Views
6 months ago

Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

https://app.box.com/s/4qc8w4k17wfrirjypcy9a0wj6dg4gl3m

Đặt ⎧σ 1 = x + y

Đặt ⎧σ 1 = x + y ⎨ ⎩σ 2 = xy S = x + y = σ − 2σ 2 2 2 2 1 2 S = x + y = σ − 4σ σ + 2σ 4 4 4 2 2 4 1 1 2 2 4 3 2 2 3 4 ( , ) = 10 − 27 −110 − 27 + 10 p x y x x y x y xy y ( ) ( ) = 10 x + y − 27xy x + y − 110x y 4 4 2 2 2 2 = 10S − 27σ S − 110σ 2 4 2 2 2 ( ) ( ) = 10 σ − 4σ σ + 2σ − 27σ σ − 2σ − 110σ 4 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 = 10σ − 67σ σ − 36σ 4 2 2 1 1 2 2 Ta coi đa thức này là đa thức bậc hai theo biến σ 2 thì với điều kiện tam thức bậc hai, ta dễ dàng phân tích ra thừa số. Giải phương trình đa thức đối xứng với σ 2 ta có các nghiệm: 2 5 2 σ 2 = − 2 σ1 ; σ 2 = σ1 36 Vậy p ( x, y) = ( σ 2 )( 2 2 + 2σ 1 5σ 1 − 36σ 2 ) Thay các giá trị của σ 1 , σ 2 ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ p x, y = 2 x + y + xy 5 x + y − 36xy ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( 2 x 2 5 xy 2 y 2 )( 5 x 2 26 xy 5 y 2 ) = + + − + Mỗi thừa số lại là một tam thức bậc hai nên ta lần lượt phân tích các đa thức này. 2 2 1 Coi 2x + 5xy + 2y là tam thức bậc hai của biến x ta sẽ có nghiệm là x = − y ; x = − 2 y 2 Vì thế 2x 2 + 5xy + 2y 2 = ( 2x + y)( x + 2y) 2 2 1 Coi 5x − 26xy + 5y là tam thức bậc hai của biến x ta sẽ có nghiệm là x = y ; x = 5 y 5 Vì thế 5x 2 − 26xy + 5y 2 = ( 5x − y)( x − 5y) Cuối cùng ta nhận được p ( x, y) = ( 2x + y)( x + 2y)( 5x − y)( x − 5y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Giải: 3 3 3 ( , , ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) − 3( + )( + )( + ) p x y z x y y z z x x y y z z x Ta biểu diễn p ( x, y, z) qua các đa thức đối xứng cơ bản bằng phương pháp hệ tử bất định. { } Hệ thống số mũ là M = ( 3,0,0 );( 2,1,0 );( 1,1,1 ) Suy ra ( ) 3 p x, y, z = aσ + bσ σ + cσ 1 1 2 3 Ta lập bảng: x y z σ 1 σ 2 3 σ ( ) 3 p x, y, z = aσ + bσ σ + cσ 1 1 2 3 Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 10

