Views
1 week ago

Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

https://app.box.com/s/4qc8w4k17wfrirjypcy9a0wj6dg4gl3m

3. Tìm nghiệm nguyên

3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng. 3.1. Phương pháp giải Đối với bài toán phương trình nghiệm nguyên chưa có thuật toán nào cụ thể. Tùy o từng bài toán ta lựa chọn phương pháp giải phù hợp. a) Đối với phương trình hai biến Xét phương trình mà mà biểu thức hai vế có dạng đa thức đối xứng của các biến, tùy theo từng bài toán cụ thể mà ta làm như sau: Đặt: ⎧x + y = σ1 ⎨ (*) ⎩ xy = σ 2 Biểu diễn phương trình ban đầu theo phương trình của σ1, σ 2 . Rút σ 2 theo σ 1 (1) Cách 1: Từ (*) (1) ta suy ra được x,y là nghiệm của phương trình bậc hai: t 2 − σ1t + σ 2 = 0 với điều kiện ∆ ≥ 0 . Từ đó suy ra điều kiện của σ 1 . Cách 2: Do x, y là số nguyên nên x,y là số thực. Do đó cần kết hợp với (1) ta tìm được điều kiện của σ 1 . Tìm x,y theo σ 1 , σ 2 . b) Đối với phương trình có ba biến Ta biểu diễn phương trình ban đầu theo phương trình của σ1, σ 2, σ 3 . Thông thường trong quá trình tính toán một biến σ i nào đó sẽ bị triệt tiêu. Khi đó ta có thể làm tương tự trường hợp phương trình hai biến. 3.2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình: Lời giải: ⎧x + y = σ1 Đặt: ⎨ ; σ1, σ 2 > 0 do x; y ∈Z ⎩ xy = σ 2 Khi đó ta có phương trình: σ − 3σ σ + 1 = 3σ 3 1 1 2 2 2 ( σ1 )( σ1 σ1 σ 2 ) ⇔ + 1 − + 1− 3 = 0 ⇔ σ − σ + 1− 3σ = 0 (do σ 1 + 1 > 0 ) 2 1 1 2 + 3 3 x + y + = xy 1 2 σ 2 = ( σ1 − σ1 + 1) 3 Do đó x,y là nghiệm của phương trình bậc hai: 2 1 2 t − σ1t + ( σ1 − σ1 + 1) = 0 3 2 4 2 −1 ∆ = σ ( ) ( ) 2 1 − σ1 − σ1 + 1 = σ1 − 2 ≤ 0 3 3 Để tồn tại x,y thì ∆ = 0 ⇔ σ1 = 2 . Khi đó x = y = 1 Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 14 1 3

{ } Vậy ( ; ) ( 1;1) x y = . Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: Lời giải: ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ 2 (1) ⇔ 3 ( x + y) − 3xy = 7( x + y) Đặt: ⎧x + y = σ1 ⎨ ⎩ xy = σ 2 2 2 7( x y) 3( x xy y ) + = − + (1) 2 2 Phương trình đã cho trở thành: 3( σ − 3 σ ) = 7σ ⇔ 3σ − 9σ = 7σ 1 2 1 1 2 1 Vìx, y là số nguyên nên x,y là số thực. 2 1 2 ⇒ σ1 − 4σ 2 ≥ 0 ⇔ σ 2 ≤ σ1 4 2 9 2 2 Ta có: 3σ 1 − 7σ 1 = 9σ 2 ≤ σ1 ⇒ 3 σ1 − 7σ 28 1 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ σ1 ≤ 4 4 3 Do x, y là số nguyên nên σ1, σ 2 cũng là số nguyên. Do vậy σ1 nhận các giá trị sau: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9. Ta có bảng giá trị sau: σ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 σ 2 0 −4 −2 2 20 40 22 98 136 20 9 9 3 9 9 3 9 9 TM L L L L L L L L TM Với σ1 = 0, σ 2 = 0 thì x = y = 0 là nghiệm của phương trình. Với σ1 = 9, σ 2 = 20 thì ( ) ( ) Vậy ( x; y ) = ( 0;0 );( 4;5 );( 5;4) { } 4;5 ; 5;4 là nghiệm của phương trình. Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: Lời giải: Đặt: ⎧ x + y + z = σ1 ⎪ ⎨xy + yz + zx = σ 2 ⎪ ⎩ xyz = σ 3 + + − 3 = 1 3 3 3 x y z xyz 3 3 Phương trình trở thành: σ − 3σ σ + 3σ − 3σ = 1 ⇔ σ − 3σ σ = 1(*) Vì x; y; z ∈ Z nên σ1; σ 2; σ 3 ∈Z Xét phương trình (*) với ẩn σ 1 1 1 2 3 3 Phương trình có nghiệm nguyên thì σ 1 = ± 1 +) σ1 σ 2 = 1⇒ = 0 khi đó 1 1 2 ⎧ x + y + z = 1 2 2 2 ⎨ ⇒ x + y + z = 1 ⎩xy + yz + zx = 0 Chuyên đề: Đa thức đối xứng ứng dụng Page 15

TRÌNH BÀY CƠ SỞ PHỔ PHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH VẬT CHẤT
Cơ sở lý thuyết của phương pháp sắc ký bản mỏng và ứng dụng của sắc ký bản mỏng
Kỹ thuật bào chế thuốc bột & viên tròn
ĐỘC HỌC MÔI TRƯỜNG VÀ SỨC KHỎE CỘNG ĐỒNG
DẠY HỌC VÀ KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
CÁC TRẠNG THÁI VẬT LÝ CỦA POLYMER
TÌM HIỂU TRẠNG THÁI SIÊU TỚI HẠN CỦA NƯỚC (SUPERCRITICAL WATER) VÀ ỨNG DỤNG
Giáo án new headway elementary (2nd) 90 tiết
PREVIEW BỘ 14 ĐỀ MEGA HÓA 2018 CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT (BỘ ĐỀ ĐẶC SẮC DÙNG LUYỆN THI ĐẠT KẾT QUẢ CAO MÔN HÓA HỌC CHUẨN BỊ CHO KÌ THI THPT QG 2018)
PHÂN DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC MAI VĂN HẢI
BÀI GIẢNG HÓA PHÂN TÍCH TS. GVC. HOÀNG THỊ HUỆ AN
GIẢI BÀI TẬP SINH HỌC 9 NGUYỄN VĂN SANG VÀ NGUYỄN THỊ VÂN THƯ VIỆN TRƯỜNG THCS NGÔ THÌ NHẬM ĐÀ NẴNG
Tìm hiểu về bao bì năng động (active package)
HỢP CHẤT CÓ OXI CỦA LƯU HUỲNH LỚP SƯ PHẠM HÓA K37 QNU THỰC HIỆN NĂM 2017
[DISCUSSION] Ô nhiễm môi trường nước tại sông Cửa Tiền
Sản Phẩm Dầu Mỏ Thương Phẩm TS. Trương Hữu Trì
Tổng hợp nanocomposite trên cơ sở Ag/PVA bằng phương pháp hóa học với tác nhân khử là hydrazin hydrat
CÔNG NGHỆ SẢN XUẤT XI MĂNG LÒ QUAY KHÔ
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng (SKKN 2008)
Trọng Tâm Kiến Thức Và Phương Pháp Giải Toán Khảo Sát Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm - Nguyễn Phú Khánh (FULL TEXT)
PHÂN DẠNG TOÁN HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG (2014 - 2015)