Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

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a2 = argmax a=1 y a ′ a Σa1=0 ′ Σa a3 = argmax a=1 , a ′ Σa1=0 y a ′ a Σa2=0 ′ Σa . ak = argmax a=1 , a ′ Σa1=0 , a ′ Σa2=0 ... a ′ a Σak−1=0 ′ Σa Asi, siendo λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ . . . ≥ λd los d autovalores positivos de Σ y t1, t2, t3, . . . , td sus d correspondientes autovectores, veremos que t1 = argmax a=1 a ′ Σa Demostracion: Tomemos una forma cuadratica arbitraria a ′ Σa y veamos que su valor esta acotado superiormente por t1 ′ Σt1 = λ1. Veamos primero que t1 ′ Σt1 = λ1 t1 ′ Σt1 = t1 ′ λ1t1 = λ1t1 ′ t1 = λ1 t1 2 = λ1 Ahora veamos que a ′ Σa ≤ λ1 para cualquioer a. Los autovectores forman una base, por lo que el vector a puede escribirse, para d escalares convenientemente elegidos y1 . . . yd, asi a = d yiti =⇒ a 2 d = i=1 = = d d = i=1 i=1 j=1 yit ′ i d i=1 j=1 asi, pedir a 2 = 1 =⇒ d j=1 y2 i ahora i=1 d d i=1 yiti yiyjt ′ itj yiti d yiyjI(i = j) = 34 = 1 ′ d d j=1 y 2 i i=1 yiti
= a ′ Σa = d = = = d i=1 d yiti i=1 j=1 d i=1 j=1 d i=1 j=1 ′ Σ d i=1 d yiyjt ′ iΣtj d yiyjt ′ iλjtj yiti d yiyjλjI(i = j) d d y i=1 2 iλi ≤ y i=1 2 iλ1 = λ1 y i=1 2 i = λ1 Un resultado interesante a ser remarcado es el siguiente: Pedir covarianza nula de las componentes Yi con Yj implica que a′ iΣaj = 0 pero como los vectores ai y aj resultan los autovectores ti y tj sucede que a′ iΣaj = t′ iΣtj = t′ iλjtj = λjt ′ j tj entonces a′ iΣaj = 0 debido a que t′ itj = 0. Veamos ahora que lo mismo ocurre para el autovector k-esimo, es decir que si imponemos las restricciones entonces a ′ Σt1 = 0 =⇒ a ′ t1 = 0 a ′ Σt2 = 0 =⇒ a ′ t2 = 0 . a ′ Σtk−1 = 0 =⇒ a ′ tk−1 = 0 tk = argmax a=1 a ′ Σa primero veamos que las anteriores restricciones imponen al vector la condicion de generarse solo en terminos de los autovectores tk . . .td a ′ tj = 0 ⇔ d i=1 35 yiti ′ tj =0 ⇔
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