Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

More documents

Recommendations

Info

De esta forma, como todos los autovalores pertenecen a la imagen de f, estos son reales, con lo que queda demostrado 1) Por otro lado, dado que existe un máximo y como éste debe cumplir con la condición necesaria, los candidatos a máximo son los autovectores (con norma 1) v1. . . vn y sus correspondientes imágenes ordenadas son f (vi) = λ1 ≥ f (v2) = λ2 ≥. . . ≥ f (vn) = λn Así max x f (x) = λ1 donde λ1 es el mayor autovalor arg max f (x) = v1 donde v1 es el autovector asociado al mayor x autovalor λ1. El mayor autovalor puede no ser único Ahora buscamos el máximo de la función f : E → R con E = {x ∈ R n : x ′ v1 = 0} abierto, en la hiperficie constituida por S = g −1 (1) imagen inversa de un valor regular c = 1 ∈ R de una función g : E → R (cáscara de la bola unitaria en el ortogonal a v1). Nuevamente como estamos buscando el máximo de f en las condiciones del Teorema de Lagrange éste debe cumplir con la condición necesaria de punto crítico que es la definición de autovector Así max f (x) = λ2 donde x, x ′v1=0 arg max f (x) = v2 x, x ′v1=0 tovalor λ2. ∇f (x) = λ∇g (x) ↔ Ax =λx λ2 es el segundo mayor autovalor donde v2 es el autovector asociado al au- El mecanismo se repite hasta el último autovector vn, con su autovalor asociado λn, el que debe ser el mínimo de la función f pues su imagen es la menor de todos los puntos críticos. De esta manera los autovectores de la matriz A forman una base ortonormal AV = V Λ → AV V ′ = V ΛV ′ → A = V ΛV ′ pues V V ′ = I con lo que queda demostrado 2) Para demostar 3) expresamos la matriz A en función de sus elementos aij {aij} = A = V ΛV ′ n n n = = λk {vikvkj} = Ejemplo 1 Sea A = 2 entonces la función f es k=1 0 1 4 λkvikvkj 0 = f (x) = x y 1 2 k=1 1 0 λ1 0 1 0 0 1 0 λ2 0 1 0 0 1 4 x = y 1 Sabemos que los puntos críticos son v1 = valores de función f (v1) = λ1 y f (v2) = λ2. 6 2 x2 + 1 4 y2 1 y v2 = 0 k=1 λkvkv ′ k 0 con sus 1
Las curvas de nivel f (x) = 1 2 = λ1, f (x) = 1 4 = λ2 y x 2 + y 2 = 1. La función z = f (x) y su intersección con x 2 + y 2 = 1. 7
Page 1 and 2: Analisis Multivariado 1 (Apunte bas
Page 3 and 4: - |I ± A| = d (1 ± λi) i=1 - A
Page 5: forma cuadrática asociada a la mat
Page 9 and 10: Asi, E(X) = µ y V AR(X) = Σ Si Y
Page 11 and 12: 6 Estimadores de Maxima-Verosimilit
Page 13 and 14: = − nd 2 = − nd 2 = − nd n 1
Page 15 and 16: E( ˆ n i=1 Σ) = E( ′ (Xi−X)(X
Page 17 and 18: Retomando la demostracion, sea B
Page 19 and 20: versus de esta forma y Kβ : β ′
Page 21 and 22: por lo que Rβ = cR −1 δ R −1
Page 23 and 24: 10.2 Metodo simultaneo (muchas comb
Page 25 and 26: 13.1 Igual matriz de covarianzas Se
Page 27 and 28: H sabemos que mn m + n (ˆ δ − b
Page 29 and 30: 14.2 Aplicacion a control de proces
Page 31 and 32: con un poco mas de algebra matricia
Page 33 and 34: µ = 0, y tomemos k combinaciones l
Page 35 and 36: = a ′ Σa = d = = = d i=1 d yiti
Page 37 and 38: V AR(Y2) = V AR (t ′ 2X) = t ′
Page 39 and 40: asi C ′ QC = C ′ BΛB ′ C = D
Page 41 and 42: el espacio generado, siendo la proy
Page 43 and 44: posee esta representacion es la de
Page 45 and 46: 16.7.2 Representacion de las d vari
Page 47 and 48: Veamos por ultimo que la primer opc
Page 49 and 50: 18.1 Teorema de la Descomposicion e
Page 51 and 52: 19 Nociones de Varianzas Generaliza
Page 53 and 54: Hay que definir una funcion de perd
Page 55 and 56: Π 1 =0.5  Π 2 =0.5  C(1/2)=2

Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?