Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

+ + = + + + + +
2 2 2
x y z a 2bc b 2ac c 2ab
= + + ≤
2
( a b c) 1
1 = 1 ≥ 1 1 1
1 ⇒ + + ≥ 9
2
x + y + z ( a + b + c)
x y z
Ta có điều phải chứng minh
Bài tập áp dụng
Bài 1. Chứng minh với các số thực bất kì x, y ta có:
a,
x + y ≥ x y + xy
6 6 5 5
2 2
b, x + y + 1≥ xy + x + y
c,8( x + y ) ≥ ( x + y)
4 4 4
d x y xy x y
2 2
, + + 4 ≥ + 2( + )
Bài 2. Chứng minh rằng với các số thực không âm x, y ta có:
a, x + 2x y + 2xy ≥ 6x y
4 3 3 2 2
3 3
x + y x + y 3
b, ≥ ( )
2 2
7. Một số ứng dụng đối với các đa thức có chứa tham số.
7.1. Giải phương trình dựa vào cơ sở Vi-ét.
7.1.1. Cơ sở lí luận:
Dùng Vi-ét, ta tìm được mối liên hệ giữa các nghiệm, từ đó kết hợp với giả thiết bài toán ta tìm
được nghiệm cửa phương trình.
7.1.2. Phương pháp giải:
- Dựa vào Vi-ét xác định nghiệm của phương trình.
- Đối với phương trình chứa tham số thay x = x0
vào phương trình, sau đó tìm giá tị tham số.
7.1.3. Ví dụ:
Ví dụ 1:
Giải phương trình
4 3 2
x x x mx
− 8 + 18 + − 3 = 0 (1), biết rằng phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn:
x1 + x2 = x3 + x4
Giải:
Theo giả thiết và công thức Vi-ét ta có:
⎧x1 + x2 + x3 + x4
= 8(2)
⎪x1 x2 + x2x3 + x3x4 + x1x3 + x1x4 + x2x4
= 18(3)
⎨
⎪x1 x2x3 + x2x3 x4 + x1x 3x4 + x1x 2x4
= −m(4)
⎪
⎩x1 x2x3x4
= −3(5)
Từ (2) ⇒ x1 + x2 = x3 + x4 = 4
(3) ⇔ x x + x x + x ( x + x ) + x ( x + x ) = 18
1 2 3 4 1 3 4 2 3 4
⇔ x x + x x + ( x + x )( x + x ) = 18
1 2 3 4 1 2 3 4
⇔ x x + = (6)
1 2
x3x4 2
Chuyên đề: Đa thức đối xứng và ứng dụng Page 27