Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

BEWEIS:
Für i = 1, . . . , n ist εi nach der Definition der direkten Summe wohldefiniert. Es ist auch
ein Homomorphismus. Denn für g1, h1 ∈ G1, . . . , gn, hn ∈ Gn und ω ∈ Ω gilt: εi(g1 ·
. . . gn · h1 · . . . · hn) = εi(g1h1 · . . . · gnhn) = gihi = εi(g1 · . . . · gn)εi(h1 · . . . · hn). Weiter
ist die Verträglichkeit mit ω zu prüfen: εi( ω (g1 · . . . · gn)) = εi( ω g1 · . . . · ω gn) = ω gi =
ω εi(g1 · . . . · gn). Weiter haben wir: εi(g(g1 · . . . · gn)g −1 ) = εi(gg1g −1 · . . . · ggng −1 ) =
ggig −1 = gεi(g1 · . . . · gn)g −1 . Für i �= j sind εi, εj wegen εi(G) = Gi, εj(G) = Gj
addierbar. Der Rest des Beweises ist klar. �
Satz 7.8
Seien Ω eine Menge, G eine unzerlegbare Ω-Gruppe mit Minimal- und Maximalbedingung
für Ω-Untergruppen und α, β ∈ EndΩ(G) normal sowie addierbar mit α + β ∈ AutΩ(G).
Dann ist α ∈ AutΩ(G) oder β ∈ AutΩ(G).
BEWEIS:
Nach der Bemerkung 7.4 sind α ′ := (α + β) −1 ◦ α, β ′ := (α + β) −1 := β ∈ EndΩ(G)
normal und addierbar mit α ′ + β ′ = (α + β) −1 ◦ (α + β) = idG.
Für g ∈ G gilt also:
α ′ (β ′ (g)) = α ′ (α ′ (g −1 )α ′ (g)β ′ (g)) = α ′ (α ′ (g −1 )(α ′ + β ′ )(g))
= α ′ (α ′ (g −1 )g) = α ′ (α ′ (g −1 ))α ′ (g) = α ′ (α ′ (g −1 ))(α ′ + β ′ )(α ′ (g))
= α ′ (α ′ (g −1 ))α ′ (α ′ (g))β ′ (α ′ (g)) = β ′ (α ′ (g))
Falls beide Summanden keine Automorphismen sind, dann wären α ′ , β ′ nilpotent nach
der Bemerkung 7.3. Das heißt (α ′ ) n = 0 = (β ′ ) n für ein n ∈ N. Dann wäre die Identität
auf G: idG = (α ′ +β ′ ) = (α ′ +β ′ ) n = (α ′ +β ′ ) 2n = �2n � � 2n
j=0 j (α ′ ) j ◦(β ′ ) 2n−j = 0. Dies
würde nur gut gehen, wenn G = 1. Das ist aber im Widerspruch zur Voraussetzung. Daher
ist α ′ ∈ AutΩ(G) oder β ′ ∈ AutΩ(G), also auch α ∈ AutΩ(G) oder β ∈ AutΩ(G). �
Satz 7.9 (Eindeutigkeitssatz von KRULL-REMAK-SCHMIDT)
Seien Ω eine Menge und G eine Ω-Gruppe mit Minimal- und Maximalbedingung für
Ω-Untergruppen. Ferner sei G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gr = H1 ⊕ . . . ⊕ Hs mit unzerlegbaren
Ω-Normalteilern G1, . . . , Gr, H1, . . . , Hs. Dann ist r = s, nach geeigneter Umnummerierung
der H1, . . . , Hs ist G = H1 ⊕ . . . ⊕ Hi−1 ⊕ Gi ⊕ . . . ⊕ Gr für i = 1, . . . , r und es
existiert ein normaler Ω-Automorphismus α von G mit α(Gi) = Hi für i = 1, . . . , r.
BEWEIS:
Wir konstruieren für i = 1, . . . , r + 1 einen normalen Ω-Automorphismus αi von G
mit αi(G1) = H1, . . . , αi(Gi−1) = Hi−1, αi(Gi) = Gi, . . . , αi(Gr) = Gr (bei passender
Umnummerierung).
Zunächst sei α1 := idG. Damit ist der Induktionsanfang klar. Sei nun αi für ein i ∈
{1, . . . , r} schon definiert. Dann: G = αi(G) = αi(G1 ⊕ . . . ⊕ Gr) = αi(G1) ⊕ . . . ⊕
αi(Gr) = H1 ⊕ . . . ⊕ Hi−1 ⊕ Gi ⊕ . . . ⊕ Gr. Dazu gehören normale Endomorphismen
ε1, . . . , εr ∈ EndΩ(G) wie in Satz 7.7 und analog hat man normale η1, . . . , ηs ∈ EndΩ(G)
zur Zerlegung G = H1 ⊕ . . . ⊕ Hs. Dabei gilt: εi = εi ◦ idG = εi ◦ �s j=1 ηj = �s j=1 εi ◦ ηj
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