Chuyên đề Đa thức đối xứng và ứng dụng by Phạm Mai Trang - ĐHSPHN2

{ }
Vậy ( ; ) ( 1;1)
x y = .
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Lời giải:
⎡
⎣
⎤
⎦
2
(1) ⇔ 3 ( x + y) − 3xy = 7( x + y)
Đặt:
⎧x
+ y = σ1
⎨
⎩ xy = σ
2
2 2
7( x y) 3( x xy y )
+ = − + (1)
2 2
Phương trình đã cho trở thành: 3( σ − 3 σ ) = 7σ ⇔ 3σ − 9σ = 7σ
1 2 1 1 2 1
Vìx, y là số nguyên nên x,y là số thực.
2 1 2
⇒ σ1 − 4σ 2
≥ 0 ⇔ σ
2
≤ σ1
4
2 9 2
2
Ta có: 3σ 1
− 7σ 1
= 9σ 2
≤ σ1
⇒ 3 σ1 − 7σ 28
1
≤ 0 ⇔ 0 ≤ σ1
≤
4 4 3
Do x, y là số nguyên nên σ1,
σ
2
cũng là số nguyên. Do vậy σ1
nhận các giá trị sau:
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9.
Ta có bảng giá trị sau:
σ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
σ
2
0 −4
−2
2 20 40 22 98 136 20
9 9 3 9 9 3 9 9
TM L L L L L L L L TM
Với σ1 = 0, σ
2
= 0 thì x = y = 0 là nghiệm của phương trình.
Với σ1 = 9, σ
2
= 20 thì ( ) ( )
Vậy ( x; y ) = ( 0;0 );( 4;5 );( 5;4)
{ }
4;5 ; 5;4 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
Lời giải:
Đặt:
⎧ x + y + z = σ1
⎪
⎨xy + yz + zx = σ
2
⎪
⎩ xyz = σ
3
+ + − 3 = 1
3 3 3
x y z xyz
3
3
Phương trình trở thành: σ − 3σ σ + 3σ − 3σ
= 1 ⇔ σ − 3σ σ = 1(*)
Vì x; y;
z ∈ Z nên σ1; σ
2;
σ
3
∈Z
Xét phương trình (*) với ẩn σ
1
1 1 2 3 3
Phương trình có nghiệm nguyên thì σ
1
= ± 1
+) σ1 σ
2
= 1⇒ = 0 khi đó
1 1 2
⎧ x + y + z = 1
2 2 2
⎨
⇒ x + y + z = 1
⎩xy + yz + zx = 0
Chuyên đề: Đa thức đối xứng và ứng dụng Page 15