Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

Hướng dẫn:
Bài 1: Đây là phương trình bậc 8 truy hồi với 2 λ =
Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả 2 vế của phương trình cho
4 16 3 8 2 4 2
được: 2 ⎛ ⎜ x + ⎞ 9 x 20 x 33 x 46 0
4 ⎟ − ⎜ ⎛ + ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 ⎟ + ⎜ + − + + =
2 ⎟ ⎜ ⎟
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠
1
Đặt: x + = σ . Khi đó:
x
2 4 2 3 8 3
4 16 4 2
x + = σ − 4 ; x + = σ − 6σ
; x + = σ − 8σ
+ 8
2
3
4
x
x
x
Ta đưa phương trình trên về dạng:
− + + − = ( σ )( σ )( σ )( σ )
4 3 2
2σ 9σ 4σ 21σ
18 0
⇒ x = 1; x = 2
Vậy S = { 1;2}
.
⇔ −1 − 2 − 3 2 + 3 = 0
4
x ta
5. Giải hệ phương trình nhiều ẩn.
a) Cơ sở lí luận:
Ta thường gặp các hệ phương trình mà các vế của phương trình trong hệ là các đa thức đối xứng
của các ẩn. Trong trường hợp này ta chuyển hệ phương trình đã cho về hệ phương trình mà ẩn là
các đa thức đối xứng cơ bản.
Hệ phương trình naày thường đơn giản hơn, dễ giải hơn, sau đó ta giải hệ phương trình đại số bậc
nhất n ẩn.
Trong trường hợp có hai ẩn thì phép giải đưa đến một phương trình bậc hai.
b) Phương pháp giải:
• Biểu diễn từng vế của phương trình trong hệ qua các đa thức đối xứng cơ bản σ
i
( i = 1, n)
• Ta thu được hệ mới với ẩn là σ
i
( i = 1, n)
. Giải hệ tìm σ
i
• Vận dụng công thức Viet tìm ra nghiệm của hệ ban đầu.
Ví dụ 1 . Giải hệ phương trình
5 5
⎧ x + y 31
⎪ =
3 3
⎨ x + y 7
⎪ 2 2
⎩x + xy + y = 3
Giải:
Với điều kiện x, y ≠ 0 . Đặt x + y = σ1,
xy = σ
2
. Ta có
x + y = s = σ − 2 σ , x + y = s = σ − 3 σ σ , x + y = s = σ − 5σ σ + 5σ σ
2 2 2 2 3 3 3 5 5 5 3 2
2 1 2 3 1 1 2 5 1 1 2 1 2
Do đó ta có hệ
5 3 2 3
⎧⎪
7( σ1 − 5σ 1
σ
2
+ 5 σ1σ 2
) = 23( σ1 − 3 σ1σ
2)
⎨
2
⎪⎩ σ1 − σ
2
= 3
Từ hệ phương trình này ta thực hiện phép thế và giải phương trình tìm được
Chuyên đề: Đa thức đối xứng và ứng dụng Page 21