Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

16.7.2 Representacion de las d variables
Definamos, para i = 1 . . . d, al vector vi ∈ R k del siguiente modo
vi =
⎡
⎢
⎣
λ1ti1
.
λktik
donde tij es el elemento correspondiente a la fila i-esima columna
j-esima de la matriz Tk = {tij} ∈ R d×k . Veremos que este vector vi
es una “buena representacion” k dimensional de la vairable (original)
i-esima. Es decir:
• El angulo formado entre los vecores vi y vk es una buena aproximacion
a la correlacion existente entre la variable i y la variable
k.
• El modulo del vector vi es una buena aproximacion de la varianza
de la variable i-esima.
Recordando la descomposicion espectral y suponiendo que las primeras
k componentes explican una proporcion importante de la suma de varianzas,
tenemos
Σ = T ΛT ′ =
d
i=1
λitit ′ i
≈
⎤
⎥
⎦
k
i=1
λitit ′ i
la covarianza entre la variable i-esima y la variable j-esima se
puede escribir
σij =
d
λhtihtjh ≈
h=1
k
h=1
λhtihtjh =
= v ′ ivj
k
h=1
λhtih
por lo que podemos aproximar la covarianza como
σij ≈ v ′ ivj
y la varianza de la variable i-esima como
σii ≈ v ′ ivi = vi 2
pero por otro lado sabemos que
v ′ ivj = vi vj cos(αij)
λhtjh =
donde αij denota el angulo formado entre los vectores vi y vj. Por
lo tanto
cos(αij) =
v ′ i vj
vi vj ≈
45
σij
√ √ = cor(x,i xj)
σii σjj