][A, C] = [A, C][A, B] � G. Ferner: [a, bc] =<br />
[a, b]b[a, c]b−1 = [a, b][bab −1<br />
� �� �,<br />
bcb<br />
∈A<br />
−1<br />
� �� �]<br />
∈ [A, B][A, C] <strong>für</strong> a ∈ A, b ∈ B <strong>und</strong> c ∈ C.<br />
∈C<br />
Folglich gilt: [A, BC] ⊆ [A, B][A, C].<br />
Umgekehrt: [A, B] ⊆ [A, BC] <strong>und</strong> [A, C] ⊆ [A, BC], also auch [A, B][A, C] ⊆ [A, BC].<br />
(ii) Aus <strong>der</strong> Voraussetzung folgt wegen <strong>der</strong> WITT-Identität: [c, [a, b]] = 1 <strong>für</strong> a ∈ A, b ∈<br />
B, c ∈ C. Folglich ist jedes c ∈ C mit jedem x ∈ [A, B] vertauschbar. Daher gilt:<br />
[C, [A, B]] = 1. �<br />
Definition 9.5 (Kommutatorgruppe)<br />
Für jede Gruppe G heißt G ′ := [G, G] = 〈[g, h]: g, h ∈ G〉 die Kommutatorgruppe von<br />
G. Ist G ′ = G, dann heißt die Gruppe perfekt.<br />
Bemerkung 9.5<br />
Für jeden Gruppenhomomorphismus f: G → H ist f(G ′ ) = f(G) ′ � H ′ . Insbeson<strong>der</strong>e ist<br />
G ′ ⊆ G vollinvariant <strong>und</strong> damit auch charakteristisch <strong>und</strong> normal.<br />
Satz 9.4<br />
Für jede Untergruppe H von G sind äquivalent: (1) G ′ ⊆ H sowie (2) H � G <strong>und</strong> G/H<br />
abelsch.<br />
BEWEIS:<br />
Wir betrachten zunächst die Richtung von (1) nach (2): Sei G ′ ⊆ H. Dann folgt: ghg−1 =<br />
[g, h]<br />
� �� �<br />
∈G ′<br />
h ∈ H. Folglich: H � G. Für x, y ∈ G ist ferner 1 = [x, y]H = [xH, yH], d. h.<br />
(xH)(yH) = (yH)(xH).<br />
Sei nun die Bedingung (2) erfüllt: Für x, y ∈ G ist dann: [x, y]H = [xH, yH] = 1, d. h.<br />
[x, y] ∈ H. Folglich ist G ′ ⊆ H. �<br />
Beispiel 9.1<br />
Wir werden später zeigen, dass „meist“ GL(n, K) ′ = SL(n, K) gilt.<br />
Definition 9.6<br />
Die höheren Kommutatorgruppen einer Gruppe G definiert man induktiv:<br />
G (0) := G, G (1) := G ′ , G (2) := (G ′ ) ′ = G ′′ = [G ′ , G ′ ], . . . , G (i+1) := [G (i) , G (i) ]<br />
53
9. Auflösbare Gruppen<br />
Bemerkung 9.6<br />
(i) Für jeden Gruppenhomomorphismus f: G → H <strong>und</strong> jede natürliche Zahl i ist<br />
f(G (i) ) = f(G) (i) � H (i) . Insbeson<strong>der</strong>e ist G (i) � G vollinvariant.<br />
(ii) Für U � G <strong>und</strong> i ∈ N0 folgt, U (i) � G (i) .<br />
(iii) Offenbar ist G = G (0) � G (1) � G (2) � · · · . Wir setzen G (∞) := �<br />
i∈N G(i) .<br />
Definition 9.7 (Auflösbare Gruppe)<br />
Eine Gruppe G mit G (n) = 1 <strong>für</strong> ein n ∈ N0 heißt auflösbar. Gegebenenfalls heißt das<br />
kleinste s ∈ N0 mit G (s) = 1 die Auflösbarkeitsstufe von G.<br />
Bemerkung 9.7<br />
(i) Folgende Äquivalenzen gelten:<br />
s = 0 ⇔ G = 1<br />
s � 1 ⇔ G ′ = 1 ⇔ G abelsch<br />
s � 2 ⇔ G ′′ = 2 ⇔ G metaabelsch<br />
(ii) Untergruppen <strong>und</strong> Faktorgruppen von auflösbaren Gruppen sind auflösbar.<br />
(iii) Für auflösbare Gruppen G, H ist auch G×H auflösbar. Denn (G×H) (i) = G (i) ×H (i)<br />
<strong>für</strong> i ∈ N0.<br />
(iv) Sind M, N�G <strong>und</strong> G/M, G/N auflösbar, so ist auch G/M∩N auflösbar. Denn nach<br />
<strong>der</strong> Bemerkung 5.4 ist G/M ∩ N zu einer Untergruppe von G/M × G/N isomorph.<br />
(v) Ist G auflösbar <strong>der</strong> Stufe s, so ist G = G (0) � G (1) � . . . � G (s) = 1 eine Normalreihe<br />
mit abelschen Faktoren.<br />
Satz 9.5<br />
Für jede Gruppe G sind äquivalent:<br />
(i) G auflösbar.<br />
(ii) G hat eine Normalreihe mit abelschen Faktoren.<br />
(iii) G hat eine Subnormalreihe G = G0 � G1 � . . . � Gt = 1 mit abelschen Faktoren.<br />
BEWEIS:<br />
Die Richtung von Aussage 1 zu Aussage 2 folgt nach <strong>der</strong> obigen Bemerkung. Die von<br />
2 nach 3 ist trivial. So bleibt nur noch die Richtung von 3 zu 1 zu zeigen: Wir nehmen<br />
an, dass die Voraussetzung erfüllt ist. Dann zeigen wir induktiv: G (i) � Gi <strong>für</strong> i ∈ N0.<br />
Die Aussage ist <strong>für</strong> i = 0 klar. Sei also i > 0 <strong>und</strong> G (i−1) � Gi−1. Da Gi � Gi−1 <strong>und</strong><br />
Gi−1/Gi abelsch ist, folgt aus Satz 9.4: G (i) = (G (i−1) ) ′ � G ′ i−1 � Gi. Am Schluss ist<br />
also G (t) � Gt = 1. �<br />
54
Beispiel 9.2<br />
Für n ∈ N <strong>und</strong> jeden Körper K ist die Gruppe B(n, K) aller oberen Dreiecksmatrizen in<br />
GL(n, K) auflösbar.<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
∗ . . . ∗<br />
. ..<br />
. ⎟<br />
. ⎟<br />
⎠<br />
0 ∗<br />
Satz 9.6<br />
Für jede Gruppe G <strong>und</strong> N�G gilt: G ist genau dann auflösbar, wenn N <strong>und</strong> G/N auflösbar<br />
sind.<br />
BEWEIS:<br />
Wir müssen nur die Rückrichtung zeigen. Denn die an<strong>der</strong>e Richtung wurde bereits in<br />
Bemerkung 9.7 (ii) gezeigt. Seien N <strong>und</strong> G/N auflösbar. Dann existieren s, t ∈ N0 mit<br />
N (i) = 1 <strong>und</strong> 1 = (G/N) (t) = G (t) N/N. Folglich: G (t) � N <strong>und</strong> G (t+s) � N (s) = 1. �<br />
Bemerkung 9.8<br />
Für auflösbare Normalteiler M, N einer Gruppe G ist auch MN ein auflösbarer Normalteiler<br />
von G. Dies folgt aus dem Satz wegen MN/N ∼ = M/M ∩ N. Ist G endlich, so ist also<br />
das Produkt aller auflösbaren Normalteiler ein auflösbarer Normalteiler von G. Dieser<br />
heißt auflösbares Radikal von G.<br />
Satz 9.7<br />
Für jede endliche Gruppe G sind äquivalent:<br />
(i) G ist auflösbar.<br />
(ii) Je<strong>der</strong> Kompositionsfaktor von G ist zu Z/pZ <strong>für</strong> ein p ∈ P isomorph.<br />
(iii) Je<strong>der</strong> Hauptfaktor von G ist zu (Z/pZ) n <strong>für</strong> geeignete p ∈ P <strong>und</strong> natürliche n<br />
isomorph.<br />
BEWEIS:<br />
Die Richtungen (ii)⇒(i) <strong>und</strong> (iii)⇒(i) folgen nach Satz 9.5. Also zeigen wir zuerst<br />
(i)⇒(ii): Sei G auflösbar mit <strong>der</strong> Kompositionsreihe G = G0 � G1 � . . . � Gl = 1. Für<br />
i = 1, . . . , l ist dann Si := Gi−1/Gi auflösbar <strong>und</strong> einfach. Daher S ′ i � Si 1 , also S ′ i<br />
d. h. Si abelsch. Sei 1 �= x ∈ Si. Dann ist 1 �= 〈x〉 � Si, also Si = 〈x〉 zyklisch. Da Si<br />
einfach ist, folgt, pi := |Si| ∈ P. Folglich: Si ∼ = Z/piZ.<br />
Nun bleibt noch die Richtung (i)⇒(iii): Sei dazu G auflösbar mit Hauptreihe G = G0 �<br />
G1 � . . . � Gl = 1. Für i = 1, . . . , l ist dann Ti := Gi−1/Gi auflösbar <strong>und</strong> charakteristisch<br />
einfach. Nach Satz 7.3 ist Ti ∼ = S ni<br />
i <strong>für</strong> eine auflösbar einfache Gruppe Si <strong>und</strong> ein<br />
natürliches ni. Wie oben ist Si ∼ = Z/piZ <strong>für</strong> eine Primzahl pi. �<br />
Bemerkung 9.9<br />
Man hat die folgenden Auflösbarkeitskriterien:<br />
1 Sonst wäre S ′′<br />
i = S ′ i = Si usw.<br />
= 1,<br />
55
9. Auflösbare Gruppen<br />
56<br />
(i) BURNSIDEs p a q b -Satz von 1904: Für p, q ∈ P <strong>und</strong> a, b ∈ N0 ist jede Gruppe <strong>der</strong><br />
Ordnung p a q b auflösbar.<br />
(ii) Satz von FEIT-THOMPSON von 1963: Gruppen ungera<strong>der</strong> Ordnung sind stets auflösbar.<br />
Der Beweis des Satzes umfasst etwa 250 Seiten.
10. Nilpotente Gruppen<br />
Definition 10.1<br />
Für n ∈ N <strong>und</strong> jede Gruppe G definiert man induktiv:<br />
Bemerkung 10.1<br />
(i) n ∈ N ⇒ G n = [G, . . . , G]<br />
(ii) n ∈ N ∧ U � G ⇒ U n � G n<br />
G 1 := G G 2 := [G, G] G n+1 := [G, G n ]<br />
(iii) n ∈ N ∧ f: G → H Gruppenhomomorphismus ⇒ f(G n ) = f(G) n � H n . Insbeson<strong>der</strong>e<br />
ist G n vollinvariant in G.<br />
(iv) Nach dem obigen Punkt ist jeweils G n � G, also G n+1 � G n nach dem Satz 9.2.<br />
Wir erhalten so eine Folge vollinvarianter Untergruppen G = G 1 � G 2 � G 3 � · · · .<br />
Diese wird als absteigende Zentralfolge von G bezeichnet. Wir setzen G ∞ :=<br />
�<br />
i∈N Gi .<br />
(v) n ∈ N ⇒ [G/G n+1 , G n /G n+1 ] = [G, G n ]G n+1 /G n+1 = G n+1 /G n+1 = 1 ⇒<br />
G n /G n+1 � Z(G/G n+1 ). Dies erklärt den Begriff „Zentralfolge“.<br />
Satz 10.1<br />
Für 1 �= n ∈ N <strong>und</strong> jede Gruppe G gilt:<br />
G n = 〈[g1, . . . , gn]: g1, . . . , gn ∈ G〉<br />
BEWEIS:<br />
Wir führen Induktion nach n durch. Für die Fälle n = 1 <strong>und</strong> n = 2 ist alles klar <strong>und</strong><br />
nichts zu tun. Daher sei Œ n � 3. Offenbar ist N := 〈[g1, . . . , gn]: g1, . . . , gn ∈ G〉 � G<br />
<strong>und</strong> N � G n . Nach Induktion dürfen wir G n−1 = 〈[g2, . . . , gn]: g2, . . . , gn ∈ G〉 voraussetzen.<br />
Dann ist G n−1 /N = 〈[g2, . . . , gn]N: g2, . . . , gn ∈ G〉 <strong>und</strong> <strong>für</strong> g1, . . . , gn ∈ G gilt:<br />
[g1N, [g2, . . . , gn]N] = [g1, [g2, . . . , gn]N] = [g1, g2, . . . , gnN] = 1. Folglich: G n−1 /N �<br />
Z(G/N) <strong>und</strong> G n /N = [G, G n−1 ]/N = [G/N, G n−1 /N] = 1, d. h. G n = N. �<br />
Satz 10.2<br />
Für m, n ∈ N <strong>und</strong> jede Gruppe G gilt:<br />
(i) [G m , G n ] ⊆ G m+n<br />
57
10. Nilpotente Gruppen<br />
(ii) G (n) ⊆ G 2n<br />
BEWEIS:<br />
(i) Wir führen Induktion nach n durch: Für n = 1 ist [G m , G] = [G, G m ] = G m+1 . Sei<br />
also n � 2 <strong>und</strong> die Aussage <strong>für</strong> n − 1 bereits bewiesen. Mit H := G/G m+n gilt<br />
dann:<br />
wegen<br />
<strong>und</strong><br />
[G m , G n ]G m+n /G m+n = [G m /G m+n , G n /G m+n ] = [H m , H n ]<br />
= [H m , [H, H n−1 ]] = 1<br />
[H, [H n−1 , H m ]] = [H, [H m , H n−1 ]] ⊆ [H, H m+n−1 ] = H m+n<br />
= G m+n /G m+n = 1<br />
[H n−1 , [H m , H]] = [[H m , H], H n−1 ] = [[H, H m ], H n−1 ]<br />
= [H m+1 , H n−1 ] ⊆ H m+n = 1<br />
nach dem 3-Untergruppen-Lemma. Also ist [G m , G n ] ⊆ G m+n .<br />
(ii) Auch hier wird <strong>der</strong> Beweis per Induktion nach n geführt. Offenbar ist G (0) = G =<br />
G1 = G20. Sei also n eine natürliche Zahl <strong>und</strong> bereits gezeigt, dass G (n−1) ⊆<br />
G2n−1 gilt. Dann folgt aus <strong>der</strong> obigen Aussage, dass G (n) = [G (n−1 , G (n−1) ] ⊆<br />
[G2n−1 , G2n−1] ⊆ G2n. �<br />
Definition 10.2 (Aufsteigende Zentralfolge)<br />
Für jede Gruppe G definiert man die aufsteigende Zentralfolge induktiv durch:<br />
Z0(G) := 1 Z1(G) := Z2(G) Zi/Zi−1(G) := Z(G/Zi−1(G))<br />
Bemerkung 10.2<br />
(i) Für i ∈ N0 ist Zi(G) ⊆ G charakteristisch. Dies ist <strong>für</strong> i = 0 <strong>und</strong> i = 1 klar. Ist<br />
Zi−1(G) ⊆ G charakteristisch <strong>für</strong> ein i ∈ N0, so induziert jedes α ∈ Aut(G) ein α ∈<br />
Aut(G/Zi−1(G)) mit α(gZi−1(G)) := α(g)Zi−1(G) <strong>für</strong> g ∈ G. Da Z(G/Zi−1(G)) ⊆<br />
G/Zi−1(G) charakteristisch ist, folgt: α(Zi(G)/Zi−1(G)) = Zi(G)/Zi−1(G). Folglich:<br />
α(g) ∈ Zi(G) <strong>für</strong> g ∈ Zi(g).<br />
(ii) 1 = Z0(G) � Z1(G) � Z2(G) � · · · <strong>und</strong> Z∞ := �<br />
i∈N Zi(G) heißt Hyperzentrum<br />
von G. Dann ist Z∞(G) � G eine charakteristische Untergruppe.<br />
Definition 10.3 (Nilpotente Gruppe)<br />
Eine Gruppe G mit Zc(G) = G <strong>für</strong> ein c ∈ N0 heißt nilpotent. Gegebenenfalls heißt das<br />
kleinste c ∈ N0 mit Zc(G) = G die Nilpotenzklasse von G.<br />
58
Bemerkung 10.3<br />
c = 0 ⇔ G = 1 <strong>und</strong> c � 1 ⇔ G abelsch.<br />
Definition 10.4 (Zentralreihe)<br />
Eine Normalreihe G = G0 � G1 � . . . � Gr = 1 einer Gruppe G mit Gi−1/Gi ⊆ Z(G/Gi)<br />
<strong>für</strong> alle i heißt Zentralreihe.<br />
Beispiel 10.1<br />
Ist G nilpotent <strong>der</strong> Klasse c, so ist G = Zc(G) � Zc−1(G) � . . . � Z1(G) � Z0(G) = 1 eine<br />
Zentralreihe, die obere o<strong>der</strong> aufsteigende Zentralreihe von G.<br />
Satz 10.3<br />
Für Untergruppen G0, . . . , Gr einer Gruppe G mit G = G0 ⊇ G1 ⊇ . . . ⊇ Gr = 1 sind<br />
folgenden Aussagen äquivalent:<br />
(1) G = G0 � G1 � . . . � Gr = 1 ist eine Zentralreihe.<br />
(2) [G, Gi−1] ⊆ Gi <strong>für</strong> i = 1, . . . , r.<br />
BEWEIS:<br />
(1)⇒(2) Ist die erste Aussage erfüllt, so gilt <strong>für</strong> alle i:<br />
[G, Gi−1]Gi/Gi = [G/Gi, Gi−1/Gi] = 1, d. h. [G, Gi−1] ⊆ Gi<br />
(2)⇒(1) Für i = 1, . . . , r sei [G, Gi−1] ⊆ Gi ⊆ Gi−1. Nach dem Satz 9.2 (ii) ist<br />
dann Gi−1 � G, d. h. wir haben eine Normalreihe. Ferner ist [G/Gi, Gi−1/Gi] =<br />
[G, Gi−1]Gi/Gi = 1, d. h. Gi−1/Gi ⊆ Z(G/Gi). �<br />
Bemerkung 10.4<br />
Wegen <strong>der</strong> obigen zweiten Aussage ist jede Verfeinerung einer Zentralreihe wie<strong>der</strong> eine<br />
Zentralreihe.<br />
Satz 10.4<br />
Sei G = G0 � G1 � . . . � Gr = 1 eine Zentralreihe einer Gruppe G. Für i = 0, . . . , r ist<br />
dann Gr−i ⊆ Zi(G) <strong>und</strong> G i+1 ⊆ Gi. Insbeson<strong>der</strong>e ist Zr(G) = G <strong>und</strong> G r+1 = 1, d. h. G<br />
ist nilpotent <strong>und</strong> die Klasse von G ist höchstens r.<br />
BEWEIS:<br />
Der Beweis wird per Induktion nach i geführt. Offenbar ist Gr = 1 = Z0(G) <strong>und</strong><br />
G 1 = G = G0. Sei also i > 0 <strong>und</strong> bereits Gr−i+1 ⊆ Zi−1(G) sowie G i ⊆ Gi−1 bewiesen.<br />
Dann haben wir:<br />
Also ist<br />
[G/Zi−1(G), Gr−iZi−1(G)/Zi−1(G)] = [G, Gr−i]Zi−1(G)/Zi−1(G)<br />
⊆ Gr−i+1Zi−1(G)/Zi−1(G) = 1<br />
Gr−iZi−1(G)/Zi−1(G) ⊆ Z(G/Zi−1(G)) = Zi(G)/Zi(G)<br />
59
10. Nilpotente Gruppen<br />
Folglich<br />
Gr−i ⊆ Zi(G)<br />
G i+1 = [G, G i ] ⊆ [G, Gi−1] ⊆ Gi �<br />
Bemerkung 10.5<br />
(i) Nach Satz 10.3 <strong>und</strong> Satz 10.4 ist eine Gruppe G genau dann nilpotent, wenn sie<br />
eine Zentralreihe hat. Gegebenenfalls ist die Klasse von G durch die Länge einer<br />
Zentralreihe beschränkt.<br />
(ii) Für jede nilpotente Gruppe G <strong>der</strong> Klasse c G c+1 = 1. Daher ist G = G 1 � G 2 � . . . �<br />
G c+1 = 1 eine Zentralreihe. Sie wird als untere o<strong>der</strong> absteigende Zentralreihe<br />
von G. Nach <strong>der</strong> ersten Bemerkung ist ferner G c �= 1.<br />
(iii) Eine Gruppe ist also genau dann nilpotent, wenn G s = 1 <strong>für</strong> ein s ∈ N gilt.<br />
(iv) Untergruppen <strong>und</strong> Faktorgruppen einer nilpotenten Gruppe G sind wie<strong>der</strong> nilpotent.<br />
Ihre Klasse ist durch die Klasse von G beschränkt.<br />
(v) Jede nilpotente Gruppe ist auflösbar.<br />
(vi) Die Hauptfaktoren einer endlichen nilpotenten Gruppe G haben Primzahlordnung.<br />
Durch Verfeinerung <strong>der</strong> oberen Zentralreihe erhält man nämlich eine Kompositionsreihe,<br />
die gleichzeitig Zentralreihe ist. Diese ist also insbeson<strong>der</strong>e eine Normalreihe<br />
<strong>und</strong> damit eine Hauptreihe von G. Da G auflösbar ist, haben ihre Faktoren Primzahlordnung.<br />
Beispiel 10.2<br />
(i) Sym(3) ist auflösbar, aber wegen Z(Sym(3)) = 1 nicht nilpotent.<br />
(ii) Eine typische nilpotente Gruppe ist die Untergruppe von GL(n, K), die aus allen<br />
Matrizen <strong>der</strong> Form:<br />
⎛<br />
1<br />
⎞<br />
∗<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
besteht.<br />
Bemerkung 10.6<br />
Für jede Teilmenge X einer Gruppe G ist <strong>der</strong> Normalisator<br />
NG(X) := � g ∈ G � �<br />
� −1<br />
gXg = X<br />
eine Untergruppe von G. Dies rechnet man leicht nach. Ist X � G, so ist X � NG(X).<br />
Satz 10.5<br />
Für jede echte Untergruppe U einer nilpotenten Gruppe G ist U < NG(U).<br />
60
BEWEIS:<br />
Da G nilpotent ist, existiert eine natürliche Zahl n mit G n = 1 ⊆ U. Sei m ∈ N minimal<br />
mit G m ⊆ U. Wegen G 1 = G � U ist m � 2. Wegen [U, G m−1 ] ⊆ [G, G m−1 ] = G m ⊆ U<br />
ist G m−1 ⊆ NG(U) nach dem Satz 9.2 (ii), aber G m−1 � U. �<br />
Satz 10.6<br />
Für jeden Normalteiler N �= 1 einer nilpotenten Gruppe G ist [G, N] < N <strong>und</strong> Z(G) ∩ N �=<br />
1. Insbeson<strong>der</strong>e liegt je<strong>der</strong> minimale Normalteiler einer nilpotenten Gruppe im Zentrum.<br />
BEWEIS:<br />
Wir definieren N1 := N <strong>und</strong> Ni+1 := [G, Ni] <strong>für</strong> i ∈ N. Dann ist Ni � G, Ni � N<br />
<strong>und</strong> Ni ⊆ G i . Da G nilpotent ist, existiert ein m ∈ N mit 1 = G m = Nm. Dann:<br />
N2 = [G, N] < N. Denn im Fall N2 = N wäre auch N3 = [G, N2] = [G, N] = N2 = N etc.<br />
� Sei n eine natürliche Zahl mit Nn = 1 �= Nn−1. Dann ist [G, Nn−1] = Nn = 1, also<br />
Nn−1 ⊆ Z(G) ∩ N. �<br />
Satz 10.7<br />
Für nilpotente Normalteiler A <strong>und</strong> B einer Gruppe G ist auch AB ein nilpotenter Normalteiler<br />
von G. Hat A die Klasse a <strong>und</strong> B die Klasse b, so hat AB höchstens die Klasse a + b.<br />
BEWEIS:<br />
Nach Satz 9.3 (i) gelten <strong>für</strong> L, M, N � G die Aussagen [L, MN] = [L, M][L, N] <strong>und</strong><br />
[LM, N] = [L, N][M, N]. Daraus folgt, dass (AB) a+b+1 ein Produkt von Gruppen <strong>der</strong><br />
Form [H0, . . . , Ha+b] mit H0, . . . , Ha+b ∈ {A, B} ist. Wegen <strong>der</strong> Bemerkung 10.5 (i)<br />
genügt es zu zeigen, dass jede dieser Gruppen trivial ist. Sei also m := |{ i | Hi = A }| <strong>und</strong><br />
n := |{ i | Hi = B }|. Dann ist a + b + 1 = m + n, also m > a o<strong>der</strong> n > b. Sei Œ m > a.<br />
Dann ist [H0, . . . , Ha+b] ⊆ A m ⊆ A a+1 = 1. �<br />
Bemerkung 10.7<br />
Im Allgemeinen ist eine Gruppe G, die einen nilpotenten Normalteiler N mit einer<br />
nilpotenten Faktorgruppe G/N hat, selbst nicht nilpotent.<br />
Beispiel 10.3 � �<br />
1 2 3<br />
G = Sym(3), N = 〈 〉<br />
2 3 1<br />
61
11. Gruppenoperationen<br />
Definition 11.1 (Operation)<br />
Eine Linksoperation einer Gruppe G auf einer Menge Ω ist eine Abbildung G × Ω → Ω<br />
mit (g, ω) ↦→ g ω mit folgenden Eigenschaften:<br />
• 1 ω = ω<br />
• a ( b ω) = ab ω <strong>für</strong> alle a, b ∈ G, ω ∈ Ω. Man sagt auch, G operiert auf Ω o<strong>der</strong> Ω ist<br />
eine G-Menge.<br />
Bemerkung 11.1<br />
(i) Rechtsoperationen definiert man analog als Abbildungen G × Ω → Ω mit (ω, g) ↦→<br />
ω g .<br />
(ii) Man beachte die Analogie zur Multiplikation von Vektoren eines Vektorraums mit<br />
Skalaren eines Körpers.<br />
Beispiel 11.1<br />
(i) Für jede Menge Ω operiert Sym(Ω) auf Ω durch g ω := g(ω). Dabei ist g ∈ Sym(Ω)<br />
<strong>und</strong> ω ∈ Ω.<br />
(ii) Für jeden Körper K <strong>und</strong> jeden K-Vektorraum V operiert<br />
GL(V) = { f: V → V | f linear <strong>und</strong> bijektiv }<br />
auf V durch g v := g(v) mit g ∈ GL(V) <strong>und</strong> v ∈ V.<br />
(iii) Für eine natürliche Zahl n <strong>und</strong> jeden Körper K operiert GL(n, K) auf K n×n durch<br />
A B := ABA −1 .<br />
(iv) Für m, n ∈ N <strong>und</strong> jeden Körper K operiert GL(m, K) × GL(n, K) auf K m×n durch<br />
(A,B) C := ACB −1 <strong>für</strong> A ∈ GL(n, K), B ∈ GL(n, K) <strong>und</strong> C ∈ K m×n .<br />
62<br />
(v) Für eine natürliche Zahl n operiert die orthogonale Gruppe<br />
O(n, R) = � A ∈ R n×n � �<br />
� T<br />
AA = 1n<br />
des Grades n über R auf <strong>der</strong> Menge S aller reellen symmetrischen n × n-Matrizen<br />
durch A B := ABA T .
