Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

Đặt
⎧σ
1
= x + y
⎨
⎩σ
2
= xy
S = x + y = σ − 2σ
2 2 2
2 1 2
S = x + y = σ − 4σ σ + 2σ
4 4 4 2 2
4 1 1 2 2
4 3 2 2 3 4
( , ) = 10 − 27 −110 − 27 + 10
p x y x x y x y xy y
( ) ( )
= 10 x + y − 27xy x + y − 110x y
4 4 2 2 2 2
= 10S
− 27σ
S − 110σ
2
4 2 2 2
( ) ( )
= 10 σ − 4σ σ + 2σ − 27σ σ − 2σ − 110σ
4 2 2 2 2
1 1 2 2 2 1 2 2
= 10σ − 67σ σ − 36σ
4 2 2
1 1 2 2
Ta coi đa thức này là đa thức bậc hai theo biến σ 2 thì với điều kiện tam thức bậc hai, ta dễ dàng
phân tích ra thừa số. Giải phương trình đa thức đối xứng với σ 2 ta có các nghiệm:
2 5 2
σ
2
= − 2 σ1 ; σ
2
= σ1
36
Vậy p ( x, y) = ( σ 2 )( 2
2
+ 2σ 1
5σ 1
− 36σ
2 )
Thay các giá trị của σ 1 , σ 2 ta có:
( ) ( ) ( )
2 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
p x, y = 2 x + y + xy 5 x + y − 36xy
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( 2 x 2 5 xy 2 y 2 )( 5 x 2 26 xy 5 y
2
)
= + + − +
Mỗi thừa số lại là một tam thức bậc hai nên ta lần lượt phân tích các đa thức này.
2 2
1
Coi 2x + 5xy + 2y
là tam thức bậc hai của biến x ta sẽ có nghiệm là x = − y ; x = − 2 y
2
Vì thế 2x 2 + 5xy + 2y 2 = ( 2x + y)( x + 2y)
2 2
1
Coi 5x − 26xy + 5y
là tam thức bậc hai của biến x ta sẽ có nghiệm là x = y ; x = 5 y
5
Vì thế 5x 2 − 26xy + 5y 2 = ( 5x − y)( x − 5y)
Cuối cùng ta nhận được p ( x, y) = ( 2x + y)( x + 2y)( 5x − y)( x − 5y)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Giải:
3 3 3
( , , ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) − 3( + )( + )( + )
p x y z x y y z z x x y y z z x
Ta biểu diễn p ( x, y,
z)
qua các đa thức đối xứng cơ bản bằng phương pháp hệ tử bất định.
{ }
Hệ thống số mũ là M = ( 3,0,0 );( 2,1,0 );( 1,1,1 )
Suy ra ( )
3
p x, y,
z = aσ + bσ σ + cσ
1 1 2 3
Ta lập bảng:
x y z σ
1
σ
2
3
σ ( )
3
p x, y,
z = aσ + bσ σ + cσ
1 1 2 3
Chuyên đề: Đa thức đối xứng và ứng dụng Page 10