Views
6 months ago

Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

https://app.box.com/s/4qc8w4k17wfrirjypcy9a0wj6dg4gl3m

f ( z) = a z + a z + ...

f ( z) = a z + a z + ... + a z + a z + λa z + ... + λ a z + λ a 2 k + 1 2 k k + 2 k + 1 k 2 k − 1 2 k + 1 0 1 k + 1 k k 1 0 Với z ≠ 0 ta biến đổi f ( z) như sau: 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( k + k + 0 ) 1 ( k − k − f z = a z + λ + a z z + λ ) + ... + a k k z ( z + λ ) 2 Sử dụng hằng đẳng thức: m + 1 2 m + 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ( )( m m − z z z z ... z m − λ λ λ λ zλ m − + = + − + + − + λ m ) Ta có: 2 ( k + 1 2 k + 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ) ( )( k k − λ λ λ λ k − λ k − + = + − + + − + λ k ) , 2 ( k −1 2 k −1 2 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 ) ( )( k − k − λ λ λ λ k − λ k − λ k − + = + − + + − + ) a0 z a0 z z z ... z z a1z z a1 z z z ... z z …………………………………….. ( λ) ( λ) k k ak z z ak z z + = + . Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta được: f ( z) = ( z + λ) g( z) với g (z) là tổng của các đa thức: 2 ( k 2 k −1 2 2 k −2 2 k −1 2 λ λ λ λ k 2 − + + − + ) ; ( k −1 2 k −2 2 2 3 2 2 2 1 1 ... k − a z z λ z λ zλ k − λ k − ) a0 z z ... z z Nhận thấy g(z) 4.2.2. Ví dụ minh họa là đa thức hồi quy bậc 2k . (đpcm) 6 5 4 3 2 Giải phương trình: 9z −18z − 73z + 164z − 73z − 18z + 9 = 0 Lời giải: Phương trình đã cho là phương trình đối xứng bậc 6. − + + − + ;…; a z Nhận thấy z = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của phương trình cho 3 1 2 1 1 được: 9 ⎛ ⎜ z + ⎞ 18 z 73 z 9 0 3 ⎟ − ⎛ ⎜ + ⎞ − ⎛ + ⎞ + = 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝ z ⎠ Áp dụng công thức: 1 2 1 2 3 1 3 z + = σ ; z + = σ − 2 ; z + = σ − 3σ 2 3 z z z Ta đưa phương trình trên về dạng: − − + = ( σ )( σ )( σ ) 3 2 9σ 18σ 100σ 200 0 ⎡ ⎢ σ = 2 ⎢ −10 ⇔ ⎢σ = ⎢ 3 ⎢ 10 ⎢ σ = ⎣ 3 ⎧ −1 1 ⎫ Vậy S = ⎨−3; ; ;1;3⎬ ⎩ 3 3 ⎭ . 4.2.3. Bài tập áp dụng Bài 1: Giải phương trình: ⎡ 1 ⎢ z + = 2 z ⎡ z = 1 ⎢ 1 −10 ⎢ ⎢ 1 ⇔ z + = ⇔ ⎢z = ± ⎢ z 3 ⎢ 3 ⎢ ⎢ 1 10 z 3 z + = ⎢ ⎣ = ± ⎢⎣ z 3 ⇔ − 2 3 − 10 3 + 10 = 0 8 7 6 5 4 3 2 2x − 9x + 20x − 33x + 46x − 66x + 80x − 72x + 32 = 0 Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 20 k 3 z ta 4 3 2 Bài 2: Hãy xác định tất cả các tham số a sao cho phương trình: 16x -ax + (2a + 17) x -ax+16=0 có 4 nghiệm lập thành một cấp số nhân. k

Hướng dẫn: Bài 1: Đây là phương trình bậc 8 truy hồi với 2 λ = Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả 2 vế của phương trình cho 4 16 3 8 2 4 2 được: 2 ⎛ ⎜ x + ⎞ 9 x 20 x 33 x 46 0 4 ⎟ − ⎜ ⎛ + ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 ⎟ + ⎜ + − + + = 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ 1 Đặt: x + = σ . Khi đó: x 2 4 2 3 8 3 4 16 4 2 x + = σ − 4 ; x + = σ − 6σ ; x + = σ − 8σ + 8 2 3 4 x x x Ta đưa phương trình trên về dạng: − + + − = ( σ )( σ )( σ )( σ ) 4 3 2 2σ 9σ 4σ 21σ 18 0 ⇒ x = 1; x = 2 Vậy S = { 1;2} . ⇔ −1 − 2 − 3 2 + 3 = 0 4 x ta 5. Giải hệ phương trình nhiều ẩn. a) Cơ sở lí luận: Ta thường gặp các hệ phương trình mà các vế của phương trình trong hệ là các đa thức đối xứng của các ẩn. Trong trường hợp này ta chuyển hệ phương trình đã cho về hệ phương trình mà ẩn là các đa thức đối xứng cơ bản. Hệ phương trình naày thường đơn giản hơn, dễ giải hơn, sau đó ta giải hệ phương trình đại số bậc nhất n ẩn. Trong trường hợp có hai ẩn thì phép giải đưa đến một phương trình bậc hai. b) Phương pháp giải: • Biểu diễn từng vế của phương trình trong hệ qua các đa thức đối xứng cơ bản σ i ( i = 1, n) • Ta thu được hệ mới với ẩn là σ i ( i = 1, n) . Giải hệ tìm σ i • Vận dụng công thức Viet tìm ra nghiệm của hệ ban đầu. Ví dụ 1 . Giải hệ phương trình 5 5 ⎧ x + y 31 ⎪ = 3 3 ⎨ x + y 7 ⎪ 2 2 ⎩x + xy + y = 3 Giải: Với điều kiện x, y ≠ 0 . Đặt x + y = σ1, xy = σ 2 . Ta có x + y = s = σ − 2 σ , x + y = s = σ − 3 σ σ , x + y = s = σ − 5σ σ + 5σ σ 2 2 2 2 3 3 3 5 5 5 3 2 2 1 2 3 1 1 2 5 1 1 2 1 2 Do đó ta có hệ 5 3 2 3 ⎧⎪ 7( σ1 − 5σ 1 σ 2 + 5 σ1σ 2 ) = 23( σ1 − 3 σ1σ 2) ⎨ 2 ⎪⎩ σ1 − σ 2 = 3 Từ hệ phương trình này ta thực hiện phép thế giải phương trình tìm được Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 21

ĐỘC HỌC MÔI TRƯỜNG VÀ SỨC KHỎE CỘNG ĐỒNG
Kỹ thuật bào chế thuốc bột & viên tròn
Tìm hiểu về bao bì năng động (active package)
CÁC TRẠNG THÁI VẬT LÝ CỦA POLYMER
Giáo án new headway elementary (2nd) 90 tiết
Sản Phẩm Dầu Mỏ Thương Phẩm TS. Trương Hữu Trì
BÀI GIẢNG HÓA PHÂN TÍCH TS. GVC. HOÀNG THỊ HUỆ AN
Vận dụng cao các kiến thức làm bài môn toán