The Real And Complex Number Systems

For complex θ, we show that it holds as follows. Note that sin z = eiz −e −iz
2i
and cos z = eiz +e −iz
, we have
2
( ) e
3 cos 2 z sin z − sin 3 iz + e −iz 2 ( ) ( ) e iz − e −iz e iz − e −iz 3
z = 3
−
2
2i
2i
( ) ( ) e 2zi + e −2zi + 2 e iz − e −iz
= 3
+ e3zi − 3e iz + 3e −iz − e −3zi
4
2i
8i
= 1 [ (
3 e 2zi + e −2zi + 2 ) ( e zi − e −zi) + ( e 3zi − 3e iz + 3e −iz − e −3zi)]
8i
= 1 [(
3e 3zi + 3e iz − 3e −iz − 3e −3zi) + ( e 3zi − 3e iz + 3e −iz − e −3zi)]
8i
= 4 (
e 3zi − e −3zi)
8i
= 1 (
e 3zi − e −3zi)
2i
Similarly, we also have
= sin 3z.
cos 3 z − 3 cos z sin 2 z = cos 3z.
1.46 Define tan z = sin z/ cos z and show that for z = x + iy, we have
tan z =
sin 2x + i sinh 2y
cos 2x + cosh 2y .
31