Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

Bemerkung 8.5
Wegen F ∼ = A/T(A) ist F durch A bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Insbesondere
ist der Rang von F durch A eindeutig bestimmt. Dagegen ist F selbst i. A. nicht eindeutig
bestimmt.
Satz 8.7
Sei A eine abelsche Gruppe der Ordnung n < ∞ und n = p k1
1 · . . . · pkr r die Primfaktor-
� �
�
zerlegung von n. Dann ist A = A1 ⊕ . . . ⊕ Ar mit Ai := a ∈ A � p ki
�
i a = 0 � A für
i = 1, . . . , r.
BEWEIS:
Für a ∈ A gilt: m := |〈a〉| | n. Daher existiert eine Primfaktorzerlegung m = p l1
1 · . . . · plr r
mit l1 � k1, . . . , lr � kr. Für i = 1, . . . , r sei mi := m/p l i
i . Dann ist |〈mia〉| = p li
i .
Nach LAGRANGE ist die Ordnung der Untergruppe 〈m1a, . . . , mra〉 von 〈a〉 teilbar durch
p l1
1 , . . . , plr r , also auch durch m. Folglich ist a ∈ 〈a〈= 〈m1a, . . . , mra〉 ∈ A1 + · · · + Ar.
Damit ist gezeigt, dass A = A1 + · · · + Ar.
Sei x1 ∈ A1∩(A1+· · ·+Ar). Wir schreiben x1 = x2+· · ·+xr mit x2 ∈ A2, . . . , xr ∈ Ar. Für
i = 1, . . . , r ist p ki
i xi = 0 und es folgt mit n1 := p k2
2 · . . . · pkr r : n1x1 = n1x2 + · · · + n1xr =
0 = p1k1x1. Daher ist die Ordnung von 〈x1〉 ein Teiler des größten gemeinsamen Teilers
von n1 und p k1
1 . Dieser ist aber 1, d. h. x1 = 0. Also A1 ∩ (A2 + · · · + Ar) = 0. Aus
Symmetriegründen folgt somit A = A1 ⊕ . . . ⊕ Ar. �
Satz 8.8
Seien p ∈ P, k ∈ N und A eine endliche abelsche Gruppe mit p k a = 0 für alle a ∈ A. Dann
existieren endlich viele natürliche Zahlen t1, . . . , ts mit A ∼ = (Z/p t1Z) × . . . × (Z/p ts Z).
BEWEIS:
Aus der Voraussetzung folgt leicht, dass für alle a ∈ A gilt: |〈a〉| | pk . Sei a1 ∈ A derart,
dass pt1 = |〈a1〉| maximal ist. Dann erfüllt B := A/〈a1〉 die gleichen Voraussetzungen
wie A. Aber |B| < |A|. Wir verwenden jetzt eine Induktion nach der Gruppenordnung.
Daher können wir annehmen, dass B ∼ = (Z/pt2Z) × . . . × (Z/ptsZ) mit t2, . . . , ts ∈ N.
Also existieren Elemente b2 = b2/〈a1〉, . . . , bs = bs/〈a1〉 ∈ B = A/〈a1〉 der Ordnungen
pt2, . . . , pts mit B = 〈b2〉 ⊕ . . . ⊕ 〈bs〉. Für i = 2, . . . , s ist 0 = ptibi = ptibi + 〈a1〉,
d. h. ptibi mit in der Gruppe 〈a1〉 liegen. Wir schreiben ptibi = zia1 mit zi ∈ Z. Wegen
pt1bi = pt1bi + 〈a1〉 = 0 ist ti � t1 und 0 = pt1bi = pt1−tiptibi = pt1−tizia1. Daher
ist zi durch pti teilbar, etwa zi = ptiyi. Also: 0 = ptibi − ptiyia1 = pti(bi − yia1)
und
ai + 〈a1〉 = bi + 〈a1〉. Ferner gilt: |〈ai〉| = p ti.
� �� �
=: ai
Wegen A/〈a1〉 = 〈b2, . . . , bs〉 = 〈a2 + 〈a1〉, . . . , as + 〈a1〉〉 ist A = 〈a1, a2, . . . , as〉. Die
Abbildung f: Z/p t1Z×. . . Z/p ts Z → A mit (x1 +p t1Z, . . . , xs +p ts Z) ↦→ x1a1 +· · ·+xsas
ist wohldefiniert und ein surjektiver Homomorphismus (Epimorphismus). Dabei gilt:
|A| = |A/〈a1〉| · |〈a1〉| = p t2 · . . . · p ts p t1 = |Z/p t1Z × . . . × Z/p ts Z|. Also ist f bijektiv, d. h.
ein Isomorphismus. �
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