Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

Veamos por ultimo que la primer opcion (trabajar con Y s ) brinda,
sin embargo, una interpretacion muy util en terminos de distancias
entre puntos, es decir, las distancias representadas en el biplot entre
los puntos Y s aproximan a las distancias de Mahalanobis de las
observaciones originales. Veamos
=
Λ −1/2
k
=
Y1 − Λ −1/2
Λ −1/2
k
d (Y s 1, Y s 2) 2 = Y s 1 − Y s 2 2 =
k
Y2
2
=
Λ −1/2
k
T ′ k (X1
′
− X2)
Λ −1/2
k
T ′ kX1 − Λ −1/2
k
T ′ kX2
T ′ k (X1
− X2)
= (X1 − X2) ′ TkΛ −1/2
k Λ −1/2
k T ′ k (X1 − X2) =
= (X1 − X2) ′ TkΛ −1
k T ′ k (X1 − X2) =
y viendo que T ′ ⎢
kT = ⎣
2
=
⎡
1
.
· · ·
. ..
0
.
0 · · ·
. ..
0
.
⎤
⎥
⎦ = [Ik×k0k×d−k]
0 · · · 1 0 · · · 0
= (X1 − X2) ′ TkT ′ k T Λ−1 T ′ TkT ′ k (X1 − X2) =
= (X1 − X2) ′ TkT ′ k Σ−1 TkT ′ k (X1 − X2) =
= (TkT ′ k X1 − TkT ′ k X2) ′ Σ −1 (TkT ′ k X1 − TkT ′ k X2) =
= (P (X1, L ∗ ) − P (X2, L ∗ )) ′ Σ −1 (P (X1, L ∗ ) − P (X2, L ∗ )) =
= DMΣ (P (X1, L ∗ ), P (X2, L ∗ ))
17 Ejercicio de Componentes Principales
=
Λ −1/2
k
Basado en el conjunto de datos “crimen.csv”, que contiene informacion
de tasas delictivas, para cada uno de los estados de USA, medidas en
un periodo de tiempo, se pide realizar un Analisis de Componentes
Principales del mismo.
Los datos conforman una matriz de 50 filas (estados) y 9 columnas
(variables). Las variables se detallan a continuacion:
• STATEN: Nombre del estado de EEUU.
47
T ′
k (X1 − X2) 2
=