Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

6 Estimadores de Maxima-Verosimilitud de
µ y Σ para el modelo Nd(µ, Σ).
Sea X1, X2, X3, · · · , Xn una muestra aleatoria de vectores con distribucion
Nd(µ, Σ), buscamos estimadores de µ y Σ por el metodo de
maxima-verosimilitud, es decir, dada la muestra buscamos un vector
ˆµ y una matriz ˆ Σ que maximicen la verosimilitud de la muestra.
Veremos que:
Demostracion:
ˆΣ =
ˆµ =
n i=1 Xi
n = X
n ′
i=1 (Xi−X)(Xi−X)
n = Q
n = S
L(X1, X2, X3, · · · , Xn, µ, Σ) = n
i=1 f(Xi, µ, Σ) =
= n 1
i=1 (2π) d/2 |Σ| 1/2 1 − e 2 (X−µ)′ Σ −1 (X−µ)
ln L(X1, X2, X3, · · · , Xn, µ, Σ) = LL(X1, X2, X3, · · · , Xn, µ, Σ) =
= − nd
2
n
1 n
ln(2π) − 2 ln(|Σ|) − 2 i=1 (Xi − µ) ′ Σ−1 (Xi − µ)
Supongamos que conocemos el valor de Σ que maximiza L(X1, X2, X3, · · · , Xn, µ, Σ),
buscamos maximizar la verosimilitud con respecto a µ. De esta forma
solo la expresion
− 1
2
n
i=1 (X − µ)′ Σ −1 (Xi − µ)
depende de µ. Asi buscamos el valor de µ que minimiza
h(µ) = n
i=1 (Xi − µ) ′ Σ −1 (Xi − µ)
pero
h(µ) =
n
i=1
(Xi − µ) ′ Σ −1 (Xi − µ) = n
i=1 T r (Xi − µ) ′ Σ −1 (Xi − µ) =
= n
i=1 T r Σ −1 (Xi − µ)(Xi − µ) ′ = T r
por otro lado
n
(Xi − µ)(Xi − µ) ′ =
i=1
Σ −1
n
(Xi − µ)(Xi − µ) ′
i=1
n
(Xi − X + X − µ)(Xi − X + X − µ) ′ =
i=1
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