Views
5 months ago

Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

https://app.box.com/s/4qc8w4k17wfrirjypcy9a0wj6dg4gl3m

⎧σ 1 = x + y ⎨ σ 2

⎧σ 1 = x + y ⎨ σ 2 = xy Ta có ⎩ Muốn x,y xác định là số thực thì điều kiện cần đủ là: ∆ = σ − 4σ ≥ 0 2 1 2 Muốn x, y là những số thực không âm điều kiện cần đủ là: 2 ⎧∆ = σ1 − 4σ 2 ≥ 0 ⎪ ⎨σ 1 ≥ 0 ⎪ ⎩σ 2 ≥ 0 *Xét trường hợp ba biến: Nếu x, y, z là các số thực bất kì, ta có Dấu “ =” xảy ra khi x = y = z 2 2 2 ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) ≥ 0 ∆ = 2( x + y + z ) − 2(xy+ yz+ zx) = 2( σ − 2 σ ) − 2σ = 2σ − 6σ 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 Vì vậy: σ ≥ 3σ . Từ hệ thức này ta suy ra nhiều bất đẳng thức khác như: 1 2 ( x + y + z)( xy + yz + zx) ≥ 9 xyz,( x, y, z ∈i*) 6.2.2. Ví dụ: Ví dụ 1. Chứng minh rằng với những số thực bất kì x, y bất đẳng thức sau đúng: x + y ≥ xy + yx Giải: Đặt: 4 4 3 3 ⎧σ 1 = x + y ⎨ ⎩σ 2 = xy k k 4 4 3 3 4 4 3 3 Sk = x + y ; x + y ≥ xy + yx ⇔ x + y − xy -yx ≥ 0 4 4 3 3 4 4 2 2 f = x + y − xy -yx = x + y − xy( x -y ) = S − σ S = σ − 4σ σ + 2σ −σ σ − 2σ 4 2 2 2 4 2 2 1 1 2 2 2 1 2 = σ − 5σ σ + 4σ 4 2 2 1 1 2 2 2 1 2 Ta thấy ∆ = σ1 − 4σ 2 ≥ 0 ⇒ σ 2 = ( σ1 − ∆ ) 4 2 2 1 2 3 2 Xét σ1 − σ 2 = σ1 − ( σ1 − ∆ ) = σ1 + ∆ ≥ 0 4 4 4 4 3 3 Vậy f ≥ 0 hay x + y ≥ xy + yx Ví dụ 2. Cho a, b, c > 0; a + b + c ≤ 1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 9 2 2 2 a + 2bc + b + 2ac + c + 2ab ≥ Giải: 2 2 2 Đặt x = a + 2 bc, y = b + 2 ac, z = c + 2ab Ta có bất đẳng thức sau: 1 1 1 1 1 1 9 ( x + y + z)( + + ) ≥ 9 ⇒ + + ≥ x y z x y z x + y + z Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 26

+ + = + + + + + 2 2 2 x y z a 2bc b 2ac c 2ab = + + ≤ 2 ( a b c) 1 1 = 1 ≥ 1 1 1 1 ⇒ + + ≥ 9 2 x + y + z ( a + b + c) x y z Ta có điều phải chứng minh Bài tập áp dụng Bài 1. Chứng minh với các số thực bất kì x, y ta có: a, x + y ≥ x y + xy 6 6 5 5 2 2 b, x + y + 1≥ xy + x + y c,8( x + y ) ≥ ( x + y) 4 4 4 d x y xy x y 2 2 , + + 4 ≥ + 2( + ) Bài 2. Chứng minh rằng với các số thực không âm x, y ta có: a, x + 2x y + 2xy ≥ 6x y 4 3 3 2 2 3 3 x + y x + y 3 b, ≥ ( ) 2 2 7. Một số ứng dụng đối với các đa thức có chứa tham số. 7.1. Giải phương trình dựa o cơ sở Vi-ét. 7.1.1. Cơ sở lí luận: Dùng Vi-ét, ta tìm được mối liên hệ giữa các nghiệm, từ đó kết hợp với giả thiết bài toán ta tìm được nghiệm cửa phương trình. 7.1.2. Phương pháp giải: - Dựa o Vi-ét xác định nghiệm của phương trình. - Đối với phương trình chứa tham số thay x = x0 o phương trình, sau đó tìm giá tị tham số. 7.1.3. Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình 4 3 2 x x x mx − 8 + 18 + − 3 = 0 (1), biết rằng phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn: x1 + x2 = x3 + x4 Giải: Theo giả thiết công thức Vi-ét ta có: ⎧x1 + x2 + x3 + x4 = 8(2) ⎪x1 x2 + x2x3 + x3x4 + x1x3 + x1x4 + x2x4 = 18(3) ⎨ ⎪x1 x2x3 + x2x3 x4 + x1x 3x4 + x1x 2x4 = −m(4) ⎪ ⎩x1 x2x3x4 = −3(5) Từ (2) ⇒ x1 + x2 = x3 + x4 = 4 (3) ⇔ x x + x x + x ( x + x ) + x ( x + x ) = 18 1 2 3 4 1 3 4 2 3 4 ⇔ x x + x x + ( x + x )( x + x ) = 18 1 2 3 4 1 2 3 4 ⇔ x x + = (6) 1 2 x3x4 2 Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 27

TRÌNH BÀY CƠ SỞ PHỔ PHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH VẬT CHẤT
Cơ sở lý thuyết của phương pháp sắc ký bản mỏng và ứng dụng của sắc ký bản mỏng
GIẢI BÀI TẬP SINH HỌC 9 NGUYỄN VĂN SANG VÀ NGUYỄN THỊ VÂN THƯ VIỆN TRƯỜNG THCS NGÔ THÌ NHẬM ĐÀ NẴNG
Kỹ thuật bào chế thuốc bột & viên tròn
Tổng hợp nanocomposite trên cơ sở Ag/PVA bằng phương pháp hóa học với tác nhân khử là hydrazin hydrat
DẠY HỌC VÀ KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
ĐỘC HỌC MÔI TRƯỜNG VÀ SỨC KHỎE CỘNG ĐỒNG
CÁC TRẠNG THÁI VẬT LÝ CỦA POLYMER
CÔNG NGHỆ SẢN XUẤT XI MĂNG LÒ QUAY KHÔ
TÌM HIỂU TRẠNG THÁI SIÊU TỚI HẠN CỦA NƯỚC (SUPERCRITICAL WATER) VÀ ỨNG DỤNG
Giáo án new headway elementary (2nd) 90 tiết
PREVIEW BỘ 14 ĐỀ MEGA HÓA 2018 CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT (BỘ ĐỀ ĐẶC SẮC DÙNG LUYỆN THI ĐẠT KẾT QUẢ CAO MÔN HÓA HỌC CHUẨN BỊ CHO KÌ THI THPT QG 2018)
BÀI GIẢNG HÓA PHÂN TÍCH TS. GVC. HOÀNG THỊ HUỆ AN
PHÂN DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC MAI VĂN HẢI
[DISCUSSION] Ô nhiễm môi trường nước tại sông Cửa Tiền
Sản Phẩm Dầu Mỏ Thương Phẩm TS. Trương Hữu Trì
Tìm hiểu về bao bì năng động (active package)
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng (SKKN 2008)