Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

13.1 Igual matriz de covarianzas
Sea X1, X2, X3, · · · , Xm una muestra aleatoria de vectores con distribucion
Nd(µX, Σ) y sea Y1, Y2, Y3, · · · , Yn otra muestra aleatoria
(independiente de la anterior) de vectores con distribucion Nd(µY, Σ),
con µX, µY y Σ desconocidos, y deseamos testear:
S
S ∗
H0 : µX − µY = b versus K : µX − µY = b con b conocido.
Los estimadores de maxima verosimilitud en este caso son
ˆµX =
ˆµY =
ˆΣ =
n
i=1 Xi
m
= X
n i=1 yi
n = Y
m i=1 (Xi−X)(Xi−X) ′ + n i=1 (Yi− ¯Y)(Yi−Y) ′
n+m
un estimador insesgado de Σ es
m
i=1 (Xi−X)(Xi−X) ′ + n
i=1 (Yi− ¯Y)(Yi−Y) ′
n+m−2
llamemos δ = µX − µY al parametro de interes
asi las hipotesis quedan
H : δ = b versus K : δ = b
= QX +QY
n+m
= QX +QY
n+m−2 =
= Q
n+m =
Q
n+m−2 =
un estimador del parametro de interes es ˆδ = ˆµX − ˆµY = ¯ X − ¯Y
con esperanza y varianza
asi, bajo H
y
E( ˆ δ) = δ = µX − µY
V AR( ˆ δ) = Σ Σ (m + n)Σ
+ =
m n mn
mn
m + n (ˆδ − b) ∼ Nd(0, Σ)
Q ∼ Wd(m + n − 2, Σ)
de esta forma, analogamente al caso de una sola muestra, puede
definirse el estadistico de Hotelling
=
T 2 d,m+n−2 = mn
m + n (ˆ δ − b) ′ S ∗−1 ( ˆ δ − b) =
mn
m + n (ˆ ′
−1
Q
δ − b)
m + n − 2
mn
m + n (ˆ
δ − b)
y se rechaza H cuando T 2 d,m+n−2 > T 2 d,m+n−2,α
25