Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

7, Cho những đa thức bất kì P1 ( x) ,..., Pn
( x) , Q1
( x) ,..., Qn
( x)
vaf u1 ( x) ,..., un
( x ),
nếu
( ). 2 ( ).... ( ) ≡
1 ( ). 2 ( )... ( )( modϕ
( ))
8, Với hai đa thức P( x) , Q( x ) bất kì và mọi số tự nhiên t, nếu P( x) Q( x) modϕ
( x)
P x P x P x Q x Q x Q x x
i n n
( )
t
( ) ( ) modϕ
( )
t
P x Q x x
≡ .
( )
9, Với các đa thức P( x) , Q( x) , F ( x ) , nếu P( x) Q( x) modϕ
( x)
( ( )) ≡ ( ( ))( mod ϕ ( )).
F P x F Q x x
2. Đa thức nhiều ẩn
2.1. Định nghĩa
Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn
Cho R là vành giao hoán, có đơn vị 1 R
. Đặt:
{( , ,..., 0 1 ,... ) | ,a 0
n i i }
A = a a a a ∈ R ≠
Trên A xét hai phép toán ( + ),(.)
như sau:
a = ( a0, a1,..., an,... ); b = ( b0 , b1
,..., bn
,...)
a + b : = ( a0 + b0 , a1 + b1
,..., an
+ bn
,...)
a. b ( c , c ,..., c ,...),
c a b
= = ∑
0 1 n k i j.
0 ≤i,
j≤k
i+ j=
k
Khi đó ( A , + ,.)
là vành giao hoán có đơn vị ( 1
R
,0,0)
.
Với mọi a = ( a0, a1,...,a n,...
) ∈ A ta có:
a = ( a0 + 0, a1
+ 0,..., a n
+ 0,... )
= ( a0,0,0,... ) + ( 0, a1, a2,..., an,0,...
)
= ( a0,0,0,... ) + ( 0 + 0, a1
+ 0,..., an
+ 0,... )
( a0,0,0,... ) ( 0, a1,0,... ) ( 0,0, a2,0,...,a n,0,... ) ...
= ( a0,0,0,... ) + ( 0, a1,0,... ) + ... + ( 0,0,..., an,0,...
)
Đặt x0 = ( 0,1
R,0,... ) ∈ A.
Theo quy tắc nhân ta có:
2
x x. x ( 0,1
R,0,... ).( 0,1
R,0,... ) ( 0,0,1
R,... ).
3
x = ( 0,1 ,0,...).( 0,1 ,0,...).( 0,1 ,0,...) = ( 0,0,0,1 ,...)
= + + = =
….
= = = Tương tự:
R R R R
( 0,...,0,1 ,0,...)
k
x =
R
.
Xét ánh xạ f : R → A
r a ( r ,0,0,...)
Ta có f là đơn cấu vành nên đồng nhất mỗi phần tử , ( )
≡ thì
a ∈ A f a ∈ P .
( )
≡ thì
Chuyên đề: Đa thức đối xứng và ứng dụng Page 4