(vi) Analog operiert die unitäre Gruppe<br />
�<br />
U(n, C) = A ∈ C n×n<br />
�<br />
�<br />
� AA T �<br />
= 1n<br />
des Grades n über C auf <strong>der</strong> Menge H aller hermiteschen n × n-Matrizen B = B T<br />
durch A B := ABA T .<br />
Satz 11.1<br />
Für jede Gruppe G, jede G-Menge Ω <strong>und</strong> g ∈ G ist τg : Ω → Ω mit ω ↦→ g ω bijektiv, d. h.<br />
τg ∈ Sym(Ω). Außerdem ist τ: G → Sym(G) mit g ↦→ τg ein Homomorphismus.<br />
BEWEIS:<br />
Für a, b ∈ G, ω ∈ Ω ist (τa ◦ τb)(ω) = a ( b ω) = ab ω = τab(ω) <strong>und</strong> τ1(ω) = 1 ω = ω.<br />
Daher gilt: τa ◦ τb = τab <strong>und</strong> τ1 = idΩ. Insbeson<strong>der</strong>e τa ◦ τ a −1 = τ aa −1 = τ1 = idΩ <strong>und</strong><br />
analog τ a −1 ◦ τa = idΩ. Folglich ist τa bijektiv. Ferner ist τ ein Homomorphismus. �<br />
Bemerkung 11.2<br />
Nach Satz 11.1 induziert jede Operation einer Gruppe G einen Homomorphismus G →<br />
Sym(G). Wir zeigen jetzt umgekehrt, dass je<strong>der</strong> Homomorphismus G → Sym(G) eine<br />
Operation von G auf Ω induziert. Man sieht sofort, dass beide Prozesse zueinan<strong>der</strong> invers<br />
sind.<br />
Satz 11.2<br />
Seien G eine Gruppe, Ω eine Menge <strong>und</strong> <strong>und</strong> τ: G → Sym(G) ein Homomorphismus.<br />
dann erhält man durch g ω := (τ(g))(ω) eine Operation von G auf Ω. Dabei sind g ∈ G<br />
<strong>und</strong> ω ∈ Ω.<br />
BEWEIS:<br />
Da τ ein Homomorphismus ist, ist τ(1) = 1 Sym(Ω) = idΩ. Daher ist 1 ω = (τ(1))(ω) =<br />
idΩ(ω) = ω <strong>und</strong> a ( b ω) = (τ(a))((τ(b))(ω)) = (τ(a) ◦ τ(b))(ω) = (τ(ab))(ω) = ab ω<br />
<strong>für</strong> ω ∈ Ω <strong>und</strong> a, b ∈ G. �<br />
Definition 11.2<br />
Seien G eine Gruppe, Ω eine G-Menge <strong>und</strong> τ: G → Sym(G) <strong>der</strong> entsprechende Homomorphismus.<br />
Dann heißt<br />
ker(τ) := { g ∈ G | τg = idΩ } = { g ∈ G | g ω = ω <strong>für</strong> ω ∈ Ω }<br />
<strong>der</strong> Kern <strong>der</strong> Operation. Ist ker τ = G, d. h. g ω = ω <strong>für</strong> alle g ∈ G, ω ∈ Ω, so heißt<br />
die Operation trivial. Ist ker τ = 1, d. h. τ ist injektiv, so heißt die Operation treu.<br />
Gegebenenfalls gilt: G ∼ = τ(G) � Sym(Ω).<br />
Satz 11.3 (Satz von CAYLEY)<br />
Jede Gruppe G ist zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe isomorph.<br />
BEWEIS:<br />
Durch g ω := gω wird G zu einer G-Menge <strong>für</strong> g, ω ∈ G. Diese ist treu. Denn aus g ω = ω<br />
<strong>für</strong> alle g ∈ G folgt g = 1. Mit den obigen Bezeichnungen ist: G ∼ = τ(G) � Sym(Ω). �<br />
63
11. Gruppenoperationen<br />
Satz 11.4<br />
Seien G eine Gruppe <strong>und</strong> Ω eine G-Menge. Für α, β ∈ Ω schreiben wir α ∼ β, falls ein<br />
g ∈ G mit g α = β existiert. Dann ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf Ω.<br />
BEWEIS:<br />
Die Reflexivität α ∼ α erhalten wir durch 1 α = α. Für die Symmetrie sei g ∈ G. Dann<br />
ist auch g−1 ∈ G mit g−1β<br />
= g−1(<br />
gα) = g−1gα = α. Schließlich seien g, h ∈ G mit gα = β<br />
<strong>und</strong> hβ = γ. Dann ist hg ∈ G mit hgα = h ( gα) = hβ = γ. Somit haben wir auch die<br />
Transitivität. �<br />
Bemerkung 11.3<br />
Für α ∈ Ω ist die Bahn OrbG(α) := { gα | g ∈ G } die Äquivalenzklasse von α bezüglich<br />
∼. Man bezeichnet mit |OrbG(α)| die Länge <strong>der</strong> Bahn von α. Aus allgemeinen Tatsachen<br />
über Äquivalenzrelationen folgt, dass Ω die disjunkte Vereinigung <strong>der</strong> verschiedenen<br />
Bahnen von G auf Ω ist. Für jedes Repräsentantensystem R dieser Bahnen gilt also die<br />
Bahnengleichung:<br />
Ω = ·∪α∈R OrbG(α) |Ω| = �<br />
|OrbG(α)|<br />
Beispiel 11.2<br />
(i) Für eine natürliche Zahl n <strong>und</strong> jeden Körper K liegen zwei Matrizen aus K n×n<br />
genau dann in <strong>der</strong> gleichen Bahn unter <strong>der</strong> Operation von GL(n, K) auf K n×n<br />
durch A B := ABA −1 mit A ∈ GL(n, K), B ∈ K n×n , wenn sie ähnlich im Sinne <strong>der</strong><br />
linearen Algebra sind.<br />
(ii) Für m, n ∈ N <strong>und</strong> jeden Körper K liegen zwei Matrizen aus K m×n genau dann<br />
in <strong>der</strong> gleichen Bahn unter <strong>der</strong> Operation von GL(m, K) × GL(n, K) auf K m×n<br />
durch (A,B) C = ACB −1 mit A ∈ GL(m, K), B ∈ GL(n, K) <strong>und</strong> C ∈ K m×n , wenn sie<br />
äquivalent im Sinne <strong>der</strong> linearen Algebra sind.<br />
Definition 11.3 (Stabilisator)<br />
Für jede Gruppe G, jede G-Menge Ω <strong>und</strong> ω ∈ Ω ist <strong>der</strong> Stabilisator von ω in G gegeben<br />
durch StbG(ω) := Gω := { g ∈ G | g ω = ω }.<br />
Satz 11.5<br />
In dieser Situation gilt:<br />
(i) StbG(ω) � G<br />
(ii) x ∈ G ⇒ StbG( x ω) = x StbG(ω)x −1<br />
(iii) Die Abbildung f: G/ StbG(ω) → OrbG(ω) mit g StbG(ω) ↦→ g ω ist bijektiv. Insbeson<strong>der</strong>e<br />
ist |OrbG(ω)| = |G: StbG(ω)|. Im Fall |G| < ∞ ist also jede Bahnlänge ein<br />
Teiler von |G|.<br />
BEWEIS:<br />
(i) Wegen 1 ω = ω ist 1 ∈ StbG(ω) <strong>und</strong> <strong>für</strong> a, b ∈ StbG(ω) ist ab −1 ∈ StbG(ω).<br />
64<br />
Schließlich gilt: ab−1ω<br />
= ab−1(<br />
bω) = aω = ω.<br />
α∈R
(ii) g ∈ StbG(ω)( x ω) ⇔ gx ω = x ω ⇔ x−1 gx ω = ω ⇔ x −1 gx ∈ StbG(ω) ⇔ g ∈<br />
x StbG(ω)x −1 .<br />
(iii) Für g, h ∈ G gilt: g ω = h ω ⇔ g−1 h ω = ω ⇔ g −1 h ∈ StbG(ω) ⇔ g StbG(ω) =<br />
h StbG(ω). �<br />
Definition 11.4 (Transitive Operation)<br />
Seien G eine Gruppe <strong>und</strong> Ω �= ∅ eine G-Menge mit einer einzigen Bahn. Dann heißt die<br />
Operation transitiv.<br />
Beispiel 11.3<br />
Für jede Gruppe G <strong>und</strong> h � G operiert G transitiv auf G/H durch x (gH) := xgH mit<br />
x, g ∈ G. Dabei gilt:<br />
xgH = gH ⇔ g −1 xgH = H ⇔ g −1 xg ∈ H ⇔ x ∈ gHg −1<br />
Daher: StbG(gH) = gHg−1 . Insbeson<strong>der</strong>e ist StbG(H) = H <strong>und</strong> <strong>der</strong> Kern <strong>der</strong> Operation<br />
von G auf G/H ist �<br />
g∈G StbG(gH) = �<br />
g∈G gHg−1 . Man bezeichnet das auch als den<br />
Kern von H in G. Offenbar ist dies <strong>der</strong> größte Normalteiler N � G mit N ⊆ H. Weiter ist<br />
G faktorisiert nach dem Kern von H zu einer Untergruppe von Sym(G/H) isomorph. So<br />
kann man oft nichttriviale Normalteiler von G konstruieren.<br />
Bemerkung 11.4<br />
Eine G-Menge Ω �= ∅ ist genau dann transitiv, wenn zu je zwei α, β ∈ Ω ein g ∈ G mit<br />
g α = β existiert. Gegebenenfalls ist |Ω| = |G: StbG(ω)| <strong>für</strong> ω ∈ Ω. Existieren zu je zwei<br />
α, β ∈ Ω genau ein g ∈ G mit g α = β, so heißt die Operation regulär: Gegebenenfalls ist<br />
|Ω| = |G|.<br />
Satz 11.6 (FRATTINI-Argument)<br />
Seien G eine Gruppe, H � G <strong>und</strong> Ω �= ∅ eine G-Menge. Operiert H transitiv auf Ω, so ist<br />
G = StbG(ω)H <strong>für</strong> ω ∈ Ω.<br />
BEWEIS:<br />
Seien ω ∈ Ω <strong>und</strong> g ∈ G. Da H transitiv operiert, existiert ein h ∈ H mit h ( g ω) = ω.<br />
Folglich ist hg ∈ StbG(ω) <strong>und</strong> g = h −1 hg ∈ H StbG(ω). Daher G = H StbG(ω) =<br />
StbG(ω)H. �<br />
Definition 11.5 (Fixpunkt)<br />
Seien G eine Gruppe, Ω eine G-Menge, x ∈ G <strong>und</strong> Y ⊆ G. Dann heißen die Elemente in<br />
Fixpunkte von x bzw. Y.<br />
FixΩ(x) := { ω ∈ Ω | x ω = ω }<br />
FixΩ(Y) := { ω ∈ Ω | y ω = ω, y ∈ Y }<br />
Satz 11.7 (Lemma von BURNSIDE)<br />
Seien G eine endliche Gruppe <strong>und</strong> Ω eine endliche G-Menge.<br />
65
11. Gruppenoperationen<br />
(i) Für die Anzahl n <strong>der</strong> Bahnen von G auf Ω gilt dann:<br />
n = 1<br />
|G|<br />
�<br />
|FixΩ(g)|<br />
g∈G<br />
(ii) Ist die Operation transitiv <strong>und</strong> ω ∈ Ω, so gilt <strong>für</strong> die Anzahl m <strong>der</strong> Bahnen von<br />
StbG(ω) auf Ω:<br />
BEWEIS:<br />
m = 1<br />
|G|<br />
�<br />
g∈G<br />
|FixΩ(g)| 2<br />
(i) Offenbar ist �<br />
g∈G |FixΩ(g)| = |{ (g, ω) ∈ G × ω | gω = ω }| = �<br />
ω∈Ω |StbG(ω)|.<br />
Auf je<strong>der</strong> Bahn ist |StbG(ω)| konstant nach Satz 11.5 (ii) <strong>und</strong> die Bahn von ω ∈ Ω<br />
enthält genau |G: StbG(ω)| Elemente. Mit dem Satz von LAGRANGE ergibt sich:<br />
�<br />
ω∈Ω |StbG(ω)| = n · |G|.<br />
(ii) Offenbar gilt:<br />
�<br />
g∈G<br />
|FixΩ(g)| 2 = |{ (g, α, β) ∈ G × Ω × Ω | g α = α, g β = β }|<br />
= �<br />
|{ (g, α) ∈ StbG(β) × Ω | g α = α }|<br />
β∈Ω<br />
Für β, β ′ ∈ Ω existiert wegen <strong>der</strong> Transposition ein x ∈ G mit β ′ = x β. Man rechnet<br />
leicht nach, dass dann die Abbildung:<br />
{ (g, α) ∈ StbG(β) × Ω | g α = α } → � (g, α) ∈ StbG(β ′ ) × Ω � � g α = α �<br />
bijektiv ist. Daher gilt wie in (i):<br />
�<br />
g∈G<br />
(g, α) ↦→ (xgx −1 , x α)<br />
|FixΩ(g)| 2 = |Ω| · |{ (g, α) ∈ StbG(ω) × Ω | g α = α }|<br />
= |Ω| · m|StbG(ω)| = |G|m �<br />
Definition 11.6<br />
Seien G eine Gruppe, Ω eine G-Menge <strong>und</strong> |Ω| � n ∈ N. Die Operation heißt n-transitiv,<br />
wenn zu je zwei n-Tupeln (α1, . . . , αn), (β1, . . . , βn) paarweise verschiedener Elemente<br />
in Ω ein g ∈ G existiert mit g α1 = β1, . . . , g αn = βn.<br />
Satz 11.8<br />
In dieser Situation gilt:<br />
66<br />
(i) Ist das n � 2, G ist n-transitiv auf Ω <strong>und</strong> ω ∈ Ω, so operiert StbG(ω) (n −<br />
1)-transitiv auf Ω \ {ω}.
(ii) Ist das n � 2, ω ∈ Ω <strong>und</strong> G transitiv auf Ω sowie StbG(ω) noch (n − 1)-transitiv<br />
auf Ω \ {ω}, so operiert G insgesamt n-transitiv auf Ω.<br />
(iii) Ist G transitiv auf Ω, ω ∈ Ω <strong>und</strong> H := StbG(ω), dann gilt: G operiert genau dann<br />
2-transitiv auf Ω, wenn |H \ G/H| = 2.<br />
(iv) Sind Ω <strong>und</strong> G endlich <strong>und</strong> operiert G transitiv auf Ω, dann gilt, G operiert genau<br />
dann 2-transitiv auf Ω, wenn 1<br />
|G|<br />
�<br />
g∈G |FixΩ(g)| 2 = 2.<br />
BEWEIS:<br />
(i) Seien (α1, . . . , αn−1), (β1, . . . , βn−1) zwei (n − 1)-Tupel paarweise verschiedener<br />
Elemente in Ω \ {ω}. Dann sind (α1, . . . , αn−1, ω), (β1, . . . , βn−1), ω) zwei n-Tupel<br />
paarweise verschiedener Elemente in Ω. Daher existiert ein g ∈ G mit g α1 =<br />
β1, . . . , g αn−1 = βn−1, g ω = ω. Insbeson<strong>der</strong>e ist g ∈ StbG(ω).<br />
(ii) Seien (α1, . . . , αn), (β1, . . . , βn) zwei n-Tupel paarweise verschiedener Elemente<br />
in Ω. Da G transitiv auf Ω ist, existieren zwei Elemente x, y ∈ G mit x αn = ω =<br />
y αn. Dann sind ( x α1, . . . , x αn−1), ( y α1, . . . , y αn−1) zwei (n − 1)-Tupel paarweise<br />
verschiedener Elemente in Ω \ {ω}. Nach <strong>der</strong> Voraussetzung existiert ein Element<br />
g ∈ StbG(ω) mit gx α1 = y β1, . . . , gx αn−1 = y βn−1. Dann ist y −1 gx ∈ G <strong>und</strong><br />
y −1 gx αn−1 = βn−1, y−1 gx αn = y−1 g ω = y −1<br />
ω = βn.<br />
(iii) Wir zeigen zunächst die Richtung „⇒“: Dazu sei G zweitransitiv auf Ω <strong>und</strong> x, y ∈<br />
G \ H. Dann ist x ω �= ω �= y ω. Da H nach (i) transitiv auf Ω \ {ω} operiert, existiert<br />
ein h ∈ H mit hx ω = y ω. Folglich haben wir y−1 hx ω = ω, d. h. y −1 hx liegt im<br />
Stabilisator von ω <strong>und</strong> x ∈ h −1 yH ⊆ HyH. Damit ist gezeigt, G = H ·∪HyH.<br />
Für die Richtung „⇐“ sei |H \ G/H| = 2 <strong>und</strong> α, β ∈ Ω \ {ω}. Wegen <strong>der</strong> Transitivität<br />
von G existieren zwei Elemente x, y ∈ G mit xω = α, yω = β. Dabei hat man<br />
x, y /∈ H. An<strong>der</strong>nfalls wäre xω = ω. Daher existieren h, h ′ ∈ H mit y = hxh ′ .<br />
Folglich: β = hxh′ ω = hxω = hα. Dies zeigt, H ist transitiv auf Ω \ {ω}. Also<br />
operiert G zweitransitiv auf Ω.<br />
(iv) Aus den bisherigen Resultaten folgt: G operiert genau dann zweitransitiv auf<br />
Ω, wenn StbG(ω) transitiv auf Ω \ {ω} operiert. Dies ist genau dann, wenn <strong>der</strong><br />
Stabilisator von ω genau 2 Bahnen auf Ω hat. Schließlich ist das genau dann <strong>der</strong><br />
Fall, wenn 1<br />
|G|<br />
�<br />
g∈G |FixΩ(g)| 2 = 2. �<br />
Satz 11.9<br />
Für jede Gruppe G <strong>und</strong> jede transitive G-Menge Ω mit mindestens zwei Elementen sind<br />
äquivalent:<br />
(1) Es existiert eine echte Teilmenge ∆ � Ω <strong>der</strong>art, dass |∆| > 1 <strong>und</strong> <strong>für</strong> g ∈ G entwe<strong>der</strong><br />
( g ∆) ∩ ∆ = ∅ o<strong>der</strong> g ∆ = ∆ gilt.<br />
(2) Es existiert eine Zerlegung Ω = ·∪Λ∈LΛ,wobei Λ � Ω, |Λ| > 1 <strong>und</strong> gΛ ∈ L <strong>für</strong><br />
g ∈ G, Λ ∈ L ist.<br />
67<br />
Das dotcup ist<br />
groß
11. Gruppenoperationen<br />
BEWEIS:<br />
(1)⇒(2) Sei die erste Aussage erfüllt <strong>und</strong> L := { g∆ | g ∈ G } <strong>und</strong> δ ∈ ∆. Für ein ω ∈ Ω<br />
existiert dann ein g ∈ G mit ω = gδ ∈ g∆. Also ist Ω = �<br />
Λ∈L Λ. Sind g, h ∈ G mit<br />
� g∆ g∆ �= ∅, so ist ∅ �= h−1 ( g∆ � h∆) = h−1g∆ ∩ ∆. Nach <strong>der</strong> Voraussetzung ist <strong>der</strong><br />
Durchschnitt gleich <strong>der</strong> gesamten Menge ∆ <strong>und</strong> die Zerlegung ist somit disjunkt.<br />
Für g ∈ G ist g∆ � Ω, | g∆| > 1 <strong>und</strong> h ( g∆) = hg∆ ∈ L <strong>für</strong> h ∈ G.<br />
(2)⇒(1) Wähle ∆ ∈ L beliebig. �<br />
Bemerkung 11.5<br />
In <strong>der</strong> obigen Situation operiert G auch transitiv auf <strong>der</strong> Menge L. Sind nämlich Λ, ∆ ∈ L,<br />
dann wähle man zwei Elemente α ∈ Λ, β ∈ ∆ <strong>und</strong> g ∈ G mit g α = β. Dann ist g Λ∩∆ �= ∅,<br />
also ist g Λ = ∆. Für Λ ∈ L ist |L| = |G: StbG(Λ)| <strong>und</strong> |Ω| = |Λ| · |L| = |Λ| · |G: StbG(Λ)|.<br />
Für λ ∈ Λ ist ferner StbG(λ) ⊆ StbG(Λ). Denn x λ = λ ⇒ x Λ ∩ Λ �= ∅ ⇒ x Λ = Λ.<br />
Definition 11.7<br />
Sind (1) <strong>und</strong> (2) erfüllt, dann heißt die Operation imprimitiv, sonst primitiv.<br />
Beispiel 11.4<br />
Ist |Ω| ∈ P, dann ist jede transitive Operation auf Ω primitiv. Denn die Bedingungen oben<br />
wi<strong>der</strong>sprechen sich.<br />
Satz 11.10<br />
Für jede Gruppe G <strong>und</strong> jede transitive G-Menge Ω mit mehr als zwei Elementen sind<br />
äquivalent:<br />
(1) Ω ist primitiv.<br />
(2) StbG(ω) ist <strong>für</strong> jedes ω ∈ Ω eine maximale Untergruppe von G.<br />
(3) StbG(ω) ist <strong>für</strong> ein ω ∈ Ω eine maximale Untergruppe von G.<br />
(1)⇒(2) Sei (1) erfüllt <strong>und</strong> ω ∈ Ω beliebig. Nach dem Satz 11.5 ist G/ StbG(ω) → Ω<br />
mit g StbG(ω) ↦→ gω bijektiv. Insbeson<strong>der</strong>e haben wir: |G: StbG(ω)| = |Ω| �<br />
