Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

Retomando la demostracion, sea B ∈ R n×n una matriz ortogonal
cuyo primer vector fila es
b ′ 1 =
1
√ n
1
√ n
1
√ n
1
√ n
√1 · · · n 1 √
n
asi, dada la muestra aleatoria de vectores X1, X2, X3, · · · , Xn y la
nueva muestra aleatoria de vectores Y1, Y2, Y3, · · · , Yn provenientes
de los vectores Y (1) Y (2) Y (3) · · · Y (d) generados por la transformacion
Y (i) = BX (i) , vemos que
=
Y1 = b ′ 1X = b ′ 1X (1) b ′ 1X (2) b ′ 1X (3) · · · b ′
(d)
1X
√1 n 1 n
n i=1
xi,1 √
n i=1 xi,2
pues Y1 ∼ N(0, Σ).
Por otro lado
Y ′ Y =
= √ nX ∼ N(0, Σ)
Y ′ Y = X ′ B ′ BX = X ′ X
n
i=1
despejando, nos queda
n
i=2
YiY ′ i
=
YiY ′ i
= nXX ′ +
√1 n
n i=1 xi,3
1 n
· · · · · · √n
i=1 xi,d
′
= Y1Y 1 +
n
i=2
YiY ′ i
n
YiY ′ i − nXX ′ =
i=1
n
i=2
YiY ′ i
n
XiX ′ i − nXX ′ = Q
y como Y2, Y3, · · · , Yn son n − 1 vectores aleatorios normales
independientes, entonces
Q se distribuye como Wd(n − 1, Σ)
por ende se tiene que
i=1
E(Q) = (n − 1)Σ
y el estimador de la matriz de varianzas y covarianzas cumple
E(S) = E( Q (n − 1)
n ) =
n Σ
La independencia entre X y Q surge claramente de la independencia
entre Y1 y el resto de los vectores Y2, Y3, · · · , Yn.
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