Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

versus
de esta forma
y
Kβ : β ′ µ = β ′ µ0
H =
K =
llamemos Z β
usamos el estadistico univariado
β=0
Hβ
β=0
Kβ
i = β′ Xi para 1 ≤ i ≤ n, asi Z β
i ∼ N1(β ′ µ, β ′ Σβ),
tβ = √ ( ¯
n zβ − β ′ µ0)
sβ
con s2 β = n (z
i=1
β 2
i −¯zβ)
n−1 = β′ S∗β (ejercicio).
Rechazamos Hβ cuando |tβ| > tα/2,n−1 o lo que es lo mismo si
t2 β > t2 α/2,n−1 .
Primero veamos que el estadistico puede reexpresarse convenientemente
en terminos de la media de la muestra original
donde, recordemos
t 2 β = n
S ∗ =
β ′ ( ¯X − µ0) 2
β ′ S ∗ β
n ′
i=1 (Xi−X)(Xi−X)
n−1
para rechazar H basta con que algun t2 β
punto critico t2 α/2,n−1
probaremos que
sea grnade (mayor que el
), asi que podemos definir el estadistico
max
β
(t 2 β )
max
β (t2 β) = T 2 d,n−1
Demostracion:
Si llamemos δ = √ n( ¯X − µ) entonces el estadistico t2 β = (β′ δ) 2
β ′ S∗β veremos que
max
β (t2 β) = δ ′ S ∗−1 δ
alcanzando el máximo en el vector
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