2, d. h. ist G �= StbG(ω). Wir nehmen an, dass ein H mit StbG(ω) < H < G<br />
existiert. Dann ist analog H/ StbG(ω) → ∆ := OrbH(ω), h StbG(ω) ↦→ hω bijektiv.<br />
Insbeson<strong>der</strong>e ist |∆| = |H: StbG(ω)| �= 1. Wegen H �= G ist auch ∆ � Ω. Sei g ∈ G<br />
mit g ∆ ∩ ∆ �= ∅. Dann existieren zwei Elemente h, h ′ ∈ H mit h ω = gh′<br />
ω, also<br />
h −1 gh ′ ∈ StbG(ω) ⊆ H <strong>und</strong> damit g ∈ H. Folglich ist g ∆ = ∆. Insgesamt zeigt dies,<br />
dass G imprimitiv auf <strong>der</strong> Menge Ω ist. �zur Annahme.<br />
(2)⇒(3) ist trivial.<br />
(3)⇒(1) Sei (3) erfüllt. Wir nehmen an: Ω imprimitiv. Dann existiert eine Zerlegung Ω =<br />
·∪Λ∈LΛ wie in obigen Satz. Sei Λ ∈ L mit ω ∈ Λ. Dann StbG(ω) � StbG(Λ) � G.<br />
Ferner sind die Abbildungen G/ StbG(ω) → Ω, g StbG(ω) ↦→ g ω; G/ StbG(Λ) →<br />
Λ, g StbG(Λ) ↦→ g Λ bijektiv. Insbeson<strong>der</strong>e |G StbG(Λ)| = |L| �= 1, d. h. G �= StbG(Λ).<br />
Wegen (3) folgt, StbG(Λ) = StbG(ω). Sei λ ∈ Λ \ {ω}. Dann existiert ein g ∈ G mit<br />
g ω = λ, d. h. g /∈ StbG(ω) = StbG(Λ). Also λ = g ω ∈ g Λ �= Λ. �<br />
68
Satz 11.11<br />
Seien G eine Gruppe, N � G <strong>und</strong> Ω eine primitive G-Menge. Dann operiert N transitiv<br />
o<strong>der</strong> trivial auf Ω.<br />
BEWEIS:<br />
Sei N intransitiv auf Ω <strong>und</strong> ∆ eine Bahn von N auf Ω, also ∆ � Ω. Für g ∈ G ist dann<br />
g ∆ eine Bahn von gN −1 g=N, also g ∆ = ∆ o<strong>der</strong> g ∆ ∩ ∆ = ∅. Aus <strong>der</strong> Primitivität folgt also<br />
|∆| = 1. Daher operiert N trivial auf Ω. �<br />
Satz 11.12<br />
Jede zweitransitive Operation einer Gruppe G auf eine Menge Ω ist primitiv.<br />
BEWEIS:<br />
Wir nehmen an, dass eine Teilmenge ∆ � Ω existiert <strong>der</strong>art, dass |∆| > 1 <strong>und</strong> <strong>für</strong><br />
g ∈ G entwe<strong>der</strong> g ∆ = ∆ o<strong>der</strong> g ∆ ∩ ∆ = ∅ gilt. Wähle paarweise verschiedene Elemente<br />
α, β ∈ ∆, γ ∈ Ω \ ∆. Nach Voraussetzung existiert eine g ∈ G mit g α = α, g β = γ. Dann<br />
ist g ∆ ∩ ∆ �= ∅ <strong>und</strong> g ∆ �= ∆. � �<br />
69
12. Sylowgruppen<br />
Bemerkung 12.1<br />
Jede Gruppe G operiert auf sich selbst durch Konjugation: g x = gxg −1 <strong>für</strong> alle g, x ∈ G.<br />
Dabei heißt OrbG(x) = � gxg −1 � � g ∈ G � Konjugationsklasse von x in G. Liegen zwei<br />
Elemente x, y ∈ G in <strong>der</strong> gleichen Konjugationsklasse, d. h. existiert ein g ∈ G mit<br />
y = gxg −1 , dann heißen x <strong>und</strong> y konjugiert in G. Wir schreiben hier<strong>für</strong> x ∼g y<br />
o<strong>der</strong> x ∼ y. Für x ∈ G heißt <strong>der</strong> Stabilisator StbG(x) = � g ∈ G � � gxg −1 = x � =<br />
{ g ∈ G | gx = xg } =: CG(x) <strong>der</strong> Zentralisator von x in G. Nach dem Satz 11.5 enthält<br />
die Konjugationsklasse von x in G genau |G: CG(x)| Elemente. Ist R ein Repräsentantensystem<br />
<strong>für</strong> die Konjugationsklassen, so erhält die Bahnengleichung die Form:<br />
(12.1)<br />
|G| = �<br />
|G: CG(x)|<br />
x∈R<br />
Die wird auch als Klassengleichung bezeichnet.<br />
Die Anzahl aller Klassen |R| heißt manchmal Klassenzahl von G. Dies muss kein Teiler<br />
<strong>der</strong> Gruppenordnung sein. Die Konjugationsklasse von einem Element x in G ist genau<br />
dann einelementig, wenn |G: CG(x)| = 1 gilt, d. h. G = CG(x). Dies ist äquivalent zu<br />
x ∈ Z(G).<br />
Satz 12.1 (Satz von LANDAU)<br />
Für jede endliche Gruppe G mit Klassenzahl k gilt: |G| � k 2k−1<br />
.<br />
BEWEIS:<br />
Seien x1, x2, . . . , xk = 1 Repräsentanten <strong>für</strong> die Konjugationsklassen, ni := |C (G)(xi)|<br />
<strong>für</strong> i = 1, . . . , k. Œ gilt n1 � n2 � · · · � nk = |G|. Wegen Gleichung 12.1 ist: k<br />
n1 �<br />
1 1<br />
1<br />
+ + · · · + n1 n2 nk = 1, d. h. n1 � k. Daher: k<br />
n2<br />
n2 � k 2 . Daher: k<br />
n3<br />
� 1<br />
n3<br />
+ · · · + 1<br />
nk<br />
= 1 − 1<br />
n1<br />
1<br />
1<br />
� + · · · + n2 nk<br />
− 1<br />
n2<br />
folgt, dass n4 � k 8 . Induktiv erhält man ni � k 2i−1<br />
Beispiel 12.1<br />
Sei k = 1. Dann ist |G| = 1. Für k = 2 ist 1<br />
n1<br />
= 1 − 1<br />
n1<br />
� 1<br />
n1<br />
� 1<br />
k<br />
, d. h.<br />
1 1<br />
� � n1n2 k3 , d. h. n3 � k4 . Weiter<br />
, insbeson<strong>der</strong>e gilt |G| = nk � k2k−1.� + 1<br />
n2<br />
= 1 <strong>und</strong> es gibt nur die Lösung<br />
n1 = n2 = 2. Also ist |G| = 2. Schließlich betrachten wir k = 3. Aus 1<br />
n1<br />
folgt n1 ∈ {2, 3}.<br />
1. Fall Sei n1 = 2. Dann ist 1<br />
n2<br />
70<br />
+ 1<br />
n3<br />
1 1 + + n2 n3<br />
= 1<br />
= 1<br />
2 <strong>und</strong> n2 ist entwe<strong>der</strong> 3 o<strong>der</strong> 4. Für n2 = 3 folgt<br />
n3 = 6, d. h. |G| = 6 <strong>und</strong> <strong>für</strong> n2 = 4 ist n3 = 4. Hierzu passt keine Gruppe. Denn<br />
Gruppen <strong>der</strong> Ordnung 4 sind kommutativ.
2. Fall Sei n1 = 3. Dann ist 1 1 + n2 n3<br />
= 2<br />
3 <strong>und</strong> n2 = 3 = n3. Also |G| = 3.<br />
Definition 12.1<br />
Sei p ∈ P. Eine endliche Gruppe, <strong>der</strong>en Ordnung eine p-Potenz ist, heißt Primgruppe o<strong>der</strong><br />
p-Gruppe. Ein Gruppenelement, dessen Ordnung eine p-Potenz ist, heißt p-Element.<br />
Satz 12.2<br />
Für p ∈ P ist jede endliche p-Gruppe nilpotent.<br />
BEWEIS:<br />
Sei |G| = p n <strong>und</strong> Œ |G| �= 1. In <strong>der</strong> Klassengleichung (Gleichung 12.1) p n = |G| =<br />
|G: CG(x1)| + · · · + |G: CG(xk)| ist je<strong>der</strong> Summand eine p-Potenz. Wegen G = CG(1)<br />
ist mindestens ein Summand gleich 1. Daher existiert mindestens ein xi �= 1 mit <strong>der</strong><br />
Eigenschaft |G: CG(xi)| = 1, d. h. 1 �= xi ∈ Z(G). Also Z(G) �= 1.<br />
Im Fall Z(G) = G ist G abelsch <strong>und</strong> damit nilpotent. Sei nun Z(G) �= G. Dann ist<br />
G/Z(G) �= 1 eine p-Gruppe. Daher ist analog 1 �= Z(G/Z(G)) = Z2(G)/Z(G). Im Fall<br />
Z2(G) = G ist G nilpotent. An<strong>der</strong>nfalls ist G/Z3(G) �= 1 eine p-Gruppe. So fährt man fort<br />
<strong>und</strong> erhält 1 < Z(G) < Z2(G) < Z3(G) < · · · . Wegen |G| < ∞ bricht das Verfahren ab. �<br />
Satz 12.3<br />
Für jede Primzahl p <strong>und</strong> jede endliche p-Gruppe gilt:<br />
(i) |G: Z(G)| �= p<br />
(ii) Aus |G| = p 2 folgt, dass G abelsch ist.<br />
BEWEIS:<br />
(i) Annahme: |G: Z(G)| = p. Dann ist G/Z(G) zyklisch. Nach einer <strong>der</strong> Übungsaufgaben<br />
ist G abelsch, d. h. G/Z(G) = 1.<br />
(ii) Sei |G| = p 2 . Nach Satz 12.2 ist Z(G) �= 1. Nach dem ersten Teil des Satzes ist<br />
|Z(G)| �= 1. Daher |Z(G)| = 2 , d. h. G abelsch. �<br />
Bemerkung 12.2 (Konjugation(sklasse), Normalisator)<br />
Jede Gruppe G operiert auf P(G) (Potenzmenge von G) durch Konjugation: g X :=<br />
gXg −1 = � gxg −1 � � x ∈ X � . Dabei heißt die Bahn OrbG(X) = � gXg −1 � � g ∈ G � Konjugationsklasse<br />
von X in G. Liegen zwei Teilmengen X, Y ∈ P(G) in <strong>der</strong> gleichen<br />
Konjugationsklasse, d. h. existiert ein g ∈ G mit Y = gXg −1 , so heißen die X, Y in G<br />
konjugiert. Dies wird ebenso als X ∼g Y o<strong>der</strong> X ∼ Y geschrieben. Für ein X ∈ P(G)<br />
ist StbG(X) = � g ∈ G � � gXg −1 = X � = { g ∈ G | gX = Xg } = NG(X) <strong>der</strong> Normalisator.<br />
Die Konjugationsklasse von X enthält genau |G: NG(X)| Elemente.<br />
Definition 12.2 (p-Sylowgruppe)<br />
Seien G eine endliche Gruppe, p eine Primzahl <strong>und</strong> |G| = p a m mit p ∤ m ∈ N. Dann<br />
heißen die Untergruppen <strong>der</strong> Ordnung p a von G die p-Sylowgruppen von G. Die Menge<br />
aller p-Sylowgruppen von G sei Syl p(G).<br />
71
Ist das P richtig?<br />
12. Sylowgruppen<br />
Satz 12.4 (Satz von SYLOW)<br />
Seien G eine endliche Gruppe, p eine Primzahl <strong>und</strong> |G| = n = p a m mit p ∤ m ∈ N. Dann<br />
gilt:<br />
(i) Für n ∈ N0 mit b � a enthält G garantiert eine Untergruppe <strong>der</strong> Ordnung p b .<br />
Genauer gilt <strong>für</strong> die Anzahl ZG(p b ) dieser Untergruppen:<br />
Das heißt, p | ZG(p b ) − 1.<br />
ZG(p b ) ≡ 1 (mod p)<br />
(ii) Jede Untergruppe U <strong>der</strong> Ordnung p b von G ist in einer p-Sylowgruppe von G<br />
enthalten.<br />
(iii) Je zwei p-Sylowgruppen von G sind in G konjugiert. Insbeson<strong>der</strong>e gilt <strong>für</strong> P ∈<br />
Syl p(G):<br />
BEWEIS:<br />
72<br />
|G: NG(P)| = |Syl p(G)| = ZG(p a ) ≡ 1 (mod p)<br />
(i) Die Gruppe G operiert auf Ω := � M ∈ P(G) � � |M| = pb � durch gM = gM <strong>für</strong><br />
g ∈ G, M ∈ Ω. Sei R ein Repräsentantensystem <strong>für</strong> die Bahnen. Dann hat man die<br />
Bahnengleichung:<br />
�<br />
n<br />
pb �<br />
= |Ω| = �<br />
|G: StbG(M)|<br />
M∈R<br />
Dabei ist jeweils StbG(M) = { g ∈ G | gM = M }, also StbG(M)M = M. Für jedes<br />
x ∈ M ist also StbG(M)x ∈ M, d. h. M ist die Vereinigung von Rechtsnebenklassen<br />
nach StbG(M). Insbeson<strong>der</strong>e ist |StbG(M)| | |M| = p b . Im Fall |StbG(M)| = p b ist<br />
M eine einzige Rechtsnebenklasse StbG(M)x <strong>und</strong> OrbG(M) enthält auch x −1 M =<br />
x −1 StbG(M)x � G. Umgekehrt hat eine Bahn, die eine Untergruppe U enthält, die<br />
Form { gU | g ∈ G } = G/U. Insbeson<strong>der</strong>e ist U die einzige Untergruppe in dieser<br />
Bahn <strong>und</strong> |OrbG(U)| = |G: U| = p a−b m.<br />
Als Fazit lässt sich feststellen, dass Bahnen, die keine Untergruppen enthalten,<br />
haben eine durch pa−b+1m teilbare Länge. Bahnen, die eine Untergruppe enthalten,<br />
haben die Länge pa−bm <strong>und</strong> enthalten genau eine Untergruppe. Also:<br />
�<br />
n<br />
pb �<br />
= |Ω| (mod p a−n+1 (12.2)<br />
m)<br />
≡ ZG(p b ) · p a−b m<br />
Sei H eine zyklische Gruppe <strong>der</strong> Ordnung n. Dann gilt analog:<br />
�<br />
n<br />
pb �<br />
= ZH(p b )p a−b (mod p a−b+1 (12.3)<br />
)
fügen<br />
Bekanntlich enthält H genau eine Untergruppe <strong>der</strong> Ordnung pb (siehe Übungsaufgabe),<br />
d. h. ZH(pb ) = 1. Aus den obigen Gleichungen (Gleichung 12.2, Glei-<br />
chung 12.3) folgt, ZG(p b )p a−b m = p a−b m (mod p a−b+1 m), d. h. ZG(p b ) ≡ 1<br />
(mod p). Insbeson<strong>der</strong>e ist ZG(p b ) �= 0.<br />
(ii) Sei P ∈ Sylp(G) <strong>und</strong> R ein Repräsentantensystem <strong>für</strong> U\G/P. Dann ist G =<br />
·∪x∈RUxP, d. h. |G| = �<br />
x∈R |UxP|. Wegen pa+1 ∤ |G| existiert ein x ∈ G mit<br />
p a+1 ∤ |UxP| = |U: U ∩ xPx −1 | · |P|. Der erste Ausdruck ist eine Potenz von P <strong>und</strong><br />
|P| = p a . Also |U: U ∩ xPx −1 | = 1, d. h. U = U ∩ xPx −1 ⊆ xPx −1 ∈ Syl p(G).<br />
(iii) Ist U ∈ Syl p(G), so folgt weiter U = xPx −1 . Außerdem operiert G durch Konjugation<br />
auf Syl p(G) mit g P = gPg −1 <strong>für</strong> g ∈ G, P ∈ Syl p(G). Nach <strong>der</strong> ersten Aussage<br />
ist die Operation transitiv. Also |Syl p(G)| = |G: StbG(P)| = |G: NG(P)|. �<br />
Beispiel 12.2<br />
Sei p eine Primzahl, q eine Potenz von p, K ein Körper mit |K| = q, n ∈ N <strong>und</strong> G :=<br />
GL(n, K). Dann gilt, |G| = (qn − 1)(qn − q) · . . . · (qn − qn−1 ) = q1+2+···+(n−1) (qn −<br />
2) (qn − 1)(qn−1 − 1) · . . . · (q − 1). Daher hat jede<br />
1)(qn−1 − 1) · . . . · (q − 1) = q (n<br />
p-Sylowgruppe von G die Ordnung q (n2)<br />
. An<strong>der</strong>erseits ist die Menge aller Matrizen <strong>der</strong><br />
Form<br />
⎛<br />
1<br />
⎞<br />
∗<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
eine Untergruppe P � G mit |P| = qq2 · . . . · qn−1 = q (n2)<br />
, d. h. P ∈ Sylp(G). Mann kann<br />
sich überlegen, dass NG(P) aus allen Matrizen <strong>der</strong> folgenden Form besteht:<br />
⎛<br />
x<br />
⎞<br />
∗<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 x<br />
Insbeson<strong>der</strong>e ist |NG(P)| = q (n2)<br />
(q − 1) n . Daher gilt, |Sylp(G)| = |G: NG(P)| = (qn−1 +<br />
· · · + q + 1)(qn−2 + · · · + q + 1) · . . . · (q + 1) ≡ 1 (mod q).<br />
Offenbar ist auch die Menge Q aller Matrizen <strong>der</strong> folgenden Form eine p-Sylowgruppe<br />
von G:<br />
⎛<br />
1<br />
⎞<br />
0<br />
⎜<br />
⎝<br />
*<br />
. .. ⎟<br />
⎠<br />
1<br />
73<br />
Großes dotcup
12. Sylowgruppen<br />
Bekanntlich gilt:<br />
⎛<br />
0 1<br />
⎜<br />
Q = ⎜<br />
⎝<br />
. .. . . .<br />
. .. . ⎞<br />
. .<br />
⎟<br />
⎠<br />
1 0<br />
P<br />
⎛<br />
0 1<br />
⎜<br />
⎝<br />
. .. . . .<br />
. .. . ⎞<br />
. .<br />
⎟<br />
⎠<br />
1 0<br />
Satz 12.5 (Satz von CAUCHY)<br />
Seien G eine endliche Gruppe <strong>und</strong> p ∈ P mit p | |G|. Dann enthält G ein Element <strong>der</strong><br />
Ordnung p.<br />
BEWEIS:<br />
Nach Satz 12.4 enthält G eine Untergruppe U <strong>der</strong> Ordnung p <strong>und</strong> U enthält p−1 Elemente<br />
<strong>der</strong> Ordnung p. �<br />
Satz 12.6 (Argument von FRATTINI)<br />
Seien p ∈ P, G eine endliche Gruppe, K � G <strong>und</strong> Q ∈ Syl p(K). Dann ist G = K · NG(Q).<br />
BEWEIS:<br />
Die Gruppe G operiert auf Syl p(K) durch Konjugation. Nach dem Satz von SYLOW<br />
(Satz 12.4) operiert K transitiv auf Syl p(K). Aus dem Satz 11.6 folgt also, G = K ·<br />
StbG(Q) = K · NG(Q). �<br />
Satz 12.7<br />
Für p ∈ P, jede endliche Gruppe G <strong>und</strong> P ∈ Syl p(G) gilt:<br />
(i) N � G ⇒ P ∩ N ∈ Syl p(N) <strong>und</strong> PN/N ∈ Syl p(G/N)<br />
(ii) NG(P) � H � G ⇒ NG(H) = H. Insbeson<strong>der</strong>e ist NG(NG(P)) = NG(P).<br />
(i) Wegen |P ∩ N| | |P| ist |P ∩ N| eine p-Potenz <strong>und</strong> wegen |N: P ∩ N| = |NP : P| | |G: P|<br />
ist p ∤ |N: P ∩ N|. Somit haben wir P ∩ N ∈ Syl p(N). Wegen |PN/N| = |P/P ∩ N| | |P|<br />
ist |PN/N| ebenfalls eine p-Potenz. Wegen |G/N: PN/N| = |G: PN| | |G: P| ist<br />
p ∤ |G/N: PN/N| <strong>und</strong> daher PN/N ∈ Syl p(G/N).<br />
(ii) Wegen P � NG(P) � H � NG(H) � G <strong>und</strong> P ∈ Syl p(NG(H)) folgt aus dem<br />
Satz 12.6:<br />
NG(H) = H · NNG (P) � HNG(P) ⊆ H ⊆ NG(H)<br />
Satz 12.8<br />
Sei G eine endliche Gruppe. Die Primfaktorzerlegung von n := |G| sei n := p a1<br />
1<br />
Für i = 1, . . . , r sei Pi ∈ Sylpi (G). Dann sind äquivalent:<br />
(1) Die Gruppe G ist nilpotent.<br />
(2) Pi � G <strong>für</strong> i = 1, . . . , r.<br />
(3) G = P1 ⊕ . . . ⊕ Pr.<br />
74<br />
−1<br />
· . . . · pan<br />
n .
