Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

10.2 Metodo simultaneo (muchas combinaciones
lineales)
Vamos a demostrar que si definimos el intervalo
IC S β
cumple con
Demostracion:
=
√
n(Zβ − γ)
γ :
≤ T
Sβ
2
d,n−1,α
P ( ∩
β∈Rd γβ ∈ IC S β ) = 1 − α
P ( ∩
β∈Rd γβ ∈ IC S
β ) = P ∩
β∈Rd √
n(Zβ − γ)
≤
P
∩
β∈R d
n(γ − Zβ) 2
S 2 β
≤ T 2 d,n−1,α
Sβ
= P
T2
d,n−1,α =
max
β (t2β) ≤ T 2
d,n−1,α
= P n(X − µ) ′ S ∗−1 (X − µ) ≤ T 2
d,n−1,α = 1 − α
11 El test de Hotelling como Test de cociente
de MaximaVerosimilitud (sin demostracion).
El estadistico de Hotelling tambien puede ser derivado del cociente de
Maxima Verosimilitud para el vector µ de medias.
Sea X1, X2, X3, · · · , Xn una muestra aleatoria de vectores con
distribucion Nd(µ, Σ), con µ y Σ desconocidos, y deseamos testear
H : µ = µ0 versus K : µ = µ0, por definicion el estadistico del
cociente de Maxima Verosimilitud es
CV (X1, X2, X3, · · · , Xn) = maxµ,Σ L(X1, X2, X3, · · · , Xn, µ, Σ)
maxΣ L(X1, X2, X3, · · · , Xn, µ0, Σ)
Valores grandes del estadistico (mayores a 1) muestran evidencia
en contra de la hipotesis H y el test rechaza cuando el estadistico
satisface, para alguna constante Kα debidamente elgida
CV (X1, X2, X3, · · · , Xn) > Kα
Luego de algunos calculos puede verse que
CV (X1, X2, X3, · · · , Xn) = g(n(X − µ0) ′ S ∗−1 (X − µ0)) = g(T 2 d,n−1)
donde g() es una funcion monotona creciente. Por lo tanto ambos
estadisticos, el de Hotelling y el de CV, son equivalentes.
23
=