Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

Mặt khác x ≠ 0, i = 1,3 nên:
i
x px qx r
3 2
1
+
2
+
3
+ = 0
x px qx r
3 2
2
+
2
+
2
+ = 0
x px qx r
3 2
3
+
3
+
3
+ = 0
x + px + qx + r = 0 ⇒ x + px + qx + rx = 0
3 2 4 3 2
1 2 3 1 1 1 1
x + px + qx + r = 0 ⇒ x + px + qx + rx = 0
3 2 4 3 2
2 2 2 2 2 2 2
x + px + qx + r = 0 ⇒ x + px + qx + rx = 0
3 2 4 3 2
3 3 3 3 3 3 3
Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được: C + pB − qA + rp = 0
3 2 4 2 2
Do đó C = − pB + pA − rq = − p(3pq − p − 3 r) + q( p − 2 q) + rp = p − 4 p q + 2q − 4rp
4 2 2
Vậy C = p − 4 p q + 2q − 4rp
.
7.3. Xác định đa thức.
7.3.1. Cơ sở lí luận:
Ta thường gặp các bài toán xác định đa thức khi giải phương trình hàm trên tập các đa
thức. Để xác định đa thức, trước hết ta xác định bậc rồi lần lượt xác định các hệ số của đa thức.
7.3.2. Phương pháp giải:
Để xác định đa thức, ta đi tìm hệ số của đa thức này, ta làm như sau:
- Xác định dạng tổng quát của đa thức cần xác định bằng cách dùng công thức Vi-ét tìm mối liên
hệ giữa các đa thức đối xứng cơ bản với các hệ số của đa thức
- Từ điều kiện của đề bài toán tìm giá trị của các đa thức đối xứng cơ bản.
- Từ giá trị của các đa thức đói xứng cơ bản tim giá trị của các hệ số của đa thức cần xác định, từ
đó tìm được đa thức thỏa mãn đề bài.
7.3.3. Ví dụ:
Hãy tìm những đa thức bậc 3 mà nghiệm α1, α2,
α
3
của nó thỏa mãn những đẳng thức sau:
Giải:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + = − 2 ; + + = 1; + + = 1
2 2 2
4 4 4
α α α α α α α α α
1 2 3
Gọi đa thức cần tìm có dạng
Theo công thức Vi-ét ta có:
1 2 3
3 2
p( x)
= x + ax + bx + c
⎧σ 1
= α1 + α2 + α3
= −a
⎪
⎨σ 2
= α1α 2
+ α1α 3
+ α2α3
= b
⎪
⎩σ
3
= α1α 2α
3
= −c
Theo giả thiết ta có:
1 1 1 α1α 2
+ α1α 3
+ α2α 3
σ
2
− 2 = + + = =
α α α α α α σ
1 2 3 1 2 3 3
1 2 3
1 1 1 α α + α α + α α ( α α + α α + α α ) − 2( α + α + α ) α α α σ − 2σ σ
1 = + + = = =
α α α α α α α α α σ
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3
Chuyên đề: Đa thức đối xứng và ứng dụng Page 31