BEWEIS:<br />
(1)⇒(2) Sei G nilpotent <strong>und</strong> i ∈ {1, . . . , r}. Nach dem Satz 12.7 ist NG(NG(Pi)) =<br />
NG(Pi). Aus Satz 10.5 folgt, NG(Pi) = G, d. h. Pi � G.<br />
(2)⇒(3) Wegen Satz 7.2<br />
(3)⇒(1) Nach dem Satz 12.2 ist jedes Pi nilpotent, also auch G nach dem Satz 10.7. �<br />
Satz 12.9<br />
Für p, q, r ∈ P <strong>und</strong> jede endliche Gruppe G gilt:<br />
(i) Sei |G| = p a q <strong>für</strong> ein a ∈ N0. Dann ist G auflösbar.<br />
(ii) Sei |G| = p 2 q 2 . Dann ist G auflösbar.<br />
(iii) Sei |G| = pqr. Dann ist G auflösbar.<br />
BEWEIS:<br />
(i) Sei G ein Gegenbeispiel minimaler Ordnung. Es existiert ein Normalteiler 1 �= N �=<br />
G, so erfüllen N <strong>und</strong> G/N die Voraussetzungen von (i) o<strong>der</strong> von Satz 12.2. Also<br />
sind sie nach <strong>der</strong> Wahl von G auflösbar. Dann ist aber auch G auflösbar.�<br />
Daher ist G einfach <strong>und</strong> p �= q nach dem Satz 12.2. Für P ∈ Syl p(G) ist |G: NG(P)| |<br />
q.<br />
Im Fall |G: NG(P)| = 1 wäre P � G. Dies stellt einen Wi<strong>der</strong>spruch zur Einfachheit<br />
von G dar. Also ist q = |G: NG(P)| = |Syl p(G)|. Ist P1 ∩ P2 = 1 <strong>für</strong> je zwei<br />
verschiedene P1, P2 ∈ Syl p(G), so enthalten die p-Sylowgruppen von G insgesamt<br />
q(p a − 1) = |G| − q Elemente ungleich 1. Daher ist nur noch Platz <strong>für</strong> eine einzige<br />
p-Sylowgruppen Q. Also ist Q � G � zur Einfachheit.<br />
Also existieren verschiedene P1, P2 ∈ Syl p(G) mit D := P1 ∩ P2 �= 1. Wir wählen<br />
P1 <strong>und</strong> P2 so, dass D möglichst groß wird. Für i = 1, 2 ist Pi nach dem Satz 12.2<br />
nilpotent, also D < NPi (D) =: Qi � Pi nach dem Satz 10.5. Daher ist D �<br />
〈Q1, Q2〉 =: H. Ist |H| eine p-Potenz, so existiert ein P3 ∈ Syl p(G) mit H ⊆ P3.<br />
Damit Pi ∩ P3 � Qi > D = P1 ∩ P2. Nach <strong>der</strong> Wahl von P1 <strong>und</strong> P3 ist dann Pi = P3.<br />
Somit hat man den Wi<strong>der</strong>spruch P1 = P2. Also ist |H| keine p-Potenz, d. h. |H| = p b q<br />
<strong>für</strong> ein b ∈ N0.<br />
Folglich ist p a = |P1| | |P1H| <strong>und</strong> q | |H| | |P1H|, d. h. G = P1H. Zu jedem g ∈ G<br />
existiert also ein h ∈ H, x ∈ P1 mit g = xh. Dann ist gDg −1 = xhDh −1 x −1 =<br />
xDx −1 � P1, denn die letzte Gleichheit ergibt sich aus H � NG(D). Also ist<br />
1 �= K := 〈gDg −1 : g ∈ G〉 � G <strong>und</strong> K � P1 im Wi<strong>der</strong>spruch zur Einfachheit von G.<br />
(ii) Œ sei p > q. Existiert ein Normalteiler 1 �= N �= G, dann sind N, G/N nach<br />
dem ersten Teil auflösbar. Also ist auch G auflösbar. Daher sei G einfach. Für<br />
P ∈ Syl p(G) ist |Syl p(G)| = |G: NG(P)| ≡ 1 (mod p) <strong>und</strong> |G: NG(P)| | q 2 . Die<br />
Fälle |G: NG(P)| ∈ {1, q} sind unmöglich. Daher ist |G: NG(P)| = q 2 . Ist P1 ∩ P2 = 1<br />
<strong>für</strong> je zwei verschiedene P1, P2 ∈ Syl p(G), so folgt aus <strong>der</strong> Übungsaufgabe 42:<br />
75<br />
� o<strong>der</strong> ⊆
12. Sylowgruppen<br />
q 2 = |Syl p(G)| ≡ 1 (mod p 2 ). � Somit existieren P1, P2 ∈ Syl p(G) mit 1 < D :<br />
= P1 ∩ P2 < P1. Für i = 1, 2 ist |Pi| = p 2 , d. h. Pi ist nach Satz 12.3 abelsch.<br />
Insbeson<strong>der</strong>e ist D � Pi <strong>und</strong> Pi < NG(D) < G. Somit muss |NG(D)| = p 2 q gelten.<br />
Nach <strong>der</strong> Aufgabe 38 ist NG(D) � G. � da G einfach.<br />
(iii) Œ sei p > q > r, sonst kommen die obigen Fälle ins Spiel <strong>und</strong> weiter sei G einfach.<br />
Für P ∈ Syl p(G) ist dann |Syl p(G)| = |G: NG(P)| ≡ 1 (mod p) <strong>und</strong> |G: NG(P)| | qr,<br />
also |Syl p(G)| = qr. Analog haben wir |Syl q(G)| � p, |Syl r(G)| � q. Da sich je zwei<br />
Sylowgruppen trivial schneiden, enthält G genau (p−1)qr Elemente <strong>der</strong> Ordnung p,<br />
mindestens p(q−1) Elemente <strong>der</strong> Ordnung q <strong>und</strong> mindestens q(r−1) Elemente <strong>der</strong><br />
Ordnung r. Also pqr = |G| � 1+qr(p−1)+p(q−1)+q(r−1) = pqr+(p−1)(q−1)��<br />
Beispiel 12.3<br />
Es folgt aus den Überlegungen leicht, dass Gruppen <strong>der</strong> Ordnungen 1 bis 59 auflösbar. Es<br />
ist 60 die kleinste Ordnung einer nichtauflösbaren Gruppe.<br />
76
13. Symmetrische Gruppen<br />
Bemerkung 13.1<br />
Sei n ∈ N. Elemente in <strong>der</strong> symmetrischen Gruppe des Grades n schreibt man in <strong>der</strong> Form<br />
� �<br />
1 2 . . . n<br />
g =<br />
. Existieren paarweise verschiedene x1, . . . , xk ∈ {1, . . . , n}<br />
g(1) g(2) . . . g(n)<br />
mit g(x1) = x2, g(x2) = x3, . . . , g(xk−1) = xk, g(xk) = 1 <strong>und</strong> g(y) = y, so heißt g ein<br />
k-Zyklus o<strong>der</strong> Zyklus <strong>der</strong> Länge k. Man schreibt g = (x1, . . . , xk) = (x2, . . . , xk, x1) =<br />
(xk, x1, . . . , xk−1).<br />
Zyklen (x1, . . . , xk), (y1, . . . , yl) mit {x1, . . . , xk} ∩ {y1, . . . , yl} = ∅ heißen disjunkt. Gegebenenfalls<br />
sind sie vertauschbar. Offenbar kann man jede Permutation a ∈ Sym(n) als<br />
Produkt disjunkter Zyklen schreiben:<br />
�<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11<br />
�<br />
12<br />
8 4 9 5 2 6 3 1 10 7 12 11<br />
= (1, 8)(2, 4, 5)(3, 9, 10, 7)(6)(11, 12)<br />
Dabei liefern die auftretenden Zyklen die Bahnen von <strong>der</strong> zyklischen Gruppe, die von<br />
a erzeugt wird (〈a〉) auf {1, . . . , n}. Bis auf die Reihenfolge <strong>der</strong> Zyklen <strong>und</strong> Zyklen <strong>der</strong><br />
Länge 1 ist die Zyklenschreibweise eindeutig. Wir ordnen in <strong>der</strong> Regel die auftretenden<br />
Zyklenlängen k1, . . . , kl <strong>der</strong> Größe nach. Dann gilt: k1 + · · · + kl = n <strong>und</strong> (k1, . . . , kl)<br />
heißt Typ von a. Offenbar ist |〈a〉| = kgV(k1, . . . , kl).<br />
Satz 13.1<br />
Zwei Elemente in Sym(n) sind genau dann konjugiert, wenn sie den gleichen Typ haben.<br />
BEWEIS:<br />
Zunächst betrachten wir die Richtung von links nach rechts („⇒“). Dazu sei a ∈ Sym(n)<br />
mit <strong>der</strong> Zyklenschreibweise a = (x1, . . . , xk)(y1, . . . , yl) . . . <strong>und</strong> <strong>für</strong> g ∈ Sym(n) ist<br />
dann gag −1 = (g(x1), g(x2), . . . , g(xk)) · (g(y1), . . . , g(yl)). Denn beispielsweise ist<br />
(gag −1 )(g(x1)) = (ga)(x1) = g(x2).<br />
Die Rückrichtung erhalten wir durch a, a ′ ∈ Sym(n) mit Zyklenschreibweise: a =<br />
(x1, . . . , xk)(y1, . . . , yl) . . . <strong>und</strong> a ′ = (x ′ 1 , . . . , x′ k )(y′ 1 , . . . , y′ l ) . . . . Dann ist gag−1 = a ′<br />
�<br />
x1 . . . xk y1 . . . yl . . .<br />
mit<br />
x ′ 1 . . . x ′ k y′ 1 . . . y ′ �<br />
. �<br />
l . . .<br />
Definition 13.1 (Partition)<br />
Sei n eine natürliche Zahl. Eine Partition von n ist eine endliche Folge (k1, . . . , kl) ∈ N l<br />
mit k1 � k2 � · · · � kl <strong>und</strong> k1 + · · · + kl = n.<br />
77
13. Symmetrische Gruppen<br />
Bemerkung 13.2<br />
Der Satz 13.1 liefert eine Bijektion zwischen <strong>der</strong> Menge <strong>der</strong> Konjugationsklassen von<br />
Sym(n) <strong>und</strong> <strong>der</strong> Menge <strong>der</strong> Partitionen von n.<br />
Beispiel 13.1<br />
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Daher hat<br />
Sym(5) die Klassenzahl 7.<br />
Satz 13.2<br />
Sei k1, . . . , kl eine Partition von n <strong>und</strong> mi := |{ j | kj = i }| <strong>für</strong> i = 1, . . . , n. Unter den Zahlen<br />
k1, . . . , kl treten also m1 Einsen, m2 Zweien usw. auf. Dann hat die Konjugationsklasse<br />
<strong>der</strong> Elemente vom Typ (k1, . . . , kl) in Sym(n) die Länge:<br />
n!<br />
m1!1 m1m2!2 m2 · . . . · mn!n mn<br />
BEWEIS:<br />
Jedes Element vom Typ k1, . . . , kl hat die Form: m1 Einszyklen, m2 Zweizyklen usw. Es<br />
gibt n! Möglichkeiten, die Zahlen 1, . . . , n auf die Positionen zu verteilen. Dabei liefern<br />
jeweils m1!1 m1m2!2 m2 . . . Verteilungen die gleiche Permutation. �<br />
Bemerkung 13.3<br />
Offenbar wird Sym(n) von allen Zyklen erzeugt. Die Gruppe Sym(n) wird wegen <strong>der</strong><br />
Beziehung (x1, . . . , xk) = (x1, xk)(x1, xk−1) . . . (x1, x2) von den 2-Zyklen (o<strong>der</strong> Transpositionen)<br />
erzeugt. Wegen (i, j) = (1, i)(1, j)(1, i) genügen sogar die Transpositionen<br />
(1, 2), (1, 3), . . . , (1, n). Wegen (1, i) = (i − 1, i) . . . (2, 3)(1, 2)(2, 3) . . . (i − 1, i) genügen<br />
analog auch die so genannten Basistranspositionen (1, 2), (2, 3), . . . , (n − 1, n). Wegen<br />
(i, i + 1) = (1, 2, . . . , n)(i − 1, i)(1, 2, . . . , n) −1 gilt auch Sym(n) = 〈(1, 2), (1, 2, . . . , n)〉.<br />
Definition 13.2 (Inversion)<br />
Sei g ∈ Sym(n). Dann heißt ein Paar (i, j) ∈ N × N mit 1 � i < j � n <strong>und</strong> g(i) > g(j)<br />
Inversion o<strong>der</strong> Fehlstand von g. Die Anzahl l(g) aller Inversionen von g heißt Länge<br />
von g.<br />
Satz 13.3<br />
Jedes g ∈ Sym(n) kann man als Produkt von l(g) Basistranspositionen, aber nicht als<br />
Produkt von weniger als l(g) Basistranspositionen schreiben.<br />
BEWEIS:<br />
� �<br />
1 2 3 4<br />
Wir geben hier nur ein Beispiel an: Sei g =<br />
⇒ l(g) = 2. Es ist (1, 2)g =<br />
2 3 1 4<br />
� �<br />
� �<br />
1 2 3 4<br />
1 2 3 4<br />
⇒ l((1, 2)g) = 1. Für (2, 3)(1, 2)g =<br />
= 1 ⇒ g =<br />
1 3 2 4<br />
1 2 3 4<br />
(1, 2)(2, 3).<br />
Allgemein erhöht/erniedrigt sich die Multiplikation mit einer Basistransposition die<br />
Anzahl <strong>der</strong> Inversionen um 1. �<br />
78
Definition 13.3 (Vorzeichen)<br />
Für g ∈ Sym(n) heißt sgn g := �<br />
g(j)−g(i)<br />
1�i
Link einfügen<br />
13. Symmetrische Gruppen<br />
Die Konjugationsklasse von (1, 2, 3, 4, 5) in S enthält 5!<br />
1!5 1 = 24 Elemente. Daher ist<br />
|CS((1, 2, 3, 4, 5))| = 5 <strong>und</strong> CS((1, 2, 3, 4, 5)) = 〈(1, 2, 3, 4, 5)〉 ⊆ A. Also zerfällt die<br />
Konjugationsklasse von (1, 2, 3, 4, 5) in S in zwei Konjugationsklassen <strong>der</strong> Länge 12 in A.<br />
Zur Probe: 1 + 15 + 20 + 12 + 12 = 60 Elemente.<br />
Je<strong>der</strong> Normalteiler 1 �= N � A ist die Vereinigung von Konjugationsklassen von A. Daher<br />
ist 13 � N | 60, d. h. |N| ∈ {15, 20, 30, 60}. Keine <strong>der</strong> Elemente außer <strong>der</strong> 60 kann als<br />
Summe <strong>der</strong> Zahlen 1, 12, 15, 20 dargestellt werden. Damit ist |N| = 60. Also ist Alt(5)<br />
eine einfache Gruppe.<br />
Bemerkung 13.6<br />
Für n � 3 operiert Alt(n) mehrfach o<strong>der</strong> genauer (n − 2)-transitiv auf {1, . . . , n},<br />
denn <strong>für</strong> paarweise verschiedene Elemente a1, . . . , an � � �<br />
∈ {1, . . . , n} gehört<br />
�<br />
entwe<strong>der</strong><br />
1 2 . . . n − 2 n − 1 n 1 2 . . . n − 2 n − 1 n<br />
o<strong>der</strong><br />
zu Alt(n).<br />
a1 a2 . . . an−2 an−1 an<br />
Natürlich operiert Sym(n) sogar n-transitiv auf {1, . . . , n}.<br />
Satz 13.6<br />
Für n � 5 ist Alt(n) immer einfach.<br />
a1 a2 . . . an−2 an an1<br />
BEWEIS:<br />
Der Beweis wird durch Induktion über n geführt. Für n = 5 wurde die Behauptung im<br />
obigen Beispiel nachgerechnet. Daher nehmen wir n � 6 an. Da A := Alt(n) mindestens<br />
4-transitiv operiert <strong>und</strong> damit nach Satz 11.12 primitiv auf Ω := {1, . . . , n} operiert,<br />
operiert auch je<strong>der</strong> Normalteiler 1 �= N � A nach Satz 11.11 transitiv auf Ω. Daher A =<br />
N·StbA(n) wegen des FRATTINI-Argument (Satz 11.6). Außerdem N∩StbA(n)�StbA(n).<br />
Da StbA(n) ∼ = Alt(n − 1) einfach ist, folgt: N ∩ StbA(n) ∈ {1, StbA(n)}.<br />
Im Fall StbA(n) = StbA(n) ∩ N ⊆ N ist A = N · StbA(n) = N, d. h. wir sind fertig.<br />
An<strong>der</strong>nfalls sei N ∩ StbA(n) = 1. Dann operiert <strong>der</strong> Normalteiler N regulär auf Ω.<br />
Insbeson<strong>der</strong>e ist |N| = n. Für i = 1, . . . , n existiert genau ein Element xi ∈ N mit<br />
xi(n) = i <strong>und</strong> die Abbildung Ω → N mit i ↦→ xi ist bijektiv. Für g ∈ StbA(n) ist<br />
gxig −1 ∈ N mit (gxig −1 )(n) = (gxi)(n) = g(i), also gxig −1 = x g(i). Daher operiert<br />
StbA(n) auf N durch Konjugation genauso wie auf Ω <strong>und</strong> auf Ω \ {n} genauso wie auf<br />
N \ {1}, nämlich (n − 3)-transitiv. Wegen n � 6 folgt aus <strong>der</strong> Aufgabe 41, dass n − 3 � 3,<br />
d. h. n = 6. Dann ist einerseits n − 3 = 3 <strong>und</strong> an<strong>der</strong>erseits n = |N| = 4. � �<br />
Beispiel 13.4<br />
Wegen |Alt(3)| = 3 ist auch Alt(3) einfach. Dagegen ist Alt(4) nicht einfach. Denn<br />
V4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} � Alt(4). Genauer hat Alt(4) die folgenden Konjugationsklassen<br />
(1) mit Länge 1, (12)(34) mit Länge 3, (123) mit Länge 4 <strong>und</strong> (132) mit<br />
Länge 4. Daher sind 1, V4 <strong>und</strong> Alt(4) die einzigen Normalteiler von Alt(4).<br />
Satz 13.7<br />
Es ist Sym(n) ′ = Alt(n) <strong>für</strong> n ∈ N.<br />
80
BEWEIS:<br />
Œ sei n � 3 <strong>und</strong> S := Sym(n), A := Alt(n). Wegen |S/A| = 2 ist S/A abelsch, insbeson<strong>der</strong>e<br />
ist S ′ ⊆ A <strong>und</strong> damit S ′ � A. Für n �= 4 ist A einfach. Daher ist S ′ ∈ {1, A}.<br />
Falls S ′ = 1 wäre S abelsch.� Daher ist S ′ = A <strong>für</strong> n �= 4.<br />
Sei n = 4. Dann müssen wir nur noch die Möglichkeit, dass S ′ = V4 ausschließen. Dies<br />
folgt aber wegen S ′ � Sym(3) ′ = Alt(3) <strong>und</strong> Alt(3) � V4. �<br />
Satz 13.8<br />
Sei G einfach, |G| = 60 ⇒ G ∼ = Alt(5).<br />
BEWEIS:<br />
Wir nehmen vorerst an, dass es eine Untergruppe H < G mit |G: H| =: n � 4. Dann<br />
induziert die G-Menge G/H einen Homomorphismus f: G → Sym(n) mit <strong>der</strong> Kern<br />
K := �<br />
g∈G gHg−1 � H < G. Da G einfach, folgt K = 1, also ist f injektiv. Dies steht im<br />
Wi<strong>der</strong>spruch wegen |G| > |Sym(n)|.<br />
Nun nehmen wir an |G: H| � 6 <strong>für</strong> alle H < G. Sei P ∈ Syl 2(G), also |P| = 4 <strong>und</strong><br />
P � NG(P) < G. Wegen |G: NP(G)| � 6 folgt NG(P) = P. Folglich ist die Anzahl <strong>der</strong><br />
2-Sylowgruppe von G: |Syl 2(G)| = |G: NG(P)| = 15 �≡ 1 (mod 4). Nach <strong>der</strong> Aufgabe<br />
42existieren P, P ∗ ∈ Syl 2(G) mit 1 < D := P ∩ P ∗ < P. Also P < 〈P, P ∗ 〉 ⊆ NG(D) < G.<br />
Wi<strong>der</strong>spruch wegen |G: NG(D)| � 6.<br />
Also enthält G eine Untergruppe H vom Index 5. Die G-Menge G/H liefert einen<br />
Homomorphismus f: G → Sym(5) mit ker f =: K = �<br />
g∈G gHg−1 � H < G. Somit<br />
folgt, dass K = 1. Nach dem Homomorphiesatz ist B := Bld(f) � Sym(5) <strong>und</strong><br />
|B| = 60. Weil |Sym(5): B| = 2 ist B � Sym(5) <strong>und</strong> Sym(5)/B ist abelsch. Daher enthält<br />
B ⊇ Sym(5) ′ = Alt(5), d. h. Alt(5) = B ∼ = G. �<br />
81<br />
link einfügen
14. Hallgruppen<br />
Es geht um Verallgemeinerungen des Satzes von SYLOW.<br />
Definition 14.1<br />
Sei π ⊆ P <strong>und</strong> π ′ := P \ π. Eine endliche Gruppe G heißt π-Gruppe, falls je<strong>der</strong> Primteiler<br />
<strong>der</strong> Gruppenordnung in π liegt. Ein Gruppenelement g heißt π-Element, falls 〈g〉<br />
eine π-Gruppe ist. Eine π-Untergruppe H einer beliebigen endlichen Gruppe G heißt<br />
π-HALL-Gruppe von G, falls je<strong>der</strong> Primteiler vom Index |G: H| zu π ′ gehört. Sei Hallπ(G)<br />
die Menge aller π-Hallgruppen von G.<br />
Bemerkung 14.1<br />
(i) Für p ∈ P <strong>und</strong> π := {p} sind die π-Gruppen genau die p-Gruppen, die π-Elemente<br />
genau die p-Elemente <strong>und</strong> die π-Hallgruppen genau die p-Sylowgruppen. Statt π ′<br />
schreibt man dann auch p ′ .<br />
(ii) Im Allgemeinen ist Hallπ(g) = ∅. Beispielsweise enthält die alternierende Gruppe<br />
vom Grad 5 Alt(5) keine {2, 5}-Hallgruppe H. Denn wegen |Alt(5)| = 60 = 2 2 · 3 · 5<br />
wäre die Ordnung von H = 20 <strong>und</strong> <strong>der</strong> Index 3. Dies würde einen nichttrivialen<br />
Homomorphismus f: Alt(5) → Sym(3) liefern <strong>und</strong> das steht im Wi<strong>der</strong>spruch zur<br />
Einfachheit von Alt(5).<br />
(iii) Im Allgemeinen sind nicht alle π-Hallgruppen einer endlichen Gruppe konjugiert,<br />
z. B. existiert in <strong>der</strong> Gruppe GL(3, F2) <strong>der</strong> Ordnung (2 3 − 1)(2 3 − 2)(2 3 − 2 2 ) =<br />
168 = 2 3 · 3 · 7 nichtkonjugierte Hallgruppen <strong>der</strong> Ordnung 24 (siehe Übung).<br />
Satz 14.1<br />
Seien G eine endliche Gruppe, π ⊆ P <strong>und</strong> H ∈ Hallπ(G). Dann gilt:<br />
(i) N � G ⇒ H ∩ N ∈ Hallπ(N) <strong>und</strong> HN/N ∈ Hallπ(G/N)<br />
(ii) NG(NG(H)) = NG(H)<br />
BEWEIS:<br />
(i) Einerseits ist H ∩ N eine π-Gruppe wegen |H ∩ N| | |H| <strong>und</strong> wegen |N: H ∩ N| =<br />
|NH: H| | |G: H| gehört je<strong>der</strong> Primteiler vom Index |N: H ∩ N| zu π ′ . Also ist<br />
H ∩ N ∈ Hallπ(N).<br />
82<br />
Wegen |HN/N| = |H/H ∩ N| | |H| ist HN/N eine π-Gruppe. Wegen |G/N: HN/N| =<br />
|G: HN| | |G: H| gehört je<strong>der</strong> Primteiler von |G/N: HN/N| zu π ′ . Daher ist HN/N<br />
eine π-Hallgruppe von G/N.
