Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

Do x; y;
z ∈ Z nên
Mà x; y;
z
+) σ1 1 σ
2
2
⎡⎧ x =
⎢⎨ 1 ⎡ x = 1; y = 0; z = 0
y = z = 0 ⎢
⎢⎩
⎢
x = − 1; y = 0; z = 0
⎢ ⎧
2
⎢
y = 1 ⎢ x = 0; y = 1; z = 0
⎨ ⇔ ⎢
⎢ ⎩x
= z = 0 ⎢x = 0; y = − 1; z = 0
⎢
⎢⎨ ⎧
2 ⎢
z = 1 x = 0; y = 0; z = 1
⎢
⎢
⎣⎩x
= y = 0 ⎣x = 0; y = 0; z = −1
{ }
+
∈Z nên ( x; y; z ) = ( 1;0;0 );( 0;1;0 );( 0;0;1)
2
= − ⇒ = ( loại do σ1; σ
2;
σ
3
∈Z )
3
{ }
Vậy ( ; ; ) ( 1;0;0 );( 0;1;0 );( 0;0;1)
x y z = .
3.3. Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2 2
x + y = x − xy + y
2 2
x y x y
+ − − = 8
⎧ x + y = z
Bài 3. Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình: ⎨ 3 3 2
⎩x + y = z
Hướng dẫn:
Bài 1.
Đặt:
⎧x
+ y = σ1
⎨
⎩ xy = σ
2
2
Khi đó phương trình trở thành: σ = σ − 3σ
2
Để tồn tại x,
y ta phải có: σ
2 3 2
Do đó: σ1 − σ1 = 3σ 2
≤ σ1
4
Hay
≥ 4σ
1 2
1 1 2
1 2
1 1
0
1( 1
4) 0
4 σ −σ ≤ ⇔ σ σ − ≤ ⎧ 0 ≤ σ1
≤ 4
⇒ ⎨ 2
⎩σ 1
− σ1 = 3σ
2
⇒ ( σ ; σ ) = ( 0;0 );( 1;0 ); 2; ;( 3;2 );( 4;4)
1 2
⎧
⎨
⎩
⎛
⎜
⎝
2 ⎞
⎟
3 ⎠
Vậy ( x; y ) = ( 0;0 );( 1;0 );( 0;1 );( 2;1 );( 1;2 );( 2;2)
Bài 2:
Đặt:
⎧x
+ y = σ1
⎨
⎩ xy = σ
2
⎫
⎬
⎭
{ }
2 2
Phương trình trở thành: σ − 2σ − σ = 8 ⇔ σ −σ − 8 = 2 σ (1)
2
Để tồn tại x,
y ta phải có: σ ≥ 4σ
1 2 1 1 1 2
1 2
Chuyên đề: Đa thức đối xứng và ứng dụng Page 16