Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

posee esta representacion es la de preservar las distancias del espacio
original. Mas especificamente:
d (P (X1, L ∗ ), P (X2, L ∗ )) 2 = P (X1, L ∗ ) − P (X2, L ∗ ) 2 =
= TkT ′ k X1 − TkT ′ k X2 2 = TkT ′ k (X1 − X2) 2 =
= (TkT ′ k (X1 − X2)) ′ (TkT ′ k (X1 − X2)) =
= (X1 − X2) ′ TkT ′ k TkT ′ k (X1 − X2) =
= (X1 − X2) ′ TkT ′ k (X1 − X2) =
= (T ′ k X1 − T ′ k X2) ′ (T ′ k X1 − T ′ k X2) =
= T ′ k X1 − T ′ k X2 2 =
= Y1 − Y2 2 = d (Y1, Y2) 2
16.6 Las Componentes Principales desde una perspectiva
geometrica de Rotacion-Reflexion y
Truncamiento del espacio original.
Por ultimo las componentes principales pueden ser vistas como el
resultado de una rotacion-reflexion del espacio original, seguida de un
truncamiento (reduccion de dimension) de los ejes rotados de menor
varianza. Sea
Z = T ′ X
veamos que el vector Z ∈ R d es el resultado de rotar o reflejar
(transformacion rigida o isometria) al vector X de modo tal de alinear
las direcciones principales con los ejes canonicos. La matriz T , que
define una tranformacion lineal de R d en R d , induce una rotacion o
reflexion pues es una matriz ortogonal de determinante de modulo
uno (|T | = 1 o |T | = −1) . A su vez,
Y = T ′ ⎡
1
⎢
kX = ⎣ .
· · ·
. ..
0
.
0 · · ·
. ..
0
.
⎤
⎥
⎦ T
0 · · · 1 0 · · · 0
′ X = [Ik×k0k×d−k]Z
Las coordenadas truncadas (de k + 1 a d) son las de menor varianza
en el espacio rotado. Se puede ver entonces que el vector de
las componentes principales resulta de rotar o reflejar en terminos
de las direcciones principales y truncar las direcciones no principales
(secundarias).
43