Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

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4. Nebenklassen Beispiel 4.2 � 1 Sei G := Sym(3), H := 〈b〉, K := 〈c〉, a := 1 mit b := 2 2 1 � � 3 1 , c := 3 3 2 2 � 3 . Dann 1 besteht H aus {1, b} und K aus {1, c}. Es ist HaK = {1, b, c, bc}. Also |HaK| = 4 ∤ 6 = |G|. Satz 4.8 Seien G eine Gruppe, H, K � G und a ∈ G. Dann enthält HaK genau |H: H ∩ aKa −1 | Linksnebenklassen nach K und genau |K: a −1 Ha ∩ K| Rechtsnebenklassen nach H. Insbesondere ist |HaK| = |H: H ∩ aKa −1 | · |K| = |K: a −1 Ha ∩ K| · |H|. BEWEIS: Es reicht, den Beweis für eine Seite zu führen. Der Rest folgt aus Symmetriegründen. Es ist HaK = � f(h) mit f: H → G/K mit h ↦→ haK. Dabei gilt für Elemente h∈H h, h ′ ∈ H: f(h) = f(h ′ ) ⇔ haK = h ′ aK ⇔ a−1h−1h ′ a ∈ K ⇔ h−1h ′ ∈ aKa−1 ∩ H ⇔ h(aKa−1 ∩ H) = h ′ (aKa−1 ∩ H). � Bemerkung 4.7 Nach dem Satz 3.7(i) ist aKa −1 = ada(K) � G und analog a −1 Ha � G. Beispiel 4.3 Für a = 1 ist HaK = HK. Im Allgemeinen ist HK � K. Nach dem Satz 4.8 enthält HK genau |H: H ∩ K| Linksnebenklassen nach K und genau |K: K ∩ H| Rechtsnebenklassen nach H. Insbesondere gilt: (i) |HK| = |H: H ∩ K| · |K| = |K: H ∩ K| · |H| (ii) |H: H ∩ K| � |G: K| (iii) |H: H ∩ K| = |G: K| < ∞ ⇒ G = HK = KH Bemerkung 4.8 Den Satz von LAGRANGE (Satz 4.2) kann man folgendermaßen verallgemeinern: Ist G eine Gruppe und K � H � G, so gilt: |G: K| = |G: H| · |H: K|. Denn ist das G = ·∪i∈IgiH gihjK. und H = ·∪j∈JhjK, so ist G = ·∪i∈I j∈J Satz 4.9 Für Untergruppen H und K einer Gruppe G gilt stets: (i) |G: H ∩ K| � |G: H| · |G: K| (ii) |G: H ∩ K| = |G: H| · |G: K| < ∞ ⇒ G = HK = KH (iii) Seien |G: H|, |G: K| endlich und teilerfremd. Dann ist |G: H ∩ K| = |G: H| · |G: K| und G = HK = KH. BEWEIS: (i) |G: H ∩ K| = |G: H| · |H: H ∩ K| � |G: H| · |G: K| (letzter Schritt nach Satz 4.8(ii)) 26 (ii) Sei |G: H ∩ K| = |G: H| · |G: K| < ∞. Dann zeigt der Beweis des ersten Teiles dass |G: K| = |H: H ∩ K|. Aus Satz 4.8(iii) folgt dann: G = HK = KH.
(iii) Seien |G: H|, |G: K| endlich und teilerfremd. Die obige Bemerkung zeigt, dass |G: H| | |G: H∩K| und |G: K| | |G: H: K|. Daher ist |G: H|·|G: K| | |G: H∩K|. Mit dem ersten Punkt folgt, dass |G: H ∩ K| = |G: H| · |G: K| und (ii) liefert G = HK = KH.� 27
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INDEX Z Zentralfolge, 57 absteigend
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