Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

⎧
a1
⎪α1 + α2
+ ... + αn
= −
a0
⎪
⎪
a2
⎪α1α 2
+ α2α 3
+ ... + αn−
1α
n
=
a
⎪
0
⎪
.....
⎨
k ak
⎪ ∑ αi α ... ( 1)
1 i
α
2 i
= −
k
⎪i1 < i2
< ... < i
a
k
0
i1
,..., ik
∈1,...,
n
⎪
⎪......
⎪
⎪
n an
α1α
2... αn
= ( −1)
⎪⎩
a0
Công thức trên gọi là công thức Viet.
1.5. Đa thức đồng dạng
+ Định nghĩa:
Cho P( x) , Q( x) , ϕ ( x)
thuộc A[ x] , ϕ ( x)
P( x) , Q( x)
là đồng dạng theo modun đa thức ( x)
( ) − ( ) ⎤ ϕ ( )
⎡⎣ P x Q x ⎦ M x .
Nếu P( x) , Q( x ) đồng dạng theo modun ( x)
( )
( ) ( ) modϕ
( )
P x ≡ Q x x .
+ Tính chất:
Trong vành đa thức A[ x ], cho ( x)
là một đa thức khác không. Ta nói rằng đa thức
ϕ nếu:
ϕ thif ta kí hiệu là:
ϕ là một đa thức khác không. Khi đó ta có:
( )
1, Với mọi đa thức P( x) , P( x) ≡ P( x) mod ϕ ( x)
.
2, Với hai đa thức P ( x ) và Q( x ) bất kì, nếu P( x) Q( x) modϕ
( x)
( )
( ) ( ) modϕ
( )
P x ≡ Q x x .
( )
≡ thì
( )
3, Với mọi đa thức P( x) , Q( x ) và R ( x ) , nếu P( x) ≡ Q( x) modϕ
( x)
( ) ≡ ( )( modϕ
( ))
thì P( x) ≡ R( x) ( modϕ
( x)
).
4, Với mọi đa thức P( x) , Q( x)
và R ( x ) , nếu P( x) Q( x) modϕ
( x)
Q x R x x
( )
( ). ( ) ( ). ( ) modϕ
( )
P x R x ≡ Q x R x x .
( )
và
≡ thì
5, Cho những đa thức bất kì P1 ( x) , P2 ( x) ,...,P
n ( x) , Q1 ( x) , Q2
( x) ,..., Qn
( x)
và
u1 ( x) , u2
( x) ,..., un
( x ) , nếu Pi
( x) ≡ Qi
( x) ( mod ϕ ( x)
), i = 1, 2,..., n thì
u1 ( x) . P1 ( x) + ... + un ( x) . Pn ( x) ≡ u1 ( x) . Q1
( x) + ... + un ( x) . Qn
( x) ( modϕ
( x)
) .
6, Với các đa thức bất kì P( x) , Q( x)
và R ( x ) , nếu P( x) Q( x) R( x) modϕ
( x)
( )
( ) ( ) ( ) modϕ
( )
P x ≡ R x − Q x x .
( )
+ ≡ thì
Chuyên đề: Đa thức đối xứng và ứng dụng Page 3