(ii) Sicher ist H � NG(H) H ∈ Hallπ(NG(H)). Für x ∈ NG(NG(H)) ist xHx −1 �<br />
xNG(H)x −1 = NG(H). Wegen |H(xHx −1 ): H| = |xHx −1 : xHx −1 ∩ H| | |xHx −1 | =<br />
|H| <strong>und</strong> |H(xHx −1 ): H| | |G: H| gehört je<strong>der</strong> Primteiler von |H(xHx −1 ): H| zu π ∩<br />
π ′ = ∅. Daher muss <strong>der</strong> Index gleich 1 sein. Das heißt, H = H(xHx −1 ) � xHx −1 .<br />
Wegen |H| = |xHx −1 | folgt, H = xHx −1 , d. h. x ∈ NG(H). Damit ist gezeigt,<br />
NG(NG(H)) ⊆ NG(H) ⊆ NG(NG(H)). �<br />
Satz 14.2<br />
Seien G eine endliche Gruppe, π ⊆ P <strong>und</strong> A ∈ Hallπ(G) normal <strong>und</strong> abelsch. Dann ist<br />
Hallπ ′(G) �= ∅ <strong>und</strong> es gilt H1 ∼G H2 <strong>für</strong> alle H1, H2 ∈ Hallπ ′(G).<br />
BEWEIS:<br />
Der Beweis geht auf WIELANDT zurück. Die Nebenklassen nach dem Normalteiler A seien<br />
von 1 bis n = |G: A| nummeriert. Für jedes Repräsentantensystem R <strong>für</strong> die Nebenklassen<br />
G/A <strong>und</strong> i = 1, . . . , n sei ri ∈ R das Element in <strong>der</strong> i-ten Nebenklasse. Außerdem sei R die<br />
Menge aller Repräsentantensysteme. Für R, S ∈ R setzt man R ∼ S: ⇔ �n −1<br />
i=1 risi = 1.<br />
Es ist immer ris −1<br />
i ∈ A. Da A abelsch ist, ist die Relation ein Äquivalenzrelation. Die<br />
Menge <strong>der</strong> Äquivalenzklassen [R] sei R/∼. Es operiert G auf R durch Linksmultiplikation.<br />
Für g ∈ G <strong>und</strong> R, S ∈ R mit R ∼ S gilt gR ∼ gS. Daher operiert G auf R/∼ durch<br />
g[R] := [gR]. Insbeson<strong>der</strong>e operiert A auf R/∼. Wir behaupten, dass A regulär auf R/∼<br />
operiert.<br />
Zum Beweis <strong>der</strong> Regularität seien R, S ∈ R. Dann: �n −1<br />
i=1 risi =: a ∈ A. Wegen <strong>der</strong><br />
Eigenschaft, dass ggT(n, |A|) = 1 ist die Abbildung A → A mit b ↦→ bn injektiv, also auch<br />
bijektiv. Folglich existiert ein x ∈ A mit xn = a−1 . Daher ist �n −1<br />
i=1 xrisi = xna = 1,<br />
d. h. xR ∼ S. Also ist x[R] = [xR] = [S]. Dies zeigt, A ist transitiv auf R/∼.<br />
Seien R ∈ R <strong>und</strong> x ∈ A mit [R] = x[R] = [xR], d. h. xR ∼ R. Dann haben wir 1 =<br />
� n<br />
i=1<br />
xrir −1<br />
i = xn . Also x = 1. Somit operiert A regulär auf R/∼.<br />
Insbeson<strong>der</strong>e ist |R/∼| = |A| <strong>und</strong> G operiert transitiv auf R/∼. Für H := StbG([R]) gilt<br />
also: |A| = |R/∼| = |G: H| <strong>und</strong> |H| = |G: A|. Daher ist H ∈ Hallπ ′(G).<br />
Sei K ∈ Hallπ ′(G) beliebig. Dann ist |K| = |G: A| = n <strong>und</strong> K ∩ A = 1, denn eines ist eine<br />
π-Gruppe <strong>und</strong> das an<strong>der</strong>e ein π ′ -Gruppe. Dies bedeutet, |KA| = |K|·|A| = |G: A|·|A| = |G|.<br />
Insbeson<strong>der</strong>e ist K ∈ R. Da G transitiv auf <strong>der</strong> Menge R/∼ operiert, ist |G: StbG([K])| =<br />
|R/∼| = |A| = |G: K|. Wegen K ⊆ StbG([K]) folgt, K = StbG([K]). Da G transitiv auf R/∼<br />
operiert, sind H = StbG([R]) <strong>und</strong> K StbG([K]) in G konjugiert. �<br />
Satz 14.3 (Satz von SCHUR-ZASSENHAUS)<br />
Seien G eine endliche Gruppe, π ⊆ P <strong>und</strong> N ∈ Hallπ(G) normal. Dann ist Hallπ ′(G) �= ∅.<br />
Ist N o<strong>der</strong> G/N auflösbar, so gilt, H1 ∼ H2 <strong>für</strong> H1, H2 ∈ Hallπ ′(G).<br />
BEWEIS:<br />
Zur Existenz: Man macht eine Induktion nach <strong>der</strong> Gruppenordnung. Œ sei N �= 1.<br />
Denn an<strong>der</strong>nfalls ist G eine π ′ -Hallgruppe. Weiter sei π ∈ P mit p | |N| <strong>und</strong> P ∈<br />
Syl p(N). Nach dem FRATTINI-Argument gilt dann G = N · NG(P), also |NG(P): NG(P) ∩<br />
83
14. Hallgruppen<br />
N| = |NG(P)N/N| = |G: N|. Daher ist NG(P) ∩ N ∈ Hallπ(NG(P)) normal <strong>und</strong> jede<br />
π-Hallgruppe von NG(P) ist auch eine von G. Daher sei Œ G = NG(P), d. h. P � G.<br />
Wegen p �= 1 ist 1 �= Z(P) � G <strong>und</strong> N/Z(P) ∈ Hallπ(G/Z(P)) normal. Nach Induktion<br />
existiert eine Untergruppe U/Z(P) ∈ Hallπ ′(G/Z(P)). Dann ist das Zentrum von P eine<br />
normale <strong>und</strong> abelsche π-Hallgruppe von U. Nach Satz 14.2 existiert ein H ∈ Hallπ ′(U).<br />
Wegen |H| = |U: Z(P)| = |G/Z(P): N/Z(P)| = |G: N| ist H ∈ Hallπ ′(G).<br />
Nun müssen wir uns Gedanken zur Eindeutigkeit machen. Hierzu führen wir eine Induktion<br />
über die Gruppenordnung durch. Seien H, H∗ ∈ Hallπ ′(G). Insbeson<strong>der</strong>e ist<br />
|G| = |G: N| = |H∗ |. Nun sei Œ N �= 1. Zunächst nehmen wir an, dass N auflösbar ist <strong>und</strong><br />
n ∈ N0 mit N (n) �= 1 = N (n+1) ist. Dann ist N (n) � G <strong>und</strong> N/N (n) ∈ Hallπ(G/N (n) )<br />
normal. Ferner: HN (n) /N (n) , H∗N (n) /N (n) ∈ Hallπ ′(G/N(n) ). Nach Induktion existiert<br />
ein gN (n) ∈ G/N (n) mit<br />
H ∗ N (n) /N (n) = (gN (n) )(HN (n) /N (n) )(gN (n) ) −1 = (gHg −1 )N (n) /N (n)<br />
Das heißt, H ∗ N (n) = (gHg −1 )N (n) . Daher ist H ∗ , gHg −1 ∈ Hallπ ′(H∗ N (n) ). Nach dem<br />
Satz 14.2 sind H ∗ , gHg −1 in H ∗ N (n) konjugiert <strong>und</strong> wir sind in diesem Fall fertig.<br />
Sei nun also G/N auflösbar <strong>und</strong> Œ G/N �= 1. Sei M/N ein minimaler Normalteiler von<br />
G/N. Dann ist M/N charakteristisch einfach, also abelsche p-Gruppe <strong>für</strong> ein p ∈ π ′ .<br />
Ferner: H ∩ M ∈ Hallπ ′(M) <strong>und</strong> (H ∩ M)N/N ∈ Hallπ ′(M/N). Da M/N eine π′ -Gruppe<br />
ist, folgt, (H ∩ M)N/N = M/N <strong>und</strong> (H ∩ M)N = M. Insbeson<strong>der</strong>e H ∩ M ∼ = H ∩<br />
M/H ∩ M ∩ N ∼ = (H ∩ M)N/N = M/N, d. h. H ∩ M ∈ Syl p(M) abelsch. Analog:<br />
H ∗ ∩ M ∈ Syl p(M). Nach dem Satz von SYLOW (Satz 12.4) existiert ein m ∈ M mit<br />
H ∩ M = m(H ∗ ∩ M)m −1 = mH ∗ m −1 ∩ M. Daher ist H, H ∗∗ := mH ∗ m −1 ∈ Hallπ ′(U)<br />
<strong>für</strong> U := NG(H ∩ M). Außerdem haben wir |U: U ∩ N| = |UN/N| | |G: N|, d. h. U ∩ N ∈<br />
Hallπ(U) normal. Im Fall U < G gilt nach Induktion: H ∼U H ∗∗ <strong>und</strong> wir sind fertig.<br />
Sei daher U = G, d. h. P := H ∩ M � G. Dann NP/P ∈ Hallπ(G/P) normal <strong>und</strong><br />
H/P, H ∗∗ /P ∈ Hallπ ′(G/P). Nach Induktion ist H/P ∼ G/P H ∗∗ /P, also auch H ∼G H ∗∗ .<br />
Damit gilt auch H ∼G H ∗ . �<br />
Bemerkung 14.2<br />
Wegen ggT(|N|, |G/N|) = 1 hat N o<strong>der</strong> G/N ungerade Ordnung. Nach dem Satz von<br />
FEIT-THOMPSON ist N o<strong>der</strong> G/N auflösbar. Das heißt, die Auflösbarkeitsvoraussetzung ist<br />
also in Wirklichkeit überflüssig. Der Beweis <strong>der</strong> Tatsache ohne Verwendung des Satzes<br />
von FEIT-THOMPSON ist bis heute unbekannt.<br />
Satz 14.4 (Satz von HALL)<br />
Für jede auflösbare endliche Gruppe G <strong>und</strong> alle π ⊆ P gilt:<br />
(i) G hat ein π-Hallgruppe.<br />
(ii) Je zwei π-Hallgruppen von G sind konjugiert.<br />
(iii) Jede π-Untergruppe von G ist in einer π-Hallgruppe von G enthalten.<br />
84
BEWEIS:<br />
Der Beweis wird wie schon in den obigen Aussagen per Induktion nach <strong>der</strong> Gruppenordnung<br />
durchgeführt. Œ sei G �= 1 <strong>und</strong> N ein minimaler Normalteiler von G. Dann ist N<br />
eine abelsche p-Gruppe <strong>für</strong> ein p ∈ P.<br />
(i) Da G/N auflösbar ist, existiert nach Induktion ein H/N ∈ Hallπ(G/N). Im Fall<br />
p ∈ π ist H ∈ Hallπ(G). Sei also p /∈ π. Dann: N ∈ Sylp(H) normal. Nach<br />
dem Satz von SCHUR-ZASSENHAUS (Satz 14.3) existiert ein K ∈ Hallπ ′(N). Dann:<br />
K ∈ Hallπ(H) <strong>und</strong> K ∈ Hallπ(G).<br />
(ii) Hier ist gleich <strong>der</strong> Beweis <strong>der</strong> dritten Aussage mit eingeschlossen. Seien U eine<br />
π-Untergruppe von G <strong>und</strong> H ∈ Hallπ(G). Wir zeigen, dass ein g ∈ G mit<br />
U ⊆ gHg −1 existiert. Offenbar ist UN/N ∼ = U/U ∩ N eine π-Untergruppe von<br />
G/N <strong>und</strong> HN/N ∈ Hallπ(G/N). Nach Induktion existiert ein xN ∈ G/N mit<br />
UN/N ⊆ (xN)(HN/N)(xN) −1 = (xHx −1 )N/N, d. h. U ⊆ UN ⊆ (xHx −1 )N. Offenbar<br />
ist U eine π-Untergruppe von (xHx −1 )N <strong>und</strong> xHx −1 ∈ Hallπ((xHx −1 )N).<br />
Im Fall (xHx −1 )N < G existiert also nach Induktion ein y ∈ (xHx −1 )N mit<br />
U ⊆ yxHx −1 y −1 <strong>und</strong> wir sind fertig.<br />
Sei also G = (xHx −1 )N = xHNx −1 , also auch G = HN. Im Fall p ∈ π ist G eine<br />
π-Gruppe, also G = H <strong>und</strong> die Behauptung ist trivial. Daher sei p ∈ π ′ . Dann:<br />
N ∈ Sylp(NU) normal <strong>und</strong> U ∈ Hallπ<br />
|N||U||H|<br />
|G|<br />
′(NU). An<strong>der</strong>erseits ist |NU ∩ H| = |NU||H|<br />
|NUH| =<br />
= |U|, d. h. NU∩H ∈ Hallπ ′(NU). Nach dem Satz von SCHUR-ZASSENHAUS<br />
existiert ein g ∈ NU mit U = g(NU ∩ H)g −1 ⊆ gHg −1 .<br />
(iii) Siehe Beweis zum oben stehenden Punkt. �<br />
Bemerkung 14.3<br />
P. HALL hat auch bewiesen, dass umgekehrt jede endliche Gruppe G mit Hallπ(G) �= ∅<br />
<strong>für</strong> alle π ⊆ P auflösbar ist. Der Beweis verwendet den p a q b -Satz von BURNSIDE.<br />
Satz 14.5 (Satz von O. SCHMIDT)<br />
Für jede endliche nichtnilpotente Gruppe G, in <strong>der</strong> jede echte Untergruppe nilpotent ist,<br />
gilt:<br />
(i) G ist auflösbar.<br />
(ii) Es existieren p, q ∈ P <strong>der</strong>art, dass G eine {p, q}-Gruppe mit einer zyklischen<br />
p-Sylowgruppe <strong>und</strong> einer normalen q-Sylowgruppe ist.<br />
BEWEIS:<br />
(i) Seien G ein Gegenbeispiel minimaler Ordnung <strong>und</strong> N ein minimaler Normalteiler<br />
von G. Dann ist jede echte Untergruppe von G/N nilpotent. Da G/N kein<br />
Gegenbeispiel ist, ist G/N auflösbar. Im Fall N < G ist N nilpotent, also ist G<br />
auflösbar.<br />
Sei also N = G. Dann ist G einfach. Seien M1, M2 verschiedene maximale Untergruppen<br />
von G <strong>der</strong>art, dass D := M1 ∩ M2 möglichst groß ist.<br />
85
14. Hallgruppen<br />
Ist D �= 1, so folgt <strong>für</strong> i = 1, 2 aus <strong>der</strong> Nilpotenz von Mi <strong>und</strong> <strong>der</strong> Einfachheit von G:<br />
D < NMi (D) � NG(D) < G. Daher existiert eine maximale Untergruppe M3 � G<br />
mit NG(D) ⊆ M3. Dann ist D < NMi (D) � Mi ∩ M3, also Mi = M3 nach <strong>der</strong><br />
Wahl von M1 <strong>und</strong> M2. Daher sind M1 <strong>und</strong> M2 gleich. Das ist aber ein Wi<strong>der</strong>spruch<br />
zur Voraussetzung.<br />
Folglich ist M ∩ M ∗ = 1 <strong>für</strong> je zwei verschiedene maximale Untergruppen M, M ∗ �<br />
G. Da G einfach ist, ist NG(M) = M. Insbeson<strong>der</strong>e hat M genau |G: M| Konjugationen<br />
in G. Seien M1, . . . , Ms Repräsentanten <strong>für</strong> die Konjugationsklassen maximaler<br />
Untergruppen von G. Dann:<br />
|G| = 10<br />
s�<br />
(|Mi| − 1)|G: Mi| = 1 + s|G| −<br />
i=1<br />
� 1 + s|G| − s |G|<br />
2<br />
= 1 + s|G|<br />
2<br />
s�<br />
|G: Mi|<br />
� �� �<br />
i=1<br />
�|G|/2<br />
(ii) Sei |G| = p a1<br />
1 · . . . · par r die Primfaktorzerlegung von |G| <strong>und</strong> H ein maximaler<br />
Normalteiler von G. Nach dem obigen Punkt ist |G: H| ∈ P. Œ setzen wir |G: H| =<br />
p1. Nach <strong>der</strong> Voraussetzung ist H nilpotent, hat also <strong>für</strong> i = 2, . . . , r genau eine<br />
pi-Sylow-Gruppe Pi. Dann ist Pi charakteristisch in H, also Pi�G <strong>und</strong> Pi ∈ Sylpi (G).<br />
Ferner sei P1 ∈ Sylp(G). Wir nehmen an, dass r � 3 ist. Für i = 2, . . . , r ist dann P1Pi < G, d. h. P1Pi<br />
ist nilpotent. Insbeson<strong>der</strong>e ist Pi ⊆ NG(P1). Wegen P1 ⊆ NG(P1) ist also |G| =<br />
p a1<br />
1 · . . . · par r | |NG(P1)|. Folglich ist P1 � G. Nach dem Satz 12.8 ist G nilpotent. �<br />
Also ist r = 2.<br />
Nun nehmen wir weiter an, dass P1 nicht zyklisch ist. Für x ∈ P1 ist dann 〈x〉P2 < G,<br />
also 〈x〉P2 nilpotent. Insbeson<strong>der</strong>e P2 ⊆ CG(P1) ⊆ NG(P1), also wie<strong>der</strong> P1 � G ��<br />
Satz 14.6 (Satz von WIELANDT)<br />
Seien G eine endliche Gruppe, π ⊆ P <strong>und</strong> H ∈ Hallπ(G) nilpotent. Dann existiert zu je<strong>der</strong><br />
π-Untergruppe U � G ein g ∈ G mit U � gHg −1 .<br />
BEWEIS:<br />
Der Beweis wird per Induktion nach |U| durchgeführt. Sei Œ U �= 1. Nach Induktion<br />
existiert zu je<strong>der</strong> Untergruppe V < U ein g ∈ G mit V ⊆ gHg −1 . Dann sind gHg −1 ∼ = H<br />
<strong>und</strong> V nilpotent.<br />
Ist U nicht nilpotent, so existiert nach Satz 14.5 ein q ∈ P <strong>und</strong> Q ∈ Syl q(U) mit 1 �= Q�U<br />
<strong>und</strong> U/Q ist eine endliche p-Gruppe <strong>für</strong> ein p ∈ P \ {q}.<br />
Ist U nilpotent <strong>und</strong> p ∈ P mit p | |U| sowie P ∈ Syl p(U), so existiert ein Q � U mit<br />
U = P ⊕ Q.<br />
86
In beiden Fällen ist Q � U. Mit ρ := π \ {p} ist Q eine ρ-Untergruppe von G. Da H<br />
nilpotent ist, existiert eine Zerlegung H = H1 ⊕ H2 mit H1 ∈ Syl p(H). Dann ist H2 ∈<br />
Hallρ(H) ⊆ Hallρ(G). Nach Induktion existiert ein x ∈ G mit Q ⊆ xH2x −1 . Insbeson<strong>der</strong>e<br />
NG(Q) � 〈xH1x −1 , U〉. Offenbar: xH1x −1 ∈ Syl p(G) <strong>und</strong> xH1x −1 ∈ Syl p(NG(Q)). Zu<br />
<strong>der</strong> p-Untergruppe P � NG(Q) existiert also ein y ∈ NG(Q) mit P ⊆ y(xH1x −1 )y −1 .<br />
Wegen Q = yQy −1 ⊆ yxH2x −1 y −1 ist U = P ⊕ Q ⊆ yxH1x −1 y −1 · yxH2x −1 y −1 ⊆<br />
yxH1H2x −1 y −1 = yxHx −1 y −1 . �<br />
Definition 14.2 (Komplement)<br />
Seien H <strong>und</strong> K Untergruppen einer Gruppe G mit H ∩ K = 1 <strong>und</strong> HK = G. Dann heißt K<br />
Komplement von H in G.<br />
Bemerkung 14.4<br />
Gegebenenfalls ist |G| = |H| · |K|.<br />
Satz 14.7 (Satz von GALOIS)<br />
Je<strong>der</strong> minimale Normalteiler M einer endlichen auflösbaren Gruppe G mit M = CG(M)<br />
hat ein Komplement in G <strong>und</strong> je zwei Komplemente von M in G sind in G konjugiert.<br />
BEWEIS:<br />
Sei Œ M �= G. Da M charakteristisch einfach ist, ist M eine abelsche p-Gruppe <strong>für</strong> ein<br />
p ∈ P. Sei N/M ein minimaler Normalteiler von G/M.<br />
G<br />
��<br />
N<br />
Dann ist N/M eine abelsche q-Gruppe <strong>für</strong> ein q ∈ P. Im Fall p = q wäre N eine p-Gruppe,<br />
also nilpotent. Folglich wäre 1 �= Z(N) ∩ M � G, also M = Z(N) ∩ M ⊆ Z(N) nach <strong>der</strong><br />
Wahl von M. Dann ist N ⊆ CG(M) <strong>und</strong> steht somit im Wi<strong>der</strong>spruch zu CG(M) = M.<br />
Somit ist p �= q. Für Q ∈ Syl q(N) ist N = QM <strong>und</strong> G = NG(Q)N = NG(Q)QM =<br />
NG(Q)M nach dem Argument von FRATTINI. Offenbar ist NG(Q) ∩ M � NG(Q) <strong>und</strong><br />
NG(Q) ∩ M � M, da M abelsch ist. Somit gilt:<br />
(14.1)<br />
q y<br />
��<br />
M<br />
p x<br />
��<br />
1<br />
NG(Q) ∩ M � NG(Q)M = G<br />
Wegen <strong>der</strong> Minimalität von M ist NG(Q)∩M ∈ {1, M}. Im Fall M = NG(Q)∩M ⊆ NG(Q)<br />
wäre G = NG(Q) wegen Gleichung 14.1, d. h. Q � G. Wegen M ∩ Q = 1 wäre also<br />
Q ⊆ CG(M) = M. Also haben wir NG(Q) ∩ M = 1, d. h. NG(Q) ist Komplement von M<br />
in G.<br />
87
14. Hallgruppen<br />
Sei H ein beliebiges Komplement von M in G. Dann ist R := H ∩ N � H <strong>und</strong> N =<br />
G ∩ N = MH ∩ N = M(H ∩ N) = MR. Die vorletzte Gleichheit resultiert aus <strong>der</strong><br />
DEDEKINDschen Identität. Weiterhin haben wir auch M ∩ R ⊆ M ∩ H = 1. Folglich:<br />
|R| = |N: M| = |Q|, d. h. R ∈ Syl q(N). Daher existiert ein g ∈ N mit R = gQg −1<br />
(nach SYLOW). Daher: H ⊆ NG(R) = NG(gQg −1 ) = gNG(Q)g −1 . An<strong>der</strong>erseits ist<br />
|H| = |G: M| = |NG(Q)| = |gNG(Q)g −1 |, d. h. H = gNG(Q)g −1 . �<br />
Bemerkung 14.5<br />
Seien G eine endliche Gruppe <strong>und</strong> π ⊆ P. Für die π-Normalteiler M, N � G ist auch<br />
MN � G ein π-Normalteiler. Daher ist das Produkt aller π-Normalteiler von G ein<br />
π-Normalteiler, Oπ(G), <strong>der</strong> π-Kern von G heißt. Für jeden π-Normalteiler N � G ist<br />
Oπ(G/N) = Oπ(G)/N, insbeson<strong>der</strong>e ist Oπ(G/Oπ(G)) = Oπ(G)/Oπ(G) = 1. Für p ∈ P<br />
<strong>und</strong> π := {p} setzt man Op(G) := Oπ(G).<br />
Satz 14.8 (HALL-HIGMANN-Lemma)<br />
Für jede auflösbare endliche Gruppe G <strong>und</strong> <strong>für</strong> alle π ⊆ P mit Oπ ′(G) = 1 ist CG(Oπ(G)) ⊆<br />
Oπ(G).<br />
BEWEIS:<br />
Wegen Oπ(G) � G ist C := CG(Oπ(G)) � G, d. h. <strong>der</strong> Zentralisator eines Normalteilers<br />
ist wie<strong>der</strong> ein Normalteiler. Weiterhin ist Oπ(G) � G, d. h. Oπ(C) ⊆ Oπ(G) Im Fall<br />
C = Oπ(C) sind wir fertig.<br />
Sei also Oπ(C) < C <strong>und</strong> N � G möglichst klein mit Oπ(C) < N � C. Dann ist<br />
N/Oπ(C) charakteristisch einfach, also eine abelsche p-Gruppe <strong>für</strong> ein p ∈ P. Wegen<br />
Oπ(C/Oπ(C)) = 1 ist p /∈ π. Für P ∈ Syl p(N) ist<br />
(14.2)<br />
N = Oπ(C)P<br />
<strong>und</strong> Oπ(C) ∩ P = 1. Außerdem: P ⊆ N ⊆ G = CG(Oπ(G)) ⊆ CG(Oπ(C)), d. h. mit<br />
Gleichung 14.2 ist P � N. Also: Syl p(N) = {P}. Insbeson<strong>der</strong>e ist P charakteristisch in N.<br />
Also: P � G <strong>und</strong> 1 �= P ⊆ Oπ ′(G) = 1. �<br />
88
15. Lineare Gruppen<br />
Satz 15.1 (Lemma von IWASAWA)<br />
Sei G eine perfekte Gruppe, Ω eine treue, primitive G-Menge, α ∈ Ω <strong>und</strong> A ein auflösbarer<br />
Normalteiler von H := StbG(α) mit G = 〈gAg −1 : g ∈ G〉. Dann ist G einfach.<br />
BEWEIS:<br />
Sei 1 � N � G. Da G treu <strong>und</strong> primitiv auf Ω operiert, ist N transitiv auf Ω. Nach<br />
dem Argument von FRATTINI ist also G = NH. Wegen A � H ist H ⊆ NG(NA). Wegen<br />
NA ⊆ NG(NA) ist G = NH ⊆ NG(NA) ⊆ G, d. h. NA � G. Daher:<br />
G = 〈gAg −1 : g ∈ G〉 = 〈gNAg −1 : g ∈ G〉 = NA<br />
