Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und ...

Bemerkung 2.5
Rechenregel: a n a m = a n+m , (a n ) m = a nm , wenn a, b vertauschbar sind, gilt auch:
(ab) n = a n b n . Ist + die Verknüpfung, so schreibt man: na statt a n . Dann sehen die
Rechenregeln so aus: (m + n)a = ma + na, m(na) = (mn)a, wenn a, b vertauschbar
sind, so gilt noch: n(a + b) = na + nb.
Definition 2.7 (Homomorphismus)
Seien M, N zwei Monaden und wir betrachten die Abbildung f: M → N.
(i) Die Abbildung f heißt genau dann Homomorphismus, wenn für alle a, b ∈ M gilt:
f(ab) = f(a)f(b).
(ii) f Monomorphismus ⇔ f injektiver Homomorphismus
(iii) f Epimorphismus ⇔ f surjektiver Homomorphismus
(iv) f Isomorphismus ⇔ f bijektiver Homomorphismus
(v) f Endomorphismus ⇔ f Homomorphismus und M = N
(vi) f Automorphismus ⇔ f bijektiver Endomorphismus
Wir setzen Hom(M, N) := { f: M → N | f Homomorphismus } , End(M) := Hom(M, M)
und Aut(M) := { f ∈ End(M) | f bijektiv }.
Beispiel 2.5
(i) Sei K ein Körper und n eine natürliche Zahl. Dann ist det: (K n×n , ·) → (K, ·) ein
Homomorphismus.
(ii) Die Exponentialfunktion von (R, +) auf (R, ·).
(iii) Sei W die freie Halbgruppe über einem Alphabet A und w ∈ W mit w = a1, . . . , an
und a1, . . . , an ∈ A. Die Funktion l(w) := n ist die Länge des Wortes. Dann ist
l: W → (N, +) ein Homomorphismus.
Bemerkung 2.6
(i) Seien L, M, N Monaden und f ∈ Hom(L, M), g ∈ Hom(M, N). Dann ist g ◦ f ∈
Hom(L, N) ein Homomorphismus. Denn (g ◦ f)(ab) = g(f(ab)) = g(f(a) · f(b)) =
g(f(a)) · g(f(b)) = (g ◦ f)(a) · (g ◦ f)(b) für a, b ∈ L.
(ii) Sei f ein Isomorphismus. Dann ist f −1 ebenfalls ein Isomorphismus. Denn f −1 (xy) =
f −1 (f(f −1 (x)) · f(f −1 (y))) = f −1 (f(f −1 (x) · f −1 (y))) = f −1 (x)f −1 (y).
Definition 2.8 (isomorph)
Die Monaden M, N heißen isomorph (M ∼ = N), falls ein Isomorphismus f: M → N
existiert.
Beispiel 2.6
Es gilt: ({w, f}, ∨) ∼ = ({0, 1}, ·). Zum Nachweis kann man die Verknüpfungstafel prüfen.
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