1 1 1 3 3 1 0=27a+9b+c 1 1 0 2 1 0 4=8a+2b 1 1 -1 1 -1 -1 8=a-b+c ⎧27a + 9b + c = 0 ⎪ Ta có hệ ⎨8a + 2b = 4 suy ra a=2; b=-6; c=0. ⎪ ⎩a − b − c = 8 Vậy p ( x, y, z) = 2σ 3 ( 2 1 − 6σ 1σ 2 = 2σ 1 σ1 − 3σ 2 ) 2 2 2 = 2( x + y + z)( x + y + z − xy − xz − yz) Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử Giải: 2 2 2 2 2 2 4 4 4 ( , , ) = 2 + 2 + 2 − − − f x y z x y x z y z x y z 2 2 2 2 2 2 4 4 4 ( , , ) = 2 + 2 + 2 − − − f x y z x y x z y z x y z 2 2 2 2 2 2 4 4 4 ( ) ( ) = 2 x y + x z + y z − x + y + z 2 ( ) ( ) = 2 ⎡ xy + yz + zx − 2xyz x + y + z ⎤ − S ⎣ ⎦ 2 4 2 ( σ 2 σ1σ 3 ) ( σ1 σ1 σ 2 σ1σ 3 σ 2 ) 4 2 ( 3 1 4 1 2 6 1 3 1 1 4 1 2 6 3 ) = 2 − 2 − − 4 + 2 + 2 = − σ + σ σ − σ σ = σ − σ + σ σ − σ Ta thấy f ( x, y, z ) chia hết cho σ 1 = x + y + z . f không thay đổi khi thay x o –x, y bởi –y, z bởi –z. Do đó f chia hết cho − x + y + z; x − y + z; x + y − z Suy ra f ( x, y, z) ( x y z)( x y z)( x y z)( x y z) g ( x, y, z) = + + − + + − + + − . Ta phải có deg g ( x, y, z ) = 0 hay ( , , ) Chọn x = y = z = 1 ta được 3 = 3. g ⇒ g = 1. g x y z là hằng số. Vậy f ( x, y, z) ( x y z)( x y z)( x y z)( x y z) = + + − + + − + + − . 1.4 Bài tập áp dụng Phân tích đa thức thành nhân tử: 1. p ( x, y, z) x 3 ( y z) y 3 ( x z) z 3 ( x y) xyz ( x y z) = + + + + + + + + . 3 3 3 2. p( x, y, z) ( x 2 yz) ( y 2 xz) ( z 2 xy) 3( x 2 yz)( y 2 xz)( z 2 xy) = − + − + − − − − − . 3. ( ) ( ) 3 3 3 3 p x, y, z x y z x y z = + + − − − . 4. p( x, y, z) ( xy yz zx) 2 ( x y z)( x 2 y 2 z 2 ) 2. Trục căn thức ở mẫu số 2.1. Cơ sở lí luận = + + + + + + + . 4 Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 11

TRÌNH BÀY CƠ SỞ PHỔ PHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH VẬT CHẤT
Cơ sở lý thuyết của phương pháp sắc ký bản mỏng và ứng dụng của sắc ký bản mỏng
ĐỘC HỌC MÔI TRƯỜNG VÀ SỨC KHỎE CỘNG ĐỒNG
PHÂN DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC MAI VĂN HẢI
Kỹ thuật bào chế thuốc bột & viên tròn
DẠY HỌC VÀ KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
CÁC TRẠNG THÁI VẬT LÝ CỦA POLYMER
TÌM HIỂU TRẠNG THÁI SIÊU TỚI HẠN CỦA NƯỚC (SUPERCRITICAL WATER) VÀ ỨNG DỤNG
Sản Phẩm Dầu Mỏ Thương Phẩm TS. Trương Hữu Trì
GIẢI BÀI TẬP SINH HỌC 9 NGUYỄN VĂN SANG VÀ NGUYỄN THỊ VÂN THƯ VIỆN TRƯỜNG THCS NGÔ THÌ NHẬM ĐÀ NẴNG
Giáo án new headway elementary (2nd) 90 tiết
PREVIEW BỘ 14 ĐỀ MEGA HÓA 2018 CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT (BỘ ĐỀ ĐẶC SẮC DÙNG LUYỆN THI ĐẠT KẾT QUẢ CAO MÔN HÓA HỌC CHUẨN BỊ CHO KÌ THI THPT QG 2018)
BÀI GIẢNG HÓA PHÂN TÍCH TS. GVC. HOÀNG THỊ HUỆ AN
Tìm hiểu về bao bì năng động (active package)
Tổng hợp nanocomposite trên cơ sở Ag/PVA bằng phương pháp hóa học với tác nhân khử là hydrazin hydrat
CÔNG NGHỆ SẢN XUẤT XI MĂNG LÒ QUAY KHÔ
[DISCUSSION] Ô nhiễm môi trường nước tại sông Cửa Tiền
Vận dụng cao các kiến thức làm bài môn toán
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng (SKKN 2008)