Folglich: G/N = AN/N ∼ = A(A∩N) auflösbar. An<strong>der</strong>erseits ist (G/N) ′ = G ′ N/N = G/N.<br />
Insgesamt haben wir G/N = 1, d. h. N = G. �<br />
Bemerkung 15.1<br />
(i) Seien K ein Körper <strong>und</strong> V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Dann gilt:<br />
Z := { α idV | α ∈ K ∗ } � Z(GL(V))<br />
Denn <strong>für</strong> g ∈ GL(V), α ∈ K ∗ , v ∈ V gilt: (g(α idV)g −1 )(v) = g(αg −1 (v)) =<br />
αg(g −1 (v)) = (α idV)(v). Man nennt PGL(V) := GL(V)/Z projektive allgemei-<br />
ne lineare Gruppe von V.<br />
(ii) Aus (i) folgt: Z ∩ SL(V) = � �<br />
�<br />
α idV<br />
� α ∈ K, αdim V = 1 � Z(SL(V)). Man nennt<br />
PSL(V) := SL(V)/(SL(V) ∩ Z) ∼ = SL(V)Z/Z � PGL(V) die projektive spezielle<br />
lineare Gruppe von V.<br />
(iii) Für eine natürliche Zahl n ist also Z := { α1n | α ∈ K ∗ } � Z(GL(n, K)) <strong>und</strong><br />
GL(n, K)/Z =: PGL(n, K) heißt projektive allgemeine lineare Gruppe des Grades<br />
n über K.<br />
(iv) Daher ist Z ∩ SL(n, K) = { α1n | α ∈ K, α n = 1 } � Z(SL(n, K)) <strong>und</strong> PSL(n, K) :<br />
= SL(n, K)/ SL(n, K) ∩ Z heißt projektive spezielle lineare Gruppe de Grades n<br />
über K.<br />
(v) Für jeden K-Vektorraum V <strong>der</strong> Dimension n < ∞ gilt:<br />
GL(V) ∼ = GL(n, K) SL(V) ∼ = SL(n, K)<br />
PGL(V) ∼ = PGL(n, K) PSL(V) ∼ = PSL(n, K)<br />
89
15. Lineare Gruppen<br />
Bemerkung 15.2<br />
Für jeden Körper K <strong>und</strong> jeden K-Vektorraum V mit 1 < dim V < ∞ operiert GL(V) auf<br />
<strong>der</strong> Menge Ω aller eindimensionalen Untervektorräume U ⊆ V:<br />
g U := g(U) g ∈ GL(U), U ∈ Ω<br />
Dabei operiert Z = { α idV | α ∈ K ∗ } trivial auf Ω. Daher operiert auch PGL(V) =<br />
GL(V)/Z <strong>und</strong> PSL(V) = SL(V)/ SL(V) ∩ Z auf Ω:<br />
g U := g U := g(U) g ∈ GL(V), g := gZ, U ∈ Ω<br />
g U := g U := g(U) g ∈ SL(V), g := g(SL(V) ∩ Z), U ∈ Ω<br />
Satz 15.2<br />
Die Operation von PSL(V) ist treu <strong>und</strong> 2-transitiv.<br />
BEWEIS:<br />
Seien U1 := Ku1, U2 := Ku2 ∈ Ω verschieden. Dann sind u1 <strong>und</strong> u2 linear unabhängig<br />
<strong>und</strong> lassen sich zu einer Basis u1, . . . , un ergänzen. Sind auch W1 = Kw1, W2 = Kw2 ∈<br />
Ω verschieden, so erhält man analog eine Basis w1, . . . , wn von V.<br />
Dann existiert genau ein g ∈ GL(V) mit g(Ui) = Wi. Sei δi = det(g) <strong>für</strong> i = 1, . . . , n.<br />
Dann existiert genau ein h ∈ GL(V) mit h(Ui) = δ −1 w <strong>und</strong> h(Ui) = wi <strong>für</strong> i = 2, . . . , n.<br />
Dabei ist det(h) = 1, d. h. h ∈ SL(V). Dann h U1 = W1, h U2 = W2.<br />
Da Z sowieso trivial auf Ω operiert, operiert PSL(V) zweitransitiv auf V. Sei g ∈ SL(V)<br />
im Kern <strong>der</strong> Operation. Für 1 = 1, . . . , n existiert dann ein αi ∈ K mit g(Ui) = αiui.<br />
Für verschiedene i, j ∈ {1, . . . , n} existiert auch ein bij ∈ K mit g(ui + uj) = bij(ui +<br />
uj). Dann: bijui + bijuj = g(ui + uj) = g(ui) + g(uj) = αiui + αjuj. Wegen <strong>der</strong><br />
Basiseigenschaft folgt damit αi = bij = αj. Also ist g = α1 idV ∈ Z <strong>und</strong> daher ist<br />
Z ∩ SL(V) <strong>der</strong> Kern <strong>der</strong> Operation von SL(V) auf Ω <strong>und</strong> PSL(V) operiert treu auf Ω. �<br />
Bemerkung 15.3<br />
Seien K ein Körper <strong>und</strong> n eine natürliche Zahl. Wir bezeichnen die Standardbasis von<br />
Kn×n mit eij <strong>für</strong> i, j = {1, . . . , n}. Beispielsweise <strong>für</strong> n = 2:<br />
� �<br />
� �<br />
1 0<br />
0 1<br />
e11 =<br />
e12 =<br />
0 0<br />
0 0<br />
� �<br />
� �<br />
0 0<br />
0 0<br />
e21 =<br />
e22 =<br />
1 0<br />
0 1<br />
Für α ∈ K <strong>und</strong> verschiedene i, j ∈ {1, . . . , n} setzen wir<br />
Satz 15.3<br />
Für jeden Körper K <strong>und</strong> 1 < n ∈ N gilt:<br />
90<br />
uij(α) := 1n + αeij ∈ SL(n, K)<br />
SL(n, K) = 〈uij(α): i, j = 1, . . . , n, i �= j, α ∈ K ∗ 〉
BEWEIS:<br />
Für alle i, j, α <strong>und</strong> beliebige a ∈ SL(n, K) ist uij(α)a die Matrix, die aus a durch Addition<br />
des α-fachen <strong>der</strong> j-ten Zeile zur i-ten entsteht. Die erste Spalte von a ist nicht 0. Falls<br />
nötig, multiplizieren wir a mit einem geeigneten uij(α) so, dass <strong>der</strong> Eintrag an <strong>der</strong><br />
Position (1, 1) gleich 1 ist. Analog kann man erreichen, dass die weiteren Einträge in <strong>der</strong><br />
ersten Spalte von a verschwinden.<br />
In Spalte 2 von a können nicht alle Einträge an den Positionen (2, 2), . . . , (n, 2) verschwinden.<br />
Durch Multiplikation mit einem geeigneten uij(α) kann man erreichen, dass <strong>der</strong><br />
Eintrag an <strong>der</strong> Position (2, 2) gleich 1 ist. Weiter kann man erreichen, dass alle an<strong>der</strong>en<br />
Einträge in <strong>der</strong> ersten Spalte verschwinden. So fährt man fort. Am Ende hat man eine<br />
Matrix <strong>der</strong> Form<br />
⎛<br />
1 0 0 . . . 0<br />
⎜<br />
0 1 0 . . . 0<br />
⎜<br />
g =<br />
.<br />
⎜ . 0<br />
⎝<br />
. ⎞<br />
⎟<br />
.<br />
.<br />
. 0<br />
.<br />
⎟<br />
. ⎟<br />
0 0 . . . 1 0⎠<br />
0 0 . . . 0 γ<br />
Da die Determinante <strong>der</strong> Matrix 1 ist, muss γ = 1 gelten, also ist g die Einheitsmatrix. Wir<br />
haben also b1, . . . , br ∈ SL(n, K) mit b1 · . . . · bra = 1n, wobei jedes bk ein geeignetes<br />
uij(α) ist. Wegen a = b −1<br />
r · . . . b −1<br />
1 folgt die Behauptung. �<br />
Satz 15.4<br />
Seien K ein Körper <strong>und</strong> 1 < n ∈ N. Dann ist SL(n, K) perfekt, außer im Fall (n, |K|) ∈<br />
{(2, 2), (2, 3)}.<br />
BEWEIS:<br />
Nach Satz 15.3 genügt es zu zeigen, dass jedes uij(α) ein Kommutator ist. Für i �= j ist<br />
e 2 ij = 0, also (1 + αeij)(1 − αeij) = 1. Folglich: uij(α) −1 = uij(−u).<br />
Sei zunächst n � 3. Für paarweise verschiedene i, j, k ∈ {1, . . . , n} gilt dann [1 + eij, 1 +<br />
αejk] = 1 + αeik.<br />
Nun sei n = 2. Für β, γ ∈ K+ <strong>und</strong> b :=<br />
[b, c] = · · · =<br />
�<br />
β 0<br />
0 β−1 �<br />
, c :=<br />
� �<br />
1 (β2 − 1)γ<br />
0 1<br />
� �<br />
1 γ<br />
gilt dann<br />
0 1<br />
Im Fall |K| � 3 existiert ein β ∈ K+ mit 0 �= β 2 − 1 = (β − 1)(β + 1). Daher existiert also<br />
ein γ mit (β 2 − 1)γ = α, d. h. [b, c] = u12(α). Durch Transposition erhält man, dass auch<br />
u21(α) ein Kommutator ist. Der Rest folgt aus Satz 15.3. �<br />
Bemerkung 15.4<br />
(i) In <strong>der</strong> obigen Situation ist auch PSL(n, K) = SL(n, K)/Z perfekt.<br />
91
15. Lineare Gruppen<br />
(ii) Wegen |GL(2, F2)| = (2 2 −1)(2 2 −2) = 6 <strong>und</strong> |GL(2, F3)| = (3 2 −1)(3 2 −3) = 48 sind<br />
GL(2, F2) <strong>und</strong> GL(2, F3) auflösbar. Daher sind auch SL(2, F2), SL(2, F3), PSL(2, F2)<br />
<strong>und</strong> PSL(2, F3) auflösbar.<br />
Satz 15.5<br />
Sei K ein Körper <strong>und</strong> n > 1 eine natürliche Zahl. Dann: PSL(n, K) einfach außer im Fall<br />
(n, K) ∈ {(2, 2), (2, 3)}.<br />
BEWEIS:<br />
Sei V := K n . Dann operiert G := SL(n, K) ∼ = SL(V) zweitransitiv, also auch primitiv<br />
auf <strong>der</strong> Menge Ω aller eindimensionalen Untervektorräume U ⊆ V. Seien e1, . . . , en die<br />
Standardbasis von V, j ∈ {1, . . . , n}, Uj := Kej ∈ Ω, Hj := StbG(Uj). Beispielsweise ist<br />
⎧⎛<br />
∗<br />
⎪⎨ ⎜ 0<br />
H1 = ⎜ .<br />
⎝ .<br />
⎪⎩<br />
.<br />
0<br />
∗<br />
∗<br />
⎞⎫<br />
⎟⎪⎬<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎪⎭<br />
Für h ∈ Hj ist ˜h: V/Uj → V/Uj mit v + Uj ↦→ h(v) + Uj. Ferner ist fj : Hj → GL(V/Uj)<br />
mit h ↦→ ˜h ein Gruppenhomomorphismus. Sei Aj := ker(fj). So ist beispielsweise<br />
⎧⎛<br />
1<br />
⎪⎨ ⎜ 0<br />
A1 = ⎜ .<br />
⎝ .<br />
⎪⎩<br />
.<br />
0<br />
1<br />
0<br />
∗<br />
. ..<br />
⎞⎫<br />
0 ⎟⎪⎬<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎪⎭<br />
1<br />
Daher operiert jedes a ∈ Aj trivial auf Uj <strong>und</strong> auf V/Uj. Wegen<br />
⎛<br />
∗ x<br />
⎞ ⎛<br />
∗ y<br />
⎞<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ . 1n−1<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ . 1n−1<br />
⎟<br />
⎠<br />
0<br />
0<br />
=<br />
⎛<br />
∗ x + y<br />
⎞<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ . 1n−1<br />
⎟<br />
⎠<br />
0<br />
x, y ∈ K n−1<br />
ist A1 abelsch <strong>und</strong> A1 � H1. Für i �= j <strong>und</strong> α ∈ K+ ist Uij(α) ∈ Ai. Da G transitiv auf Ω<br />
operiert, existiert <strong>für</strong> j = 1, . . . , n ein gj ∈ G mit Uj = gjU1. Dann ist Hj = gjH1g −1<br />
j <strong>und</strong><br />
Aj = gjA1g −1<br />
j . Folglich ist G = 〈Uij(α): i �= j, α ∈ K+〉 = 〈A1, . . . , An〉 ⊆ 〈gA1g −1 : g ∈<br />
G〉.<br />
Sei Z := { α1n | α ∈ K, α n = 1 }, also Z � G. Dann operiert G := G/Z = PSL(n, K) treu<br />
<strong>und</strong> primitiv auf Ω sowie<br />
Hi := Stb G (U1) = StbG(U1)/Z = H1/Z<br />
A1 := A1Z/Z � H1 abelsch mit<br />
G = 〈gA1g −1 : g ∈ G〉<br />
Nach dem Lemma von IWASAWA (Satz 15.1) ist G einfach. �<br />
92
Bemerkung 15.5<br />
(i) In <strong>der</strong> Algebra lernt man, dass K+ im Fall |K| = q < ∞ zyklisch ist. Daher hat<br />
Z := { α1n | α ∈ K, α n = 1 } die Ordnung ggT(n, q − 1), da α q−1 = 1 <strong>für</strong> alle<br />
α ∈ K+. Also gilt, |PSL(n, K)| = |SL(n, K)|/ ggT(n, q − 1).<br />
(ii) Ähnlich (mit „kleinen“ Ausnahmen) kann man die Einfachheit von an<strong>der</strong>en klassischen<br />
Gruppen beweisen (orthogonal, symplektisch, unitär).<br />
93
16. Die Verlagerung<br />
Bemerkung 16.1<br />
Sei G eine endliche Gruppe <strong>und</strong> K � H � G <strong>der</strong>art, dass H/K abelsch ist. Schließlich<br />
sei R ein Repräsentantensystem <strong>für</strong> G/H, d. h. G = ·∪r∈RrH. Dann existieren <strong>für</strong> g ∈ G<br />
<strong>und</strong> r ∈ R eindeutig bestimmte Elemente ρg(r) ∈ R, ηg(r) ∈ H mit gr = ρg(r)ηg(r). Wir<br />
setzen als Verlagerung:<br />
�<br />
(g) := ηg(r)K ∈ H/K<br />
V G H/K<br />
Da H/K abelsch ist, kommt es bei dem Produkt nicht auf die Reihenfolge an.<br />
Satz 16.1<br />
Die so definierte Abbildung V G H/K<br />
phismus.<br />
r∈R<br />
BEWEIS:<br />
Jedes weitere Repräsentantensystem <strong>für</strong> G/H hat die Form<br />
: G → H/K ist unabhängig von R <strong>und</strong> ein Homomor-<br />
R ′ = { rhr | r ∈ R }<br />
Für g ∈ G, r ∈ R ist grhr = ρg(r)ηg(r)hr = ρg(r)hρg(r) h −1<br />
ρg (r) ηg(r) . Da H/K abelsch ist<br />
� �� �<br />
=: ρ ′ g(r)∈R ′<br />
� �� �<br />
=: η ′ g(r)∈H<br />
<strong>und</strong> R → R, r ↦→ ρg(r) <strong>für</strong> g ∈ G eine bijektive Abbildung ist, gilt:<br />
�<br />
η ′ g(rhr)K = �<br />
h −1<br />
ηg(r) hrK = �<br />
ηg(r)K<br />
r∈R<br />
r∈R<br />
Für f, g ∈ G, r ∈ R gilt ferner: ρfg(r) ηfg(r) = fgr = fρg(r)ηg(r) = ρf(ρg(r)) ηf(ηg(r)) ,<br />
� �� � � �� �<br />
� �� � � �� �<br />
∈R ∈H<br />
d. h. ηfg(r) = ηf(ρg(r))ηg(r). Daher gilt:<br />
�<br />
(fg) = ηfg(r)K =<br />
∈R ∈H<br />
�<br />
ηf(ρg(r))K �<br />
ηg(r)<br />
V G H/K<br />
r∈R<br />
r∈R<br />
r∈R<br />
r∈R<br />
= V G H/K (f) = VG H/K (g) �<br />
Definition 16.1 (Verlagerung)<br />
Die Abbildung V G H/K heißt Verlagerung1 von G nach H/K.<br />
1 vom englischen Wort „transfer“<br />
94
Beachte: In <strong>der</strong> Regel ist |H/K| < G. Daher ist die Verlagerung typischerweise nicht<br />
injektiv. Aber G/G ′ ist stets abelsch.<br />
Bemerkung 16.2<br />
Sei G eine endliche Gruppe <strong>und</strong> K � H � G <strong>der</strong>art, dass H/K abelsch ist. Weiterhin sei<br />
g ∈ G. Zur Berechnung von VG H/K (g) wählen wir ein Repräsentantensystem <strong>für</strong> G/H, das<br />
von g abhängt.<br />
Auf G/H operiert 〈g〉 durch Linksmultiplikation. Die Bahnen seien ∆1, . . . , ∆s. Wähle<br />
r1H ∈ ∆1, . . . , rsH ∈ ∆s. Ist i ∈ {1, . . . , s} <strong>und</strong> di := |∆i|, so ist di ein Teiler von |〈g〉| <strong>und</strong><br />
∆i = {riH, griH, g 2 riH, . . . , g di−1 riH} g di riH = riH<br />
Folglich ist R := {r1, gr1, g 2 r1, . . . , g d1−1 r1, . . . , rs, grs, g 2 rs, . . . , g ds−1 rs} ein Repräsen-<br />
tantensystem <strong>für</strong> G/H <strong>und</strong> V G H/K (g) = � s<br />
i=1 r−1<br />
i gdiriK mit di + · · · + ds = |G: H| <strong>und</strong><br />
r −1<br />
i gdiri ∈ H. In <strong>der</strong> Gleichung tauchen die einzigen Fehler bei g di−1 ri auf. „Oft“ ist<br />
r −1<br />
i gdi<br />
i ri = g di <strong>für</strong> i = 1, . . . , s, also<br />
V G H/K (g) = g|G: H| K<br />
Beispiel 16.1<br />
(i) Sei g ∈ Z(G). Dann ist V G H/K (g) = g|G: H| K.<br />
(ii) Die Abbildung G → Z(G) mit g ↦→ g |G: Z(G)| ist ein Homomorphismus, denn<br />
G G Z(G)/{1} (g) = g|G: Z(G)| {1}. Tatsächlich ist auch g |G: Z(G)| ∈ Z(G) nach dem Satz<br />
von LAGRANGE (Satz 4.2).<br />
Definition 16.2 (Fokalgruppe)<br />
Für jede Untergruppe H einer endlichen Gruppe G heißt<br />
FocG(H) := 〈 [g, h]<br />
� �� �<br />
ghg−1h−1 : g ∈ G, h ∈ H, [g, h] ∈ H〉 = 〈xy −1 : x, y ∈ H, x ∼G y〉<br />
Fokalgruppe von H in G.<br />
Bemerkung 16.3<br />
Dann: H ′ ⊆ F := FocG(H) ⊆ H∩G ′ . Das bedeutet insbeson<strong>der</strong>e F�H <strong>und</strong> H/F abelsch.Für<br />
alle g ∈ G, h ∈ H mit [g, h] ∈ H ist ferner ghg −1 F = ghg −1 h −1 Fh = [g, h]Fh = Fh = hF.<br />
Folglich V G H/F (h) = h|G: H| F <strong>für</strong> alle h ∈ H.<br />
Satz 16.2<br />
Seien G eine endliche Gruppe, H eine Untergruppe von G, F die Fokalgruppe, N :=<br />
ker(VG H ) <strong>und</strong> ggT(|G: H|, |H: F|) = 1. Dann gilt:<br />
(i) F = H ∩ G ′ = H ∩ N<br />
(ii) HN = G <strong>und</strong> G/N ∼ = H/F<br />
95
16. Die Verlagerung<br />
(iii) G/G ′ = HG ′ /G ′ ⊕ N/G ′<br />
BEWEIS:<br />
(i) Wegen G/N ∼ = Bld(V G H/F ) � H/F ist G/N abelsch, d. h. G′ ⊆ N <strong>und</strong> F ⊆ H ∩ G ′ ⊆<br />
H ∩ N. Für h ∈ H ∩ N ist umgekehrt 1 = V G H/F (h) = h|G: H| F. Ferner haben wir<br />
h |H: F| = 1 nach FERMAT. Nach Voraussetzung ist also hF = 1, d. h. h ∈ F.<br />
(ii) Aus Teil (i) folgt: |G/N| � |HN/N| = |H/H ∩ N| = |H/F| � |G/N|. Daher folgt:<br />
HN = G <strong>und</strong> Verlagerung ist surjektiv. Folglich ist G/N ∼ = H/F.<br />
(iii) Nach Teil (ii) ist G/G ′ = (HG ′ /G ′ )(N/G ′ ). Nach Teil (i) ist N ∩ HG ′ = (N ∩ H)G ′<br />
wegen <strong>der</strong> Dedekindschen Identität. Insgesamt ergibt sich weiter (N ∩ H)G ′ = G ′ ,<br />
d. h. (N/G ′ ) ∩ (HG ′ /G ′ ) = 1. �<br />
G H<br />
∼<br />
V G H/F<br />
��<br />
N F<br />
Beispiel 16.2<br />
Die oben gefor<strong>der</strong>te Teilerfremdheit ist dann erfüllt, wenn H eine Hallgruppe von G ist.<br />
Definition 16.3 (Hyperfokale Gruppe)<br />
Sei H eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G. Setze H1 := H, Hn+1 := FocG(Hn)<br />
<strong>für</strong> alle natürlichen Zahlen n. Ist Hm = 1 <strong>für</strong> ein m ∈ N, so heißt die Fokalgruppe<br />
hyperfokal.<br />
Bemerkung 16.4<br />
Gegebenenfalls ist jede Untergruppe K � H wie<strong>der</strong> hyperfokal in G wegen FocG(K) ⊆<br />
FocG(H). Ferner ist H auch hyperfokal in je<strong>der</strong> Untergruppe U � G mit H � U wegen<br />
FocU(H) ⊆ FocG(H). Schließlich ist H nilpotent wegen H n ⊆ Hn <strong>für</strong> alle natürlichen n.<br />
Satz 16.3<br />
Jede hyperfokale Hallgruppe H einer endlichen Gruppe G hat ein normales Komplement<br />
in G.<br />
BEWEIS:<br />
Der Beweis wird per Induktion über die Gruppenordnung durchgeführt. Œ sei H �= 1.<br />
Dann F := FocG(H) < H. Nach Satz 16.2 ist N := ker(V G H/F ) � G <strong>und</strong> G/N ∼ = H/F �= 1.<br />
Die Hallgruppe H ∩ N von N ist nach obiger Bemerkung hyperfokal in G <strong>und</strong> auch in N.<br />
Wegen <strong>der</strong> Induktion hat H ∩ N ein normales Komplement K in N. Als Hallgruppe von<br />
N ist K charakteristisch in N. Daher ist K � G. Ferner HK = H(H ∩ N)K = HN = G <strong>und</strong><br />
H ∩ K = H ∩ N ∩ K = 1. �<br />
96
Satz 16.4<br />
Sei H eine nilpotente Hallgruppe einer endlichen Gruppe G. Je zwei Elemente in H, die<br />
in G konjugiert sind, seien auch in H konjugiert. Dann hat H ein normales Komplement<br />
in G.<br />
BEWEIS:<br />
Setze H1 := H, Hn+1 := FocG(Hn) <strong>für</strong> n ∈ N. Nach Satz 16.3 genügt es zu zeigen,<br />
dass Hn ⊆ H n <strong>für</strong> natürliche Zahlen n. Für n = 1 ist das klar. Sei also Hn ⊆ H n<br />
<strong>für</strong> n ∈ N. Für g ∈ G <strong>und</strong> h ∈ Hn mit ghg −1 h −1 ∈ Hn ist ghg −1 ∈ Hn. Nach<br />
Voraussetzung existiert eine Element k ∈ H mit ghg −1 = khk −1 . Folglich: [g, h] =<br />
ghg −1 h −1 = khk −1 h −1 = [k, h] ∈ [H, Hn] ⊆ [H, H n ] = H n+1 . Dies zeigt, dass das<br />
Hn+1 = 〈[g, h]: g ∈ G, h ∈ Hn, [g, h] ∈ Hn〉 ⊆ H n+1 . �<br />
Satz 16.5<br />
Sei H eine abelsche Hallgruppe einer endlichen Gruppe G. Dann sind je zwei Elemente<br />
x, y ∈ H, die in G konjugiert sind, auch in NG(H) konjugiert.<br />
BEWEIS:<br />
Sei g ∈ G mit y = gxg −1 ∈ H∩gHg −1 . Dann sind H <strong>und</strong> gHg −1 Hallgruppen von CG(y).<br />
Nach Satz 14.6 (Satz von WIELANDT) existiert ein c ∈ CG(y) mit H = cgHg −1 c −1 <strong>und</strong><br />
y = cyc −1 = cgxg −1 c −1 mit cg ∈ NG(H). �<br />
Satz 16.6 (Satz von BURNSIDE)<br />
Jede Hallgruppe H einer endlichen Gruppe G mit NG(H) = CG(H) hat ein normales<br />
Komplement in G.<br />
BEWEIS:<br />
Seien x, y ∈ H mit x ∼G y. Nach Satz 16.5 ist x ∼ NG(H) y <strong>und</strong> wegen <strong>der</strong> Voraussetzung<br />
x ∼ CG(H) y ⇒ x = y, d. h. x ∼H y. Nun wenden wir Satz 16.4 an. �<br />
Bemerkung 16.5<br />
Nach <strong>der</strong> Voraussetzung des obigen Satzes ist H auf jeden Fall abelsch.<br />
