Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

( )
3 3 3
⎧ ⎪S = − ( y1 + y2) = − x1 + x2 = 3σ 1σ
2
− σ1
= 20
⇒ ⎨
3 3 3
⎪⎩ P = y1 y2 = x1 x2 = σ
2
= 343
2
Vậy phương trình cần tìm là: y − 20y
+ 343 = 0 .
Ví dụ 2: Cho phương trình:
x
2
− x − 3 = 0(*) . Tính giá trị của biểu thức sau:
4 4
6 6
A = x1 + x2
; B = x1 + x2
. Với x1;
x
2
là nghiệm của (*).
Lời giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét có:
⎧σ
1
= x1 + x2
= 1
⎨
⎩σ
2
= x1x
2
= −3
2
4 4 2 2 2
2
⎡
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
2
( ) ⎤ ( )
A = x + x = x + x − 2x x − 2x x = σ − 2σ − 2σ
= 31
⎣
⎦
2
( ) ⎤( ) ( σ σ )( σ )
6 6 4 4 2 2 2 2
B = x1 + x2 = ⎡ x1 + x2 − 2x1 x2 x1 + x2 − x1 x2 =
1
− 2
2
A −
2
= 154
⎣
⎦
4.1.2. Bài tập áp dụng
*
2 1
Bài 1: Cho a ∈ R , giả sử x1;
x
2
là nghiệm của phương trình: x -ax- 0
2
2a = .
Chứng minh rằng:
4 4
x1 + x2 ≥ 2 + 2 .
Bài 2: Lập phương trình bậc hai
z = x − 2 x ; z = x − 2x
.
6 2 6 2
1 1 2 2 2 1
2
z pz q p q
Trong đó x1;
x
2
là nghiệm của phương trình
+ + = 0( , ∈ R ) mà các nghiệm là
x
2
− x − 3 = 0
Bài 3: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm x1;
x2
thỏa mãn:
Bài 4: Cho x1;
x
2
là nghiệm của phương trình
s = x + x n ∈ N là số nguyên không chia hết cho 5.
n
n n
, 1 2
Hướng dẫn:
Bài 1: Áp dụng hệ thức Vi-ét có:
⎧σ1 = x1 + x2
= a
⎪
⎨
−1
⎪σ
2
= x1x2 =
2
⎩ 2a
x
2
4 4
1
x2 10
Chuyên đề: Đa thức đối xứng và ứng dụng Page 18
x
+ = ; x1 + x2 = 2
− 6x
+ 1 = 0 . Chứng minh rằng:
4 4 2
( ) 2 2 4 1 4 1
x1 + x2 = σ1 − 2σ 2
− 2σ
2
= a + + 2 ≥ 2 a . + 2 = 2 + 2 (dpcm).
4 4
2a
2a
Bài 4: Chứng minh sn
∈Z bằng phương pháp quy nạp.
4.2. Phương trình đối xứng và phương trình hồi quy.
4.2.1. Kiến thức bổ sung
n n−1
Định nghĩa 4.1. Đa thức ( )
f z = a z + a z + ... + a ( a ≠ 0) được gọi là đa thức đối xứng, nếu
0 1 n 0
các hệ số cách đều hai đầu bằng nhau, nghĩa là: a0 = an; a1 = an
− 1...
Phương trình của đa thức đối xứng được gọi là phương trình đối xứng.