Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

forma cuadrática asociada a la matriz A
1
Definimos la función g : R n → R
g (x) = x ′ x = x 2
la norma cuadrado del vector x
Queremos hallar el vector x ∈ R n que maximice f sujeto a g (x) =
El gradiente de la función f es
⎡ n
⎡ ∂f ⎤ ⎢2
⎢
∂x1 ⎢ j=1
⎢ ⎥ ⎢
∇f (x) = ⎣ . ⎦ = ⎢ .
∂f= ⎢ n
∂xn ⎣
2
j=1
por lo que el gradiente de la función g es
⎡
⎢
∇g (x) = ⎣
∂g
∂x1
.
∂g
∂xn
⎤
a1jxj
anjxj
⎥
⎦ = 2x
⎤
⎥ = 2Ax
⎥
⎦
Estamos en condiciones de aplicar el Teorema del Multiplicador de
Lagrange, pues buscamos el máximo de una función f : U → R (con
U abierto) de clase C k con k ≥ 1, en la hiperficie constituida por
S = g −1 (1) imagen inversa de un valor regular c = 1 ∈ R de una
función g : U → R de clase C k (cáscara de la bola unitaria en R n ),
que por ser un compacto sabemos que la función alcanza un máximo
y que éste cumple con la condición necesaria de punto crítico, esto es
∇L (x) = ∇f (x) − λ∇g (x) = 0 →∇f (x) = λ∇g (x) (1)
g (x) = 1 (2)
que resultan de derivar e igualar a 0 el lagrangiano
L (x) = f (x) − λ (g (x) − 1)
donde (1) equivale a pedir que en el máximo la dirección de máximo
crecimiento de la función debe ser perpendicular a la cáscara.
Reemplazando en (1) tenemos
∇f (x) = λ∇g (x) ↔ 2Ax =λ2x ←→Ax =λx
Así los puntos que satisfacen la condición necesaria son por definición
los autovectores de la matriz A.
Por ser los autovalores las raices de la ecuación característica, tenemos
n autovalores λ1. . . λn, con sus n autovectores asociados v1. . . vn
Valuando la función f en el autovector vi (elegido tal que vi = 1)
obtenemos
f (vi) = v ′ iAvi= v ′ iλivi= λiv ′ ivi= λi
5