Satz 16.7<br />
Seien G eine endliche Gruppe, p <strong>der</strong> kleinste Primteiler von |G| <strong>und</strong> P ∈ Syl p(G) zyklisch.<br />
Dann hat P ein normales Komplement in G.<br />
BEWEIS:<br />
Sei |P| = p n . Dann: |Aut(P)| = p n − p n−1 = p n−1 (p − 1). Da NG(P)/CG(P) zu einer<br />
Untergruppe von Aut(P) isomorph ist, folgt, |NG(P)/CG(P)| | p − 1. Nach <strong>der</strong> Wahl von<br />
p ist NG(P)/CG(P) = 1, d. h. NG(P) = CG(P). Nun wenden wir Satz 16.6 an. �<br />
Bemerkung 16.6<br />
Hat G eine zyklische 2-Sylow-Gruppe P, so hat P ein normales Komplement K in G nach<br />
dem Satz. Wegen 2 ∤ |K| ist K auflösbar (wegen FEIT-THOMPSON). Somit ist auch G<br />
auflösbar.<br />
Beispiel 16.3<br />
Aus dem Satz folgt insbeson<strong>der</strong>e, dass <strong>für</strong> ungerade n ∈ N jede Gruppe <strong>der</strong> Ordnung 2n<br />
einen Normalteiler <strong>der</strong> Ordnung n enthält (vgl. Übung).<br />
97
16. Die Verlagerung<br />
Satz 16.8<br />
Sind alle Sylow-Gruppen einer endlichen Gruppe G zyklisch, so ist G auflösbar.<br />
BEWEIS:<br />
Bemerkung 16.7<br />
Speziell sind also Gruppen quadratfreier Ordnung n, d. h. n = p1 · . . . · pr mit paarweise<br />
verschiedenen Primzahlen p1, . . . , pr, stets auflösbar.<br />
Beispiel 16.4<br />
Jede Gruppe <strong>der</strong> Ordnung 210 = 2 · 3 · 5 · 7 ist auflösbar.<br />
98
A. Übungsaufgaben<br />
A.1. Übungsblatt 1<br />
A.1.1. Aufgabe 1<br />
(i) Sind (N, ggT) <strong>und</strong> (N, kgV) Halbgruppen (Monoide)?<br />
(ii) Für n ∈ N sei f(n) die Anzahl <strong>der</strong> Primfaktoren von n. Ist f: (N, kgV) → (Z, +) ein<br />
Homomorphismus?<br />
A.1.2. Aufgabe 2<br />
(i) Konstruieren Sie eine Halbgruppe mit unendlich vielen linksneutralen Elementen.<br />
Hinweis: Versuchen Sie es mit einer geeigneten Menge von 2 × 2-Matrizen.<br />
(ii) Geben Sie ein Monoid M <strong>und</strong> ein Element a ∈ M an, das unendlich viele Linksinverse<br />
hat.<br />
A.1.3. Aufgabe 3<br />
(i) Zeigen Sie, dass <strong>für</strong> jede Menge X die Abbildung f: (P(X), ∪) → (P(X), ∩) mit<br />
A ↦→ X \ A ein Isomorphismus ist.<br />
(ii) Gegeben seien Mengen X, Y <strong>und</strong> eine Bijektion f: X → Y. Konstruieren Sie einen<br />
Isomorphismus F: (Abb(X), ◦) → (Abb(Y), ◦).<br />
A.1.4. Aufgabe 4<br />
Beantworten Sie die folgenden Fragen mit GAP:<br />
(i) Wie viele Untergruppen von Sym(9) haben die Ordnung 4?<br />
99
A. Übungsaufgaben<br />
G:=SymmetricGroup ( 9 ) ;<br />
sum:= Size ( F i l t e r e d (G, x−>Or<strong>der</strong> ( x )=4))/2; #z y k l i s c h e Untergruppen<br />
F:= F i l t e r e d (G, x−>Or<strong>der</strong> ( x)=2);<br />
C:=0; #i n i t i a l i s i e r e n , n i c h t unbedingt n o e t i g<br />
H:=0; # i n i t i a l i s i e r e n<br />
for x in F do<br />
C:= I n t e r s e c t i o n ( C e n t r a l i z e r (G, x ) , F ) ;<br />
H:= F i l t e r e d (C , y−>x*y in C ) ;<br />
sum:=sum+Size (H) /2; #noch n i c h t g e z a e h l t e K l e i n s c h e V i e r e r g r u p p e<br />
F:= D i f f e r e n c e (F , [ x ] ) ;<br />
od ;<br />
P r i n t (sum , " \n " ) ; #Loesung : 56007<br />
(ii) Wie viele Untergruppen hat Z/12Z × Z/15Z?<br />
% s k r i p t −check aus<br />
LoadPackage ( " sonata " ) ; #f u e r den B e f e h l " Subgroups "<br />
% s k r i p t −check an<br />
G:= D i r e c t P r o d u c t ( CyclicGroup (12) , CyclicGroup ( 1 5 ) ) ;<br />
P r i n t ( Size ( Subgroups (G) ) , " \n " ) ; #Loesung : 36<br />
(iii) Gegeben seien die folgenden Permutationen von Ω := {0, 1, . . . , 9, 10} ∪ {∞}:<br />
α: x ↦→ x + 1 β: x ↦→ 2x γ: x ↦→ x −1<br />
Dabei rechnet man jeweils modulo 11 <strong>und</strong> das Rechnen mit ∞ wird geeignet<br />
definiert. Welche Ordnung hat die von α, β, γ erzeugte Untergruppe von Sym(Ω)?<br />
alpha :=(11 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10); #e r s e t z e 0 durch 11 <strong>und</strong> u n e n d l i<br />
beta :=(1 ,2 ,4 ,8 ,5 ,10 ,9 ,7 ,3 ,6);<br />
gamma:=(1 ,10)(2 ,5)(3 ,7)(4 ,8)(6 ,9)(11 ,12);<br />
P r i n t ( Size ( Group ([ alpha , beta ,gamma] ) ) , " \n " ) ; #Loesung : 1320<br />
A.2. Übungsblatt 2<br />
A.2.1. Aufgabe 5<br />
100<br />
(i) Wie viele Automorphismen hat Sym(3)?<br />
Bekanntlich ist Sym(3) = 〈(12), (123)〉. Also ist je<strong>der</strong> Automorphismus durch die<br />
Bil<strong>der</strong> von (12) <strong>und</strong> (123) eindeutig bestimmt. Weiter wissen wir, dass je<strong>der</strong> Automorphismus<br />
die Ordnung <strong>der</strong> Elemente erhält. Daher ist ϕ((12)) ∈ {(12), (13), (23)}<br />
<strong>und</strong> ϕ((123)) ∈ {(123), (132)} <strong>für</strong> ϕ ∈ Aut(Sym(3)). Dies zeigt, |Aut(Sym(3))| �<br />
6. Umgekehrt haben wir die Relation 6 = |Sym(3)| = |Sym(3)/Z(Sym(3))| =
A.2. Übungsblatt 2<br />
|Inn(Sym(3))| � |Aut(Sym(3))|. Die erste Gleichheit folgt nach dem zweiten Teil <strong>der</strong><br />
Aufgabe.<br />
�<br />
1 n �= 2<br />
Es ist Z(Sym(n)) =<br />
. Denn sei o. B. d. A. n � 3 <strong>und</strong> 1 �= σ ∈<br />
Sym(2) n = 2<br />
Sym(n). Dann gibt es ein Element k �= σ(k) =: l mit k, l ∈ {1, . . . , n}. Für m ∈<br />
{1, . . . , n} \ {k, l} ist dann ((m, l) ◦ σ)(k) = m <strong>und</strong> (σ ◦ (m, l))(k) = l. Aber es gilt:<br />
k �= l <strong>und</strong> σ /∈ Z(Sym(n)).<br />
(ii) Bestimmen Sie Z(Sym(n)) <strong>und</strong> Z(GL(n, K)) <strong>für</strong> n ∈ N <strong>und</strong> jeden Körper K.<br />
(iii) Zeigen Sie: GL(2, F2) ∼ = Sym(3).<br />
A.2.2. Aufgabe 6<br />
Für alle Elemente a in dem Monoid M sei a 2 = 1. Zeigen Sie, dass M eine abelsche<br />
Gruppe ist.<br />
Wegen a 2 = 1 ist a invers zu a <strong>für</strong> alle a ∈ M. Also ist M eine Gruppe. Aus ab =<br />
a −1 b −1 = (ba) −1 = ba folgt, dass M abelsch ist.<br />
A.2.3. Aufgabe 7<br />
Zeigen Sie, dass eine nichtleere endliche Teilmenge H einer Gruppe G genau dann eine<br />
Untergruppe von G ist, wenn ab ∈ H <strong>für</strong> alle a, b ∈ H gilt.<br />
„⇒“ klar<br />
„⇐“ Sei x ∈ H mit H �= ∅. Dann ist x n ∈ H <strong>für</strong> alle n ∈ N. Wegen |H| < ∞ existieren<br />
n, m ∈ N mit n < m <strong>und</strong> x n = x m . Also ist 1 = x m−n ∈ H <strong>und</strong> x −1 = x m−n−1 ∈ H.<br />
Da x beliebig war, hat jedes Element in H ein Inverses in H <strong>und</strong> H � G folgt.<br />
A.2.4. Aufgabe 8<br />
Zeigen Sie, dass <strong>für</strong> Untergruppen H, K einer Gruppe G mit G = HK folgende Aussagen<br />
gelten:<br />
(i) Für x, y ∈ G ist G = (xHx −1 )(yKy −1 ).<br />
(ii) Sind H, K abelsch, so ist Z(G) = (Z(G) ∩ H)(Z(G) ∩ K).<br />
101
A. Übungsaufgaben<br />
A.2.5. Aufgabe 9<br />
Sei G := 〈a, b〉 mit a :=<br />
� �<br />
i 0<br />
, b :=<br />
0 −1<br />
(i) Zeigen Sie: |G| = 8 <strong>und</strong> |Z(G)| = 2.<br />
� �<br />
0 1<br />
∈ GL(2, C).<br />
1 0<br />
i :=E ( 4 ) ; #( e r s t e ) p r i m i t i v e 4−t e E i n h e i t s w u r z e l<br />
a :=[[ i ,0] ,[0 , − i ] ] ;<br />
b : = [ [ 0 , 1 ] , [ 1 , 0 ] ] ;<br />
G:=Group ([ a , b ] ) ;<br />
P r i n t ( Size (G) , " \n " ) ; #Formel : |G|=||=||=||||/|<<br />
P r i n t ( Size ( Center (G) ) , " \n " ) ;<br />
(ii) Bestimmen sie alle Elemente in G <strong>und</strong> <strong>der</strong>en Ordnungen.<br />
P r i n t ( Elements (G) , " \n " ) ;<br />
P r i n t ( L i s t (G, Or<strong>der</strong> ) , " \n " ) ;<br />
(iii) Bestimmen Sie die Untergruppen <strong>und</strong> Normalteiler von G <strong>und</strong> <strong>der</strong>en Ordnungen.<br />
% s k r i p t −check aus<br />
LoadPackage ( " sonata " ) ;<br />
% s k r i p t −check an<br />
P r i n t ( Subgroups (G) , " \n " ) ;<br />
P r i n t ( L i s t ( Subgroups (G) , Size ) , " \n " ) ;<br />
P r i n t ( NormalSubgroups (G) , " \n " ) ;<br />
P r i n t ( L i s t ( NormalSubgroups (G) , Size ) , " \n " ) ;<br />
(iv) Finden Sie die Untergruppen A, B von G mit A � B � G, aber A � G.<br />
A:=Subgroup (G, [ b ] ) ;<br />
B:=Subgroup (G, [ b , a^2]);<br />
P r i n t ( IsNormal (B , A) , " \n " ) ; #normal , da Index=2<br />
P r i n t ( IsNormal (G, B) , " \n " ) ; #normal , da Index=2<br />
P r i n t ( IsNormal (G, A) , " \n " ) ; #n i c h t normal , da n i c h t in NormalSubgr<br />
Bei dieser Aufgabe können Sie GAP verwenden.<br />
A.3. Übungsblatt 3<br />
A.3.1. Aufgabe 10<br />
Seien K ein Körper <strong>und</strong> n eine natürliche Zahl.<br />
102
(i) Zeigen Sie, dass die Abbildung f: Sym(n) → GL(n, K), σ ↦→ (δ iσ(j)) n i,j=1<br />
A.3. Übungsblatt 3<br />
ein Monomorphismus<br />
ist. Die Elemente in S := Bld(f) heißen Permutationsmatrizen.<br />
(ii) Zeigen Sie, dass die regulären oberen Dreiecksmatrizen eine Untergruppe B von<br />
GL(n, K) bilden.<br />
(iii) Bestimmen Sie |B| im Fall q := |K| < ∞.<br />
(iv) Zeigen Sie: GL(n, K) = 〈B, S〉.<br />
A.3.2. Aufgabe 11<br />
Zeigen Sie, dass jede endlich erzeugte Untergruppe von (Q, +) zyklisch ist.<br />
Sei H := 〈 x1/y1, . . . , xn/yn〉 eine Untergruppe von (Q, +) mit x1, . . . , xn, y1, . . . , yn ∈ Z<br />
<strong>und</strong> k := kgV(y1, . . . , yn). Für jedes i ∈ {1, . . . , n} lässt sich dann <strong>der</strong> Bruch xi/yi zu<br />
zi/k mit zi ∈ Z erweitern. Also ist xi/yi = zi/k ∈ 〈 1/k〉 <strong>für</strong> alle i ∈ {1, . . . , n} <strong>und</strong><br />
es folgt, H � 〈 1/k〉. Als Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist dann auch H zyklisch.<br />
A.3.3. Aufgabe 12<br />
Beweisen Sie, dass G �= �<br />
g∈G gHg−1 <strong>für</strong> jede echte Untergruppe H einer endlichen<br />
Gruppe gilt.<br />
Im Fall H � G ist �<br />
g∈H gGg−1 = H < G nach Voraussetzung. Sei also H � G. Für<br />
x, y ∈ G gilt:<br />
xH = yH ⇒ Hx −1 = (xH) −1 = (yH) −1 = Hy −1 ⇒ xHx −1 = yHx −1 = yHy −1<br />
wobei (xH) −1 := � a −1 � � a ∈ xH � die Menge <strong>der</strong> Inversen von xH sei (nicht etwa<br />
das Inverse von xH in <strong>der</strong> nicht vorhandenen Faktorgruppe G/H). Diese Rechnung<br />
zeigt:<br />
| � gHg −1 � � g ∈ G � | � |G: H|<br />
Sei nun g ∈ G mit H �= gHg −1 (Erinnerung: H � G). Dann ist 1 ∈ H ∩ gHg −1 . Insbeson<strong>der</strong>e<br />
sind H <strong>und</strong> gHg −1 nicht disjunkt. Da gHg −1 das Bild von H unter einem inneren<br />
Automorphismus ist, gilt |H| = |gHg −1 | <strong>für</strong> alle g ∈ G. Also ist<br />
nach LAGRANGE (Satz 4.2).<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
� gHg −1<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� < |G: H||H| = |G|<br />
g∈G<br />
103
A. Übungsaufgaben<br />
A.3.4. Aufgabe 13<br />
(i) Geben Sie einen Homomorphismus von Gruppen f: G → H <strong>und</strong> einen Normalteiler<br />
M � G mit f(M) � H an.<br />
Setze G := M := 〈(12)〉 <strong>und</strong> H := Sym(3). Dann ist f: G → H, x ↦→ x ein Homomorphismus<br />
mit f(M) = M. Wegen (123)(12)(123) −1 = (23) /∈ M ist M � H.<br />
(ii) Zeigen Sie, dass in Sym(4) die Normalteiler-Relation nicht transitiv ist.<br />
G:=SymmetricGroup ( 4 ) ;<br />
A:=Subgroup (G, [ ( 1 , 2 ) ( 3 , 4 ) ] ) ;<br />
B:=Subgroup (G, [ ( 1 , 2 ) ( 3 , 4 ) , ( 1 , 3 ) ( 2 , 4 ) ] ) ;<br />
P r i n t ( IsNormal (B , A) , " ‘ \ n " ’ ) ;<br />
P r i n t ( IsNormal (G, B) , " ‘ \ n " ’ ) ;<br />
P r i n t ( IsNormal (G, A) , " ‘ \ n " ’ ) ;<br />
(iii) Finden Sie eine Gruppe, in <strong>der</strong> das Zentrum nicht vollinvariant ist.<br />
LoadPackage ( " ‘ sonata " ’ ) ;<br />
for i in [ 1 . . 1 2 ] do<br />
P r i n t ( F i l t e r e d ( AllSmallGroups ( i ) ,G−>not<br />
I s F u l l i n v a r i a n t (G, Center (G) ) ) , " ‘ \ n " ’ ) ;<br />
od ;<br />
(iv) Zeigen Sie, dass G := Sym(6) von zwei Elementen erzeugt wird, aber eine Untergruppe<br />
H hat, die sich nicht durch zwei Elemente erzeugen lässt.<br />
G:=SymmetricGroup ( 6 ) ;<br />
P r i n t ( F i l t e r e d ( Subgroups (G) ,H−>Size ( GeneratorsOfGroup (H))>2 and<br />
I s S o l v a b l e (H) and Size ( MinimalGeneratingSet (H)) >2) , " ‘ \ n " ’ ) ;<br />
#MinimalGeneratingSet i s t b i s h e r nur f u e r a u f l o e s b a r e Gruppen i m p<br />
Bei dieser Aufgabe können Sie wie<strong>der</strong> GAP verwenden.<br />
A.4. Übungsblatt 4<br />
A.4.1. Aufgabe 14<br />
Gegeben seien Gruppen K, H <strong>und</strong> ein Homomorphismus ϕ: H → Aut(K), h ↦→ ϕh. Auf<br />
G := H × K wird eine Multiplikation durch (k, h)(k ′ , h ′ ) := (kϕh(k ′ ), hh ′ ) <strong>für</strong> h, h ′ ∈ H<br />
<strong>und</strong> k, k ′ ∈ K definiert. Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist, die eine zu H isomorphe<br />
Untergruppe ˜H <strong>und</strong> einen zu K isomorphen Normalteiler ˜K mit G = ˜K ˜H <strong>und</strong> ˜K ∩ ˜H = 1<br />
besitzt. (Man nennt G das semidirekte Produkt von K <strong>und</strong> H bezüglich ϕ <strong>und</strong> schreibt<br />
G = K ⋊ H o<strong>der</strong> genauer G = K ⋊ϕ H).<br />
104
A.4.2. Aufgabe 15<br />
A.4. Übungsblatt 4<br />
(i) Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen <strong>der</strong> Ordnung 4 gibt.<br />
(ii) Beweisen Sie, dass <strong>für</strong> jede Gruppe G mit Z(G) = 1 gilt: Z(Aut(G)) = 1.<br />
A.4.3. Aufgabe 16<br />
Seien K ein Körper, n eine natürliche Zahl <strong>und</strong> G die Untergruppe von GL(n, K), die aus<br />
allen Matrizen <strong>der</strong> folgenden Form besteht:<br />
Bestimmen Sie Z(G).<br />
A.4.4. Aufgabe 17<br />
⎛<br />
1 ∗ . . . . . . . . . ∗<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ⎞<br />
.<br />
.<br />
.<br />
. .<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ⎟<br />
. ⎟<br />
.<br />
⎟<br />
. ⎟<br />
. ⎟<br />
. ⎟<br />
∗⎠<br />
0 . . . . . . . . . 0 1<br />
Sei n ∈ N \ {4}. Zeigen Sie, dass zu jedem σ ∈ Sym(n) \ {1} ein τ ∈ Sym(n) mit<br />
Sym(n) = 〈σ, τ〉 existiert. Zeigen Sie weiter, dass diese Aussage <strong>für</strong> n = 4 falsch ist.<br />
Sei n ∈ N\{4} <strong>und</strong> σ ∈ Sym(n)\{1}. Da man σ durch eine beliebige Potenz ersetzen kann,<br />
können wir annehmen, dass σ Primzahlordnung p hat (Erinnerung: Wegen 〈σ k , τ〉 ⊆<br />
〈σ, τ〉 <strong>für</strong> alle k ∈ N genügt es 〈σ k , τ〉 = Sym(n) <strong>für</strong> ein k ∈ N zu zeigen.) Dann ist σ ein<br />
Produkt von disjunkten Zyklen (Erinnerung: Die Ordnung eines Elements ist das kgV<br />
<strong>der</strong> Zyklenlängen.). Œ können wir annehmen, dass σ die Form σ = (12 . . . p) . . . hat. Ist<br />
σ = (12) o<strong>der</strong> σ = (12 . . . n), so können wir bekanntlich τ = (12 . . . n) bzw. τ = (12)<br />
wählen. An<strong>der</strong>nfalls werden wir τ als ein disjunktes Produkt einer Transposition (x, y)<br />
<strong>und</strong> eines r-Zyklus’ wählen, wobei r = n−2 (bzw. r = n−3) <strong>für</strong> ungerades (bzw. gerades)<br />
n gilt. Insbeson<strong>der</strong>e ist r stets ungerade. Folglich ist τ r = (x, y) <strong>und</strong> <strong>der</strong> r-Zyklus eine<br />
Potenz von τ 2 . Wir werden dann zeigen, dass (i, k) ∈ 〈σ, τ〉 <strong>für</strong> ein festes k ∈ {1, . . . , n}<br />
<strong>und</strong> alle i ∈ {1, . . . , n} gilt. Somit folgt die Behauptung.<br />
1. Fall Sei σ = (12 . . . p) <strong>für</strong> 2 < p < n. Wähle<br />
�<br />
(1, n)(23 . . . n − 1) n ungerade<br />
τ =<br />
(1, n)(34 . . . n − 1) n gerade<br />
105
A. Übungsaufgaben<br />
Konjugiert man nun (1, n) mit den Potenzen von σ <strong>und</strong> τ 2 , so erhält man (i, n) ∈<br />
〈σ, τ〉 <strong>für</strong> alle i ∈ {1, . . . , n} (Zur Erinnerung: Für k ∈ N ist σ(a1, a2, . . . , ak)σ −1 =<br />
(σ(a1), σ(a2), . . . , σ(ak))).<br />
2. Fall Sei σ = (12 . . . p)(p + 1 . . . 2p) . . . das Produkt von mindestens zwei p-Zyklen <strong>und</strong><br />
p ungerade. Wähle<br />
�<br />
(12)(34 . . . n) n ungerade<br />
τ =<br />
(12)(34 . . . p, p + 2 . . . n) n gerade<br />
Konjugiert man nun (12) mit σ, so erhält man (23) ∈ 〈σ, τ〉. Konjugiert man<br />
(23) weiter mit den Potenzen von τ 2 , so erhält man (2, i) ∈ 〈σ, τ〉 <strong>für</strong> alle i ∈<br />
{1, . . . , p, p + 2, . . . , n}. Konjugiert man (2, p + 2) mit σ −1 , so erhält man (1, p +<br />
1) ∈ 〈σ, τ〉. Konjugiert man weiter mit (12), so erhält man schließlich auch<br />
(2, p + 1) ∈ 〈σ, τ〉.<br />
3. Fall Sei σ = (12)(34) . . . das Produkt von mindestens zwei Transpositionen. Insbeson<strong>der</strong>e<br />
ist in diesem Fall n > 4 (wegen n �= 4). Wähle<br />
�<br />
(13)(245 . . . n) n ungerade<br />
τ =<br />
(13)(45 . . . n) n gerade<br />
Konjugiert man (13) mit σ, so erhält man (24) ∈ 〈σ, τ〉. Konjugiert man (24) mit<br />
den Potenzen von τ 2 , so erhält man Sym(2, 4, 5, . . . , n) ⊆ 〈σ, τ〉. Insbeson<strong>der</strong>e ist<br />
(n, i) ∈ 〈σ, τ〉 <strong>für</strong> i ∈ {2, 4, 5, . . . , n}. Konjugiert man nun (n, 2) <strong>und</strong> (n, 4) mit σ,<br />
so erhält man entwe<strong>der</strong> (n, 1), (n, 3) ∈ 〈σ, τ〉 o<strong>der</strong> (n + 1, 1), (n + 1, 3) ∈ 〈σ, τ〉.<br />
Im zweiten Fall konjugiert man zusätzlich mit (n, n − 1).<br />
Sei nun n = 4 <strong>und</strong> σ = (12)(34). Wir nehmen indirekt Sym(4) = 〈σ, τ〉 <strong>für</strong> ein<br />
τ ∈ Sym(4) an. Dann ist<br />
Sym(4)/〈(12)(34), (13)(24)〉 = 〈τ〉〈(12)(34), (13)(24)〉/〈(12)(34), (13)(24)〉<br />
∼= 〈τ〉/〈τ〉 ∩ 〈(12)(34), (13)(24)〉<br />
zyklisch. Da Sym(4) aber kein Element <strong>der</strong> Ordnung größer gleich 6 besitzt,<br />
erhalten wir einen Wi<strong>der</strong>spruch.<br />
A.5. Blatt 5<br />
A.5.1. Aufgabe 18<br />
Seien g, h Elemente einer Gruppe G <strong>der</strong> endlichen Ordnungen m, n. Zeigen Sie die<br />
untenstehenden Aussagen:<br />
106<br />
(i) Ist k ∈ Z mit g k = 1, so gilt m | k.
(ii) Für k ∈ Z hat g k die Ordnung<br />
m<br />
ggT(m,k) .<br />
(iii) Gilt gh = hg <strong>und</strong> ggT(m, n) = 1, so hat gh die Ordnung mn.<br />
A.5.2. Aufgabe 19<br />
Seien G eine Gruppe, n ∈ N <strong>und</strong> H � Sym(n). Zeigen Sie, dass<br />
G ≀ H := {(g1, . . . , gn; h): g1, . . . , gn ∈ G, h ∈ H}<br />
mit <strong>der</strong> folgenden Multiplikation zu einer Gruppe wird:<br />
(g1, . . . , gn; h)(g ′ 1, . . . , g ′ n; h) := (g1g ′<br />
h−1 ′<br />
(1) , . . . , gng h−1 (n) ; hh′ )<br />
A.6. Blatt 6<br />
Man nennt G ≀ H das Kranzprodukt von G <strong>und</strong> H. Beweisen Sie, dass G ≀ H einen<br />
Normalteiler N mit N ∼ = G × . . . × G (n Faktoren) <strong>und</strong> eine Untergruppe U mit U ∼ =<br />
H, G ≀ H = NU <strong>und</strong> N ∩ U = 1 hat.<br />
A.5.3. Aufgabe 20<br />
Zeigen Sie, dass <strong>für</strong> jede einfache nichtabelsche Gruppe G gilt:<br />
(i) Inn(G) ist eine charakteristische Untergruppe von Aut(G).<br />
(ii) Aut(Aut(G)) = Inn(Aut(G)).<br />
A.5.4. Aufgabe 21<br />
(i) Geben Sie eine Kompositionsreihe <strong>und</strong> eine Hauptreihe von SL(2, Z/3Z) an.<br />
(ii) Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen <strong>der</strong> Ordnung 6 gibt.<br />
A.6. Blatt 6<br />
A.6.1. Aufgabe 22<br />
Zeigen Sie, dass jede endliche Gruppe G, die eine einfache End(G)-Gruppe ist, charakteristisch<br />
einfach ist. (Hinweis: Zeigen Sie, dass <strong>für</strong> jeden echten Normalteiler N in G<br />
möglichst großer Ordnung <strong>der</strong> Durchschnitt aller Normalteiler M von G mit G/M ∼ = G/N<br />
eine vollinvariante Untergruppe von G ist.)<br />
107
A. Übungsaufgaben<br />
A.6.2. Aufgabe 23<br />
Geben Sie Beispiele <strong>für</strong> Gruppen an, die die folgenden Bedingungen <strong>für</strong> Untergruppen<br />
erfüllen (bzw. nicht erfüllen):<br />
(i) Minimal-/Maximalbedingung<br />
(ii) Minimal- <strong>und</strong> nicht Maximalbedingung<br />
(iii) Maximal- <strong>und</strong> nicht Minimalbedingung<br />
(iv) we<strong>der</strong> Minimal- noch Maximalbedingung<br />
A.6.3. Aufgabe 24<br />
Zeigen Sie, dass <strong>für</strong> jede Gruppe G gilt:<br />
(i) Die Abbildung G → G, x ↦→ x −1 ist genau dann ein Automorphismus, wenn G<br />
abelsch ist.<br />
(ii) Die Abbildung G → G, x ↦→ x 2 ist genau dann ein Endomorphismus, wenn G<br />
abelsch ist.<br />
(iii) Im Fall |G| < ∞ ist die Abbildung G → G, x ↦→ x 2 genau dann ein Automorphismus,<br />
wenn G abelsch von ungera<strong>der</strong> Ordnung ist.<br />
A.6.4. Aufgabe 25<br />
(i) Zeigen Sie, dass die komplexen Matrizen<br />
a =<br />
� �<br />
i 0<br />
0 −i<br />
b =<br />
eine nichtabelsche Gruppe G <strong>der</strong> Ordnung 8 erzeugen.<br />
(ii) Zeigen Sie, dass jede Untergruppe von G normal in G ist.<br />
�<br />
0<br />
�<br />
1<br />
−1 0<br />
(iii) Ist G zu <strong>der</strong> Gruppe aus Aufgabe 9 (Abschnitt A.2.5) isomorph?<br />
108
A.7. Blatt 7<br />
A.7.1. Aufgabe 26<br />
(i) Zeigen Sie: Z/120Z ∼ = Z/8Z × Z/3Z × Z/5Z.<br />
A.7. Blatt 7<br />
(ii) Bestimmen Sie die Anzahl <strong>der</strong> Isomorphieklassen abelscher Gruppen <strong>der</strong> Ordnung<br />
36.<br />
(iii) Sei A := Z × (Z/2Z). Bestimmen Sie T(A) <strong>und</strong> geben Sie zwei verschiedene<br />
Untergruppen F1, F2 von A mit A = T(A) ⊕ F1 = T(A) ⊕ F2 an.<br />
A.7.2. Aufgabe 27<br />
Sei N ein Normalteiler einer Gruppe G mit N ∼ = Sym(3) ∼ = G/N. Zeigen Sie, dass G zu<br />
Sym(3) × Sym(3) isomorph ist.<br />
A.7.3. Aufgabe 28<br />
Seien G1, G2 Gruppen. Konstruieren Sie eine Bijektion zwischen <strong>der</strong> Menge aller Untergruppen<br />
von G1 × G2 <strong>und</strong> <strong>der</strong> Menge aller 5-Tupel (H1, K1, H2, K2, ϕ) mit den folgenden<br />
Eigenschaften:<br />
(i) K1 � H1 � G1 <strong>und</strong> K2 � H2 � G2.<br />
(ii) ϕ: H1/K1 → H2/K2 Isomorphismus.<br />
A.7.4. Aufgabe 29<br />
Finden Sie mit GAP eine endliche Gruppe G, in <strong>der</strong> nicht jedes Element aus G ′ ein<br />
Kommutator ist.<br />
A.8. Blatt 8<br />
A.8.1. Aufgabe 30<br />
Zeigen Sie, dass <strong>für</strong> Elemente a, b einer Gruppe G stets gilt:<br />
(i) Ist [a, b] mit a vertauschbar, so ist [a n , b] = [a, b n ] <strong>für</strong> n ∈ Z.<br />
(ii) Ist [a, b] mit a <strong>und</strong> b vertauschbar, so ist (ab) n = anbn [b, a] (n2)<br />
<strong>für</strong> n ∈ N.<br />
109
A. Übungsaufgaben<br />
A.8.2. Aufgabe 31<br />
Seien K ein Körper <strong>und</strong> n ∈ N.<br />
(i) Zeigen Sie, dass die Untergruppe U von GL(n, K), die aus allen Matrizen <strong>der</strong> Form<br />
⎛<br />
1 ∗ . . . . . . ∗<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ⎞<br />
.<br />
.<br />
. .<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ⎟<br />
. ⎟<br />
.<br />
⎟<br />
. ⎟<br />
∗⎠<br />
0 . . . . . . 0 1<br />
besteht, nilpotent ist <strong>und</strong> bestimmen Sie die Nilpotenzklasse von U.<br />
(ii) Zeigen sie, dass die Untergruppe B von GL(n, K), die aus allen Matrizen <strong>der</strong> Form<br />
besteht, auflösbar ist.<br />
A.8.3. Aufgabe 32<br />
⎛<br />
∗ . . . . . . . . . ∗<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ⎞<br />
.<br />
.<br />
. .<br />
. .. . ..<br />
. .. . ..<br />
. ⎟<br />
. ⎟<br />
.<br />
⎟<br />
. ⎟<br />
. ⎟<br />
. ⎠<br />
0 . . . . . . 0 ∗<br />
(i) Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau fünf Gruppen <strong>der</strong> Ordnung 8 gibt.<br />
(ii) Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen <strong>der</strong> Ordnung 10 gibt.<br />
A.8.4. Aufgabe 33<br />
Beweisen Sie, dass eine zyklische Gruppe <strong>der</strong> Ordnung n < ∞ zu jedem Teiler d von n<br />
genau eine Untergruppe <strong>der</strong> Ordnung d enthält.<br />
110
A.9. Blatt 9<br />
A.9.1. Aufgabe 34<br />
A.9. Blatt 9<br />
Seien G eine endliche Gruppe <strong>und</strong> α ∈ Aut(G) mit { x ∈ G | α(x) = x } = {1}. (Automorphismen<br />
mit dieser Eigenschaft heißen fixpunktfrei.) Zeigen Sie:<br />
(i) G = � α(x)x −1 � � x ∈ G �<br />
(ii) Ist α 2 = idG, so ist G abelsch von ungera<strong>der</strong> Ordnung.<br />
A.9.2. Aufgabe 35<br />
Sei K ein Körper mit |K| = 3. Zeigen Sie, dass GL(2, K)/Z(GL(2, K)) zu Sym(4) isomorph<br />
ist.<br />
A.9.3. Aufgabe 36<br />
Beweisen Sie folgende Aussage: Sei G eine Gruppe. Wenn G/Z(G) zyklisch ist, so ist die<br />
Gruppe G abelsch.<br />
A.9.4. Aufgabe 37<br />
Zeigen Sie, dass eine endlich erzeugte Gruppe <strong>für</strong> n ∈ N nur endlich viele Untergruppen<br />
vom Index n enthält.<br />
A.9.5. Aufgabe 38<br />
Sei H eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G, <strong>der</strong>en Index <strong>der</strong> kleinste Primfaktor<br />
von |G| ist. Zeigen Sie: H � G.<br />
A.10. Blatt 10<br />
A.10.1. Aufgabe 39<br />
Wie viele verschiedene Armbän<strong>der</strong> aus insgesamt 10 Perlen lassen sich herstellen, wenn<br />
Perlen in den Farben rot, gelb <strong>und</strong> blau zur Verfügung stehen?<br />
111
A. Übungsaufgaben<br />
A.10.2. Aufgabe 40<br />
(i) Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen <strong>der</strong> Ordnung 9 gibt.<br />
(ii) Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle endlichen Gruppen <strong>der</strong> Klassenzahl 4.<br />
A.10.3. Aufgabe 41<br />
Seien G �= 1 eine endliche Gruppe <strong>und</strong> A � Aut(G). Wir betrachten die natürliche<br />
Operation von A auf G \ {1}. Zeigen Sie:<br />
(i) Ist die Operation transitiv, so ist G abelsch <strong>und</strong> es existiert ein p ∈ P mit x p = 1 <strong>für</strong><br />
alle x ∈ G.<br />
(ii) Ist sie 2-transitiv, so ist p = 2 o<strong>der</strong> |G| = 3.<br />
(iii) Ist sie 3-transitiv, so ist |G| = 4.<br />
(iv) Sie ist nie 4-transitiv.<br />
A.10.4. Aufgabe 42<br />
Seien G eine endliche Gruppe, p ∈ P <strong>und</strong> S, T verschiedene p-Sylowgruppen von G <strong>der</strong>art,<br />
dass |S ∩ T| möglichst groß. Zeigen Sie:<br />
A.11. Blatt 11<br />
A.11.1. Aufgabe 43<br />
|Syl p(G)| ≡ 1 (mod |S: S ∩ T|)<br />
Sei G eine Gruppe <strong>der</strong> Ordnung 2n, wobei n ∈ N ungerade ist. Zeigen Sie, dass G einen<br />
Normalteiler H vom Index 2 enthält.<br />
A.11.2. Aufgabe 44<br />
Seien K ein Körper, n ∈ N <strong>und</strong> U die Untergruppe von G := GL(n, K), die aus allen<br />
oberen Dreiecksmatrizen mit lauter Einsen auf <strong>der</strong> Hauptdiagonale besteht. Berechnen<br />
Sie NG(U).<br />
112
A.11.3. Aufgabe 45<br />
A.12. Blatt 12<br />
Sei g ∈ Alt(n) <strong>für</strong> ein n ∈ N. Wie kann man am Typ (k1, . . . , kl) von g erkennen, ob<br />
C Sym(n)(g) ⊆ Alt(n) ist?<br />
A.11.4. Aufgabe 46<br />
(i) Zeigen Sie, dass <strong>für</strong> p ∈ P <strong>und</strong> n ∈ N Gruppen <strong>der</strong> Ordnungen 4p n <strong>und</strong> 8p n stets<br />
auflösbar sind.<br />
(ii) Beweisen Sie, dass Gruppen <strong>der</strong> Ordnungen 61, . . . , 119 auflösbar sind.<br />
(iii) Zeigen Sie, dass eine Gruppe <strong>der</strong> Ordnung 120 nicht einfach sein kann.<br />
(iv) Sind Sym(5) <strong>und</strong> SL(2, F5) isomorph?<br />
A.12. Blatt 12<br />
A.12.1. Aufgabe 47<br />
(i) Zeigen Sie, dass Alt(4) keine Untergruppe <strong>der</strong> Ordnung 6 enthält.<br />
(ii) Ist Sym(4) zu SL(2, F3) isomorph?<br />
(iii) Konstruieren Sie zwei nichtkonjugierte Untergruppen <strong>der</strong> Ordnung 24 in GL(3, F2).<br />
A.12.2. Aufgabe 48<br />
(i) Beweisen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau fünf Gruppen <strong>der</strong> Ordnung 12 gibt.<br />
(ii) Zeigen Sie, dass jede Gruppe <strong>der</strong> Ordnung 15 zyklisch ist.<br />
A.12.3. Aufgabe 49<br />
wie viele verschiedene Färbungen <strong>der</strong> sechs Seiten eines Würfels mit höchstens 3 Farben<br />
gibt es?<br />
A.12.4. Aufgabe 50<br />
Seien G eine endliche auflösbare Gruppe, π ⊆ P, H ∈ Hallπ(G) <strong>und</strong> NG(H) � u � G.<br />
Zeigen Sie: NG(U) = U.<br />
113
A. Übungsaufgaben<br />
A.13. Blatt 13<br />
A.13.1. Aufgabe 51<br />
(i) Sei n ∈ N mit n � 3. Zeigen Sie, dass die Permutationen<br />
a = (1, 2, . . . , n) b = (1, n)(2, n − 1)(3, n − 2) . . .<br />
eine Untergruppe <strong>der</strong> Ordnung 2n von Sym(n) erzeugen. Man nennt D2n := 〈a, b〉<br />
Die<strong>der</strong>gruppe <strong>der</strong> Ordnung 2n.<br />
(ii) Beweisen Sie, dass D2n zur Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks isomorph<br />
ist.<br />
Bemerkung: Manchmal betrachtet man die KLEINsche Vierergruppe<br />
V4 = {(1), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} � Sym(4)<br />
als Die<strong>der</strong>gruppe <strong>der</strong> Ordnung 4.<br />
A.13.2. Aufgabe 52<br />
Sei G eine endliche Gruppe <strong>und</strong> seien x, y ∈ G zwei verschiedene Involutionen (d. h.<br />
Elemente <strong>der</strong> Ordnung 2). Zeigen Sie, dass 〈x, y〉 zu einer Die<strong>der</strong>gruppe isomorph<br />
ist.<br />
A.13.3. Aufgabe 53<br />
(i) Beweisen Sie, dass es <strong>für</strong> p ∈ P bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen <strong>der</strong><br />
Ordnung 2p gibt.<br />
(ii) Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen <strong>der</strong> Ordnung 21 gibt.<br />
A.13.4. Aufgabe 54<br />
Seien G eine endliche Gruppe, p ∈ P, Q � G eine p-Untergruppe <strong>und</strong> N � G ein<br />
p ′ -Normalteiler. Zeigen Sie:<br />
114<br />
N G/N(QN/N) = NG(Q)N/H C G/N(QN/N) = CG(Q)N/N
B. Artikel zum begleitendem Lesen<br />
Herr Külshammer teilte zu Beginn <strong>der</strong> Vorlesung einen Ausschnitt aus einer Zeitschrift<br />
aus. Das Dokument kann auf <strong>der</strong> Seite http://www.math.auckland.ac.nz/~obrien/<br />
research/gnu.pdf nachgelesen werden.<br />
115
Literaturverzeichnis<br />
[1] ALPERIN-BELL. Groups and representations.<br />
[2] ASCHBACHER. Finite group theory.<br />
[3] ISAACS. Finite group theory.<br />
[4] KURZWEIL-STELLMACHER. Theorie <strong>der</strong> endlichen Gruppen.<br />
[5] ROBINSON. course in the theory of groups.<br />
[6] ROTMAN. An introduction to the theory of groups.<br />
[7] HUPPERT. Endliche Gruppen I.<br />
[8] HUPPERT-BLACKBURN. Finite groups II–III.<br />
[9] SUZUKI. Group theory I–II.<br />
[10] GORENSTEIN. Finite Groups.<br />
[11] RONAN. Symmetry and the monster.<br />
116
Index<br />
π Element, 82<br />
Ω Gruppe, 33, 82<br />
charakteristisch einfache, 36<br />
einfache, 36<br />
unzerlegbare, 41<br />
π HALL Gruppe, 82<br />
Ω Homomorphismus, 33<br />
π Kern, 88<br />
Ω Normalteiler, 33<br />
Ω Untergruppe, 33<br />
3 Untergruppen=Lemma, 53<br />
A<br />
Abbildung<br />
identische, 14<br />
abelsch, 14<br />
Alphabet, 14<br />
auflösbar, 54<br />
Auflösbarkeitsstufe, 54<br />
Automorphismengruppe<br />
innere, 21<br />
äußere, 30<br />
Automorphismus<br />
fixpunktfreier, 111<br />
innerer, 21<br />
B<br />
Bahn, 64<br />
Bahnengleichung, 64<br />
Basis, 46<br />
Basistransposition, 78<br />
Bild, 21<br />
Buchstaben, 14<br />
C<br />
charakteristisch, 32<br />
charakteristisch einfach, 36<br />
D<br />
Die<strong>der</strong>gruppe, 11, 114<br />
disjunkt, 77<br />
Doppelnebenklasse, 25<br />
E<br />
echt, 35<br />
einfach, 29, 36<br />
Einheitengruppe, 17<br />
Endomorphismus<br />
addierbarer, 42<br />
normaler, 37<br />
Epimorphismus<br />
kanonischer, 29<br />
Erzeugendensystem, 20<br />
F<br />
Faktor, 35<br />
Faktorgruppe, 28<br />
Fehlstand, 78<br />
Fixpunkt, 65<br />
fixpunktfrei, 111<br />
Fokalgruppe, 95<br />
freie abelsche Gruppen, 46<br />
G<br />
Grad<br />
orthogonale Gruppe, 62<br />
unitäre Gruppe, 63<br />
Gruppe, 17<br />
alternierende, 79<br />
auflösbare, 54<br />
einfache, 29<br />
endlich erzeugte, 20<br />
117
INDEX<br />
freie abelsche, 46<br />
hyperfokale, 96<br />
nilpotente, 58<br />
orthogonale, 62<br />
perfekte, 53<br />
projektive allgemeine lineare, 89<br />
projektive allgemeine lineare Gruppe,<br />
89<br />
projektive spezielle lineare, 89<br />
projektive spezielle lineare Gruppe,<br />
89<br />
symmetrische, 17<br />
torsionsfreie, 46<br />
unitäre, 63<br />
H<br />
Halbgruppe, 14<br />
freie, 14<br />
Hallgruppe, 82<br />
Hauptfaktor, 36<br />
Hauptlänge, 36<br />
Hauptreihe, 36<br />
höheren Kommutatorgruppen, 53<br />
Homomorphismus, 15<br />
hyperfokal, 96<br />
Hyperzentrum, 58<br />
I<br />
Identität<br />
DEDEKINDsche, 19<br />
imprimitiv, 68<br />
Index, 23<br />
Inverses, 14<br />
Inversion, 78<br />
invertierbar, 14<br />
isomorph, 15, 35<br />
K<br />
k Zyklus, 77<br />
Kern, 21, 63, 65<br />
Klassengleichung, 70<br />
Klassenzahl, 70<br />
kommutativ, 14<br />
118<br />
Kommutator, 51<br />
höhere rechtsnormierte, 51<br />
Kommutator zweier Teilmengen, 52<br />
Kommutatorgruppe, 53<br />
Komplement, 87<br />
Kompositionsfaktoren, 36<br />
Kompositionslänge, 36<br />
Kompositionsreihe, 36<br />
Konjugation, 70, 71<br />
Konjugationsklasse, 70, 71<br />
konjugiert, 70, 71<br />
Kranzprodukt, 107<br />
L<br />
LEVI-Untergruppe, 44<br />
linear abhängig, 46<br />
linear unabhängig, 46<br />
Linksinverse, 14<br />
linksinvertierbar, 14<br />
linkskongruent, 23<br />
Linksnebenklasse, 23<br />
linksneutral, 13<br />
Linksoperation, 62<br />
Länge, 35, 64, 77, 78<br />
M<br />
Magma, 13<br />
Maximalbedingung, 40<br />
Minimalbedingung, 40<br />
Monade, 13<br />
Monoid, 14<br />
freies, 14<br />
N<br />
n transitiv, 66<br />
neutral, 13<br />
nilpotent, 41, 58<br />
Nilpotenzklasse, 58<br />
normal, 28<br />
Normalisator, 60, 71<br />
Normalreihe, 35<br />
Normalteiler, 28<br />
maximale, 39
minimale, 39<br />
Nullabbildung, 37<br />
O<br />
ähnlich, 64<br />
äquivalent, 64<br />
Operation, 62<br />
imprimitive, 68<br />
primitive, 68<br />
reguläre, 65<br />
transitive, 65<br />
treue, 63<br />
triviale, 63<br />
Operatoren, 33<br />
Ordnung, 18, 24<br />
P<br />
p Element, 71<br />
p Gruppe, 71<br />
paarweise addierbar, 42<br />
Partition, 77<br />
perfekt, 53<br />
Permutation, 17<br />
Permutationsmatrizen, 103<br />
Potenz, 14<br />
Primgruppe, 71<br />
primitiv, 68<br />
Produkt<br />
direktes, 17<br />
direktes eingeschränktes, 19<br />
semidirektes, 104<br />
R<br />
Radikal<br />
auflösbares, 55<br />
Rang, 48<br />
Rechtsinverse, 14<br />
rechtsinvertierbar, 14<br />
rechtskongruent, 23<br />
Rechtsnebenklasse, 23<br />
rechtsneutral, 13<br />
regulär, 65<br />
S<br />
Stabilisator, 64<br />
Subnormalreihe, 35<br />
ohne Wie<strong>der</strong>holung, 35<br />
Summe<br />
direkte, 38<br />
Sylowgruppe, 71<br />
T<br />
torsionsfrei, 46<br />
Torsionsgruppe, 46<br />
transitiv, 65, 66<br />
Transposition, 78<br />
treu, 63<br />
trivial, 63<br />
Typ, 77<br />
U<br />
Untergruppe, 18<br />
echte, 18<br />
erzeugte, 20<br />
maximale, 39<br />
minimale, 39<br />
normale, 28<br />
triviale, 18<br />
zyklische, 20<br />
Urbild, 21<br />
V<br />
Verfeinerung, 35<br />
echte, 35<br />
Verknüpfung, 13<br />
Verlagerung, 94<br />
vertauschbar, 14<br />
vollinvariant, 32<br />
Vorzeichen, 79<br />
W<br />
Wort, 14<br />
leeres, 14<br />
Y<br />
YOUNG-Untergruppe, 44<br />
INDEX<br />
119
INDEX<br />
Z<br />
Zentralfolge, 57<br />
absteigende, 57<br />
aufsteigende, 58<br />
Zentralisator, 70<br />
Zentralreihe, 59<br />
absteigende, 60<br />
aufsteigende, 59<br />
obere, 59<br />
untere, 60<br />
Zentrum, 21<br />
Zyklenschreibweise, 77<br />
Zyklus, 77<br />
disjunkter, 77<br />
120