Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

(iii) Sei die Voraussetzung erfüllt. Für g ∈ G ist f: H → H mit x ↦→ gxg −1 ein Automorphismus
von H. Daher ist gKg −1 = f(K) ⊆ K. �
Definition 5.4 (Ω-Gruppe, Operatoren)
Sei Ω eine Menge. Eine Ω-Gruppe ist ein Paar, das aus einer Gruppe G und einer
Abbildung Ω × G → G mit (ω, g) ↦→ ω g mit ω (gh) = ( ω g)( ω h) für alle ω ∈ Ω, g, h ∈ G
besteht. Die Elemente in Ω heißen Operatoren.
Bemerkung 5.6
Für ω ∈ Ω gehört die Abbildung G → G mit g ↦→ ω g zu End G. Dabei können verschiedene
Elemente in Ω den gleichen Endomorphismus von G liefern.
Beispiel 5.4
(i) Jeder Vektorraum V über einem Körper Ω lässt sich als Ω-Gruppe auffassen: ω v :=
ωv für ω ∈ Ω, v ∈ V.
(ii) Sei G beliebig, Ω = {End G, Aut G, Inn G} und ω g := ω(g) für ω ∈ Ω und g ∈ G.
(iii) Sei G eine beliebige Gruppe und Ω ⊆ G. Wir definieren ω g = ωgω −1
(iv) Für jede Familie (Gi)i∈I von Ω-Gruppen Gi ist auch �
i∈I Gi eine Ω-Gruppe mit
ω (gi)i∈I := ( ω gi)i∈I für ω ∈ Ω.
Definition 5.5 (Ω-Untergruppe)
Seien Ω eine Menge und G eine Ω-Gruppe. Eine Untergruppe H � G mit ω h ∈ H für alle
ω ∈ Ω und h ∈ H heißt Ω-Untergruppe von G. Ist H � G, so heißt H Ω-Normalteiler.
Bemerkung 5.7
(i) Jede Ω-Untergruppe kann man wieder als Ω-Gruppe auffassen.
(ii) Für jeden Ω-Normalteiler N � G wird die Faktorgruppe G/N zu einer Ω-Gruppe
mit ω (gN) := ( ω g)N für g ∈ G und ω ∈ Ω. Dies rechnet man leicht nach.
Beispiel 5.5
• Ist G beliebig und Ω = End G, so sind die Ω-Untergruppen von G genau die
vollinvarianten Untergruppen von G.
• Ist G beliebig und Ω = Aut G, so sind die Ω-Untergruppen von G genau die
charakteristischen Untergruppen von G.
• Ist G beliebig und Ω = Inn G, so sind die Ω-Untergruppen von G genau die
normalen Untergruppen von G.
Definition 5.6
Sei Ω eine Menge sowie G, H zwei Ω-Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus f: G → H
mit f( ω g) = ω f(g) heißt Ω-Homomorphismus. Wir üblich hat man auch die anderen Typen
von Morphismen und den Begriff Ω-isomorph. Die Notationen sind ∼ =Ω, HomΩ(G, H), EndΩ(H)
und AutΩ(G).
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