Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

1 1 1 3 3 1 0=27a+9b+c
1 1 0 2 1 0 4=8a+2b
1 1 -1 1 -1 -1 8=a-b+c
⎧27a + 9b + c = 0
⎪
Ta có hệ ⎨8a
+ 2b
= 4 suy ra a=2; b=-6; c=0.
⎪
⎩a − b − c = 8
Vậy p ( x, y, z) = 2σ 3 ( 2
1
− 6σ 1σ 2
= 2σ 1
σ1 − 3σ
2 )
2 2 2
= 2( x + y + z)( x + y + z − xy − xz − yz)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
Giải:
2 2 2 2 2 2 4 4 4
( , , ) = 2 + 2 + 2 − − −
f x y z x y x z y z x y z
2 2 2 2 2 2 4 4 4
( , , ) = 2 + 2 + 2 − − −
f x y z x y x z y z x y z
2 2 2 2 2 2 4 4 4
( ) ( )
= 2 x y + x z + y z − x + y + z
2
( ) ( )
= 2 ⎡ xy + yz + zx − 2xyz x + y + z ⎤ − S
⎣
⎦
2 4 2
( σ
2
σ1σ 3 ) ( σ1 σ1 σ
2
σ1σ 3
σ
2 )
4 2
( 3
1
4
1 2
6
1 3 1 1
4
1 2
6
3 )
= 2 − 2 − − 4 + 2 + 2
= − σ + σ σ − σ σ = σ − σ + σ σ − σ
Ta thấy f ( x, y,
z ) chia hết cho σ
1
= x + y + z .
f không thay đổi khi thay x vào –x, y bởi –y, z bởi –z. Do đó f chia hết cho
− x + y + z; x − y + z;
x + y − z
Suy ra f ( x, y, z) ( x y z)( x y z)( x y z)( x y z) g ( x, y, z)
= + + − + + − + + − .
Ta phải có deg g ( x, y, z ) = 0 hay ( , , )
Chọn x = y = z = 1 ta được 3 = 3. g ⇒ g = 1.
g x y z là hằng số.
Vậy f ( x, y,
z) ( x y z)( x y z)( x y z)( x y z)
= + + − + + − + + − .
1.4 Bài tập áp dụng
Phân tích đa thức thành nhân tử:
1. p ( x, y,
z) x 3 ( y z) y 3 ( x z) z 3
( x y) xyz ( x y z)
= + + + + + + + + .
3 3 3
2. p( x, y, z) ( x 2 yz) ( y 2 xz) ( z 2 xy) 3( x 2 yz)( y 2 xz)( z 2 xy)
= − + − + − − − − − .
3. ( ) ( ) 3 3 3 3
p x, y, z x y z x y z
= + + − − − .
4. p( x, y, z) ( xy yz zx) 2 ( x y z)( x 2 y 2 z
2
)
2. Trục căn thức ở mẫu số
2.1. Cơ sở lí luận
= + + + + + + + .
4
Chuyên đề: Đa thức đối xứng và ứng dụng Page 11