Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

2
Đặt
Q2 = −3δ
3
P2 = P1 − Q2 = 0
Khi đó
P = Q + Q = δ δ δ − 3 δ .
Vậy ta có biểu diễn sau
2
1 2 1 2 3 3
P = δ δ δ − 3 δ .
2
1 2 3 3
Cách 2: Phương pháp hệ tử bất định
f x1 , x2,..., x
n
.
Cho một đa thức đối xứng ( )
Ta phân tích đa thức đối xứng đa cho thành tổng của các đa thức đối xứng đẳng cấp. Sau đó biểu
diẽn mỗi đa thức đối xứng đẳng cấp qua các đa thức đối xứng cơ bản bằng phương pháp hệ tử bất
định.
Ví dụ sau sẽ cụ thể hóa phương pháp này:
Ví dụ : Biểu diễn đa thức sau theo những đa thức đối xứng cơ bản
3 3 3 2 2 2 2 2 4 4 4
( , , ) = 2 + 2 + 2 + 3 . + 3 . + 3 . + 3 . + 3 . + 10 . .
P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 2 3
Giải:
Bước 1: Ta phân tích đa thức P thành tổng của các đa thức đối xứng đẳng cấp
( , , ) = ( , , ) + ( , , )
P x x x P x x x P x x x
1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3
P x , x , x = 2x + 2x + 2x + 3 x . x + 3 x . x + 3 x . x + 3 x . x + 3 x . x là đa thức đối
Với ( )
3 3 3 2 2 2 2 2
1 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3
xứng đẳng cấp bậc 3.
4 4 4
( , , ) 10 . .
P x x x = x x x là đa thức đối xứng đẳng cấp bậc 12.
2 1 2 3 1 2 3
Ta biểu diễn đa thức P1 , P2
qua các đa thức đối xứng cơ bản.
Đối với đa thức P
1
3
2x 1
Hạng tử cao nhất của Pị là
Bước 2 : Xác định tập hợp M
.
( , , ) | 3 0, 3 ( 3,0,0 );( 2,1,0 );( 1,1,1 )
M = t t t ≥ t ≥ t ≥ t ≥ t + t + t = =
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Hệ thống số mũ Hạng tử cao nhất Tổ hợp đa thức đối xứng cơ bản
( 3,0,0 )
( 2,1,0 )
( )
3
2x
1
x x
1,1,1 x1x 2x3
3
2δ
1
αδ δ
2
α
1 2
1 2
β βδ
3
Do vậy P
1
biểu diễn dưới dạng
Bước 3: Lập bảng
P = 2δ + αδ δ + βδ .
3
1 1 1 2 3
x1
x2
x3
δ1
δ2
3
3
δ P1 = 2δ1 + αδ1δ 2
+ βδ3
Chuyên đề: Đa thức đối xứng và ứng